第十章综合测试
一、选择题
1.若复数 2a i 1 i （ i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a 为（ ）
1 1
A. 2 B.2 C. D.
2 2
2.若 (1 2i) z 5i （ i 是虚数单位），则 z 的值为（ ）
A.3 B.5 C. 3 D. 5
1 3
3.在复平面内，复数 2 i对应的向量为OA，复数 对应的向量为OB ，那么向量 AB 对应的复数
2 2
是（ ）
A.1 B. 1 C. 3i D. 3i
4.若1 2i 是关于 x的实系数方程 x
2 bx c 0的一个复数根，则（ ）
A. b 2，c 3 B. b 2，c 1 C. b 2，c 1 D.b 2，c 3
5.（多选题）已知复数 z a bi（ a ，b R ， i 为虚数单位），且 a b 1，下列命题正确的是（ ）
A. z 不可能为纯虚数 B.若 z 的共轭复数为 z ，且 z z ，则 z 是实数
1
C.若 z | z |，则 z 是实数 D. | z |可以等于
2
6.（多选题）已知虚数 z 满足 2z 5 z 10 ，下列结论正确的是（ ）
A.虚数 z 对应的点在某个圆上
B.虚数 z 对应的点在某条直线上
z m
C.当实数m 5 时， 为实数
m z
10 3 10D.若 1 2i z 在复平面内对应的点在直线 y x 上，则复数： z i
2 2
二、填空题
7.下列说法中正确的序号是________。
2x 1 y
①若 2x 1 i y 3 y i ，其中 x R ， y CC R ，则必有 2 ；
1 3 y
② 2 i＞1 i
③虚数上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
1
⑤若 z ，则 z3 1对应的点在复平面内的第一象限。
i
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8.已知复数 z1 cos15 (sin15 )i和复数 z2 cos 45 (sin 45 )i ，则 z1 z2 ________。
4
1 i
9.设为虚数单位，给定复数 z ，则 z 的虚部为________， z ________。
1 i
1 3
10.已知复数 ，若 2 3 2021 i a bi （ a ，b R ），则 a b ________。
2 2
三、解答题
2 i 4 3i 1 i
11.某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数。① ② ③ （ i 是虚数单位）
1 2i 3 4i 1 i
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结
论。
12.已知复平面内点 A，B 对应的复数分别是 z1 sin
2 i 2，z2 cos icos2 ，其中 (0， ) ，设 AB
对应的复数为 z 。
（1）求复数 z ；
（2）若复数 z 对应的点 在直线 1P y x 上，求 的值；
2
（3）在（2）的条件下，在极坐标系中，圆 C 以 2， 为圆心、1 为半径，请写出圆C 的直角坐标方程。
高中数学 必修第四册 2 / 2第十章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】 2a i 1 i 2a 1 2a 1 i 在复平面内所对应的点在虚轴上， 2a 1 0 ，即
1
a ，
2
故选 D。
2.【答案】D
【解析】 1 2i z 5i （ i 是虚数单位），可得 1 2i z 5i ，解得 z 5 ，本题正确选项 D。
3.【答案】D
2
【解析】 1 3 1 3 1 3 1 3AB OB OA 2 i i i i 3i ，故选 D。 2 2 2 2 2 2 2 2
4.【答案】D
【解析】由题意 21 2i 是关于 x的实系数方程 x bx c 0，
1 2 2i 2 b 2bi c 0 ，即 1 b c 2 2 2b i 0 ，
1 b c 0
，解得b 2， c 3，故选 D。
2 2 2b 0
5.【答案】BC
【解析】当 a 0 时，b 1，此时 z i 为纯虚数，A 错误；若 z 的共轭复数为 z ，且 z z ，则
1
a bi a bi ，因此b 0，B 正确；由 | z |是实数，且 z | z |知， z 是实数，C 正确；由 | z | 得
2
1
a2 b2 ，又 a b 1，因此8a2 8a 3 0 ， 64 4 8 3 32 0，无解，即 | z |不可以等于
4
1
，D 错误，故选：BC。
2
6.【答案】AC
【解析】设 z x yi （ x， 2 2y R 且 y 0），由 2z 5 z 10 ，得 2x 5 4y2 x 10 y2 ，
化简得 x2 y2 25，即 z 5 ，
因此虚数 z 对应的点在以 0，0 为圆心，5 为半径的圆上，A 正确，B 错误；
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z m x mx y my y my
若 2 2 i 为实数，则 0，
2 2
m z m x y m x
2 y2 m x y
又 1 my 0且 x2 y2 25， 0，解得m 5，因此 C 正确；
m 25
由 1 2i z 1 2i x yi x 2y y 2x i 及已知得， x 2y y 2x，
10 10
x x
即 y 3x ，代入 2 2 ，解得 2 2x y 25 或 ，
3 10 3 10
y y
2 2
故 10 3 10 或 10 3 10z i z i ，因此 D 错误，故选：AC。
2 2 2 2
二、
7.【答案】⑤
2x 1 b
【解析】①若 2x 1 i y 3 y i ，其中 x R，y CC R，令 y bi ，则必有 ，不是
1 3 b
2x 1 y
，所以①不正确；② 2 i＞1 i ，不正确，复数不能比较大小；③虚数上的点表示的数都是纯
1 3 y
虚数，必须除去原点，所以③不正确；④若一个数是实数，则其虚部不存在，不正确，虚部为 0，不是不存
1
在；⑤若 z ，
i
3 1 i则 z 1 1 1 i 1， z3 1对应的点在复平面内的第一象限，⑤正确，故答案为⑤。
i3 1
1 3
8.【答案】 i
2 2
【解析】 z1 z2 cos15 isin15 cos45 isin 45
cos15 cos45 sin15 sin 45 sin15 cos45 cos15 sin 45 i cos 15 45 isin 15 45
1 3
cos60 isin 60 i 。
2 2
9.【答案】2 2 2
4
1 i
【解析】因为 2 2z (1 i)3 1 3i 3i2 i3 2 2i ，所以 z 的虚部为 2， z ( 2) 2 2 2 。
1 i
10.【答案】 1
1 3 1 3
【解析】因为 ，所以 2 ， 3 4 i i 1， ，所以 的周期 3，
2 2 2 2
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2 3 2021 (1
2021) (1 673 3 2 ) (1 2 ) 3
所以 1，
1 1 1 1
所以 a 1，b 0 ， a b 1。
三、
11.【答案】（1） i
a bi
（2）结论为 i（ a，b R 且 a，b 不同时为零），证明见解析
b ai
2 i (2 i)(1 2i) 2 4i i 2
【解析】（1） i
1 2i (1 2i)(1 2i) 5
4 3i ( 4 3i)(3 4i) 12 16i 9i 12
i
3 4i (3 4i)(3 4i) 25
1 i ( 1 i)( 1 i) 1 2i 1
i；
1 i ( 1 i)( 1 i) 2
a bi
（2）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到： i（ a，b R 且 a，b 不同时为
b ai
零）
a bi
下面进行证明：要证明 i，
b ai
只需证 a bi i(b ai)，
只需证 a bi a bi ，
a bi
因为上式成立，所以 i成立。
b ai
12.【答案】（1） z 1 cos2 1 i
5
（2） 或
6 6
2 2
（3） x 3 y 1 1
【解析】（1）设 z x yi，x R，y R ，
则由题意可得 x cos2 sin2 1， y cos 2 1，
z 1 cos 2 1 i；
1 1
（2）由于复数 z 对应的点 P 在直线 y x 上，故有 cos2 1 ，
2 2
1
cos2 ，再结合 (0， ) ，
2
5 5
可得 2 或 2 ， 或 ；
3 3 6 6
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（3）当 时， 2cos 3，2sin 1，则C 3，1 ，
6 6 6
2 2
此时圆 C 的直角坐标方程为 x 3 y 1 1；
5 5 5
当 时， 2cos 3 ， 2sin 1，则C 3，1 ，
6 6 6
2 2
此时圆 C 的直角坐标方程为 x 3 y 1 1；
2 2
综合得圆 C 的直角坐标方程为 x 3 y 1 1。
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