第十章综合测试
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1. (1 i)(2 i) （ ）
A. 3 i B. 3 i
C. 3 i D. 3 i
2.设 z 3 2i ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3. z 21 m m 1 m2 m 4 i ，m R ， z2 3 2i ，则m 1是 z1 z2 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.已知复数 满足 (1 i)z i2020 z （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
1 1
A. B.
2 2
1 1
C. i D. i
2 2
5.设复数 z 满足 | z i | 1， z 在复平面内对应的点为 x，y ，则（ ）
(x 1)2 y2 1 (x 1)2 y2A. B. 1
x2 (y 1)2 1 x2C. D. (y 1)
2 1
6.若 z cos isin （ i 为虚数单位），则使 z2 1的 值可能是（ ）
A. B.
6 4
C. D.
3 2
7.已知复数 z 满足 | z 2i | 3 ，则 | z |的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 3
C. 2 3 D. 2 3
8.设△ABC 的两个内角 A、B 所对的边分别为 a、b ，复数 z1 a bi ， z2 cos A icos B ，若复数 z1·z2 在
复平面上对应的点在虚轴上，则△ABC 是（ ）
A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。）
9.已知复数 z 满足 z2 i ，则下列四个判断中，正确的是（ ）
A. z 有且只有两个解
高中数学 必修第四册 1 / 3
B. z 只有虚数解
C. z 的所有解的和等于 0
D. z 的解的模都等于 1
10.设 z t2 4t 5 t2 2t 2 i ， t R ，则以下结论正确的是（ ）
A. z 对应的点在第二象限
B. z 一定不为纯虚数
C. z 对应的点在实轴的下方
D. z 可以为实数
11.已知复数 z 1 i ，则下列命题中正确的为（ ）
A. | z | 2
B. z 1 i
C. z 的虚部为 i
D. z 在复平面上对应点在第一象限
12.已知 z1 与 z2 是共轭虚数，以下 4 个命题一定正确的是（ ）
2
A. z
2
1＜ z2 B. z1z2 z1z2
z
C. z1 z2 R D.
1 R
z
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.设复数 a bi(a，b R)的模为 3 ，则 (a bi)(a bi) ________。
a i
14（. 多空题）设 a R ，若复数 z （ i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则a ________，| z | ________。
1 i
15.将复数1 i 对应的向量OM 绕点 O 按逆时针方向旋转 ，得到的向量为OM1 ，那么OM1 对应的复数是
4
________。（用代数形式表示）
2
16.已知 x x 2x 2 01， x2是方程 的两个根，则 x1 x2 ________。
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知复数 z1 满足 z1(1 i) 2（ i 为虚数单位），若复数 z2 满足 z1 z2 是纯虚数，z1 z2 是实数，求复数 z2 。
18.设复数 z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i (m R) ，试求m取何值时？
（1） z 是实数。
（2） z 是纯虚数。
（3） z 对应的点位于复平面的第一象限。
高中数学 必修第四册 2 / 3
19.ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C，D 四点对应的复数分别为1 3i ， 2i ， 2 i ， z ，
（1）求复数 z ；
（2） z 是关于 的方程 2x2x px q 0的一个根，求实数 p ， q 的值。
20.已知 | z 1 i | 1，求 | z 3 4i |的最大值和最小值。
1
21.虚数 z 满足 z 1， z2 2z ＜0，求 z 。
z
22.已知复数 z 满足 2| z | 2 ， z 的虚部是 2。
（1）求复数 z ；
（2）设 z ， z 2 ， z z2 在复平面上的对应点分别为 A，B，C，求△ABC 的面积。
高中数学 必修第四册 3 / 3第十章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】 (1 i)(2 i) 2 i i2 3 i 。
2.【答案】C
【解析】 z 3 2i ，故 z 对应的点 ( 3， 2)位于第三象限。
3.【答案】A
m2 m 1 3
【解析】 z z m 1或m 2， m 1是 z z 的充分不必要条件。 1 2 2 1 2
m m 4 2
4.【答案】B
1 1 1 1 1 1
【解析】 2020 4 505， i2020 i4 1， z i ， z i， z 的虚部为 。
1 i 2 2 2 2 2
5.【答案】C
【解析】由已知条件，可得 z x yi ， | z i | 1， | x yi i | 1， x2 (y 1)2 1。
6.【答案】D
【解析】 z2 (cos isin )2 cos2 sin2 2isin cos cos2 isin 2 1，
sin 2 0
， 2 2k (k Z)，
cos2 1
k (k Z) ，令 k 0 知选 D。
2
7.【答案】C
【解析】设复数 z 对应的点为 Z，复数 z1 2i 对应的点为 Z1（0，2），则 ZZ1 3 ，即点 Z 组成的集合是
圆心在点 Z1（0，2），半径为 3 的圆，所以 z 的最大值为 2 3 。
8.【答案】A
【解析】 z1 z2 (a bi)(cos A icos B) (acos A bcos B) (acos B bcos A)i ；
z1 z2 在复平面上对应的点在虚轴上， acos A bcos B 0 ，即 sin Acos A sin Bcos B 0 ；
sin 2A sin 2B ， 2A 2B或 2A 2B ；
A B或 A B ；
2
△ABC 是等腰三角形或直角三角形。
二、
9.【答案】ABCD
【解析】设 z a bi a，b R ，由 z2 i ，得 (a bi)2 a2 b2 2abi i ，
高中数学 必修第四册 1 / 4
2 2
2 2 a a a b 0 2 2
，解得 ，或 ，
2ab 1 2 2
b b
2 2
2 2 2 2
z i或 z i ，所以 z 有且只有两个解， z 只有虚数解， z 的所有解的和等于 0， z 的
2 2 2 2
解的模都等于 1。
10.【答案】ABC
【解析】 t 2 4t 5 (t 2)2 1＜0，t 2 2t 2 (t 1)2 1＞0 ， z 对应的点在第二象限，故 A 正确；
t 2 4t 5 0 无解， z 一定不为纯虚数，故 B 正确； z 与 z 对应的点关于实轴对称， z 对应的点在
第三象限，满足在实轴的下方，故 C 正确； t 2 2t 2 0 无解， z 一定不是实数，故 D 错误。
11.【答案】ABD
【解析】复数 z 1 i ，则 | z | 2 ，选项 A 正确； z 1 i ，选项 B 正确； z 的虚部为 1，选项 C 错误； z
在复平面上对应点的坐标为（1，1），在第一象限，选项 D 正确。
12.【答案】BC
【解析】 z1 与 z2 是共轭虚数，设 z1 a bi ，则 z2 a bi(a,b R) ， z
2 a2 21 b 2abi ，复数不能比较大
z a bi
小，选项 A 不正确； z z z z a2 2 11 2 1 2 b ，选项 B 正确； z1 z2 2a R ，选项 C 正确；
z2 a bi
(a bi)2 a2 b2 2ab
i 不一定是实数，选项 D 不一定正确。
(a bi)(a bi) a2 b2 a2 b2
三、
13.【答案】3
【解析】 | a bi | a2 b2 3 ， (a bi)(a bi) a2 b2 3。
2
14.【答案】0
2
a i ( a i)(1 i) (a 1) (1 a )i 1 1
【解析】 ，所以 a 1 1 a ，解得 a 0 ，所以 z i ，所以
1 i (1 i )(1 i ) 2 2 2
1 1
| z | i 。
2 2
15.【答案】 2i
2
【解析】OM 1 对应的复数是 (1 i) cos isin
2
(1 i) 2i 。
4 4 2
16.【答案】2
【解析】因为 22 4 1 2 4＜0 ，所以方程 x2 2x 2 0 有两个互为共轭的虚数根；
因为 x2 2x 2 (x 1)2 1 0 ，即 (x 1)2 1，所以 x1 1 i ， x2 1 i ；
| x1 x2 | | 2i | 2 。
四、
17.【答案】 z1 1 i 2，
高中数学 必修第四册 2 / 4
2 2(1 i) 2(1 i)
z1 1 i ，
1 i (1 i)(1 i) 2
设 z2 a bi(a，b R)，
z1 z2 1 a (b 1) ， i 是纯虚数，
1 a 0
1 b 0
a 1，b 1，
z1 z2 (1 i)( 1 bi) ( 1 b) (b 1)i ，
又 z1 z2 是实数，则b 1 0 ，
b 1， z2 1 i 。
18.【答案】（1）由m2 3m 2 0 且 2m 2＞0 ，
解得m 1或m 2，复数表示实数。
（2）当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数，
由 2 2lg m 2m 2 0，且m 3m 2 0，
求得m 3 ，故当m 3 时，复数 z 为纯虚数。
（ 2 23）由 lg m 2m 2 ＞0 ，且m 3m 2＞0，解得m＜ 2或m＞3 ，故当m＜ 2或m＞3 时，复数 z 对
应的点位于复平面的第一象限。
19.【答案】（1）复平面内 A、B、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），
设 D 的坐标（ x， y ），由于 AD BC ，
(x 1，y 3) (2， 1)，
x 1 2 ， y 3 1，解得 x 3， y 2，故 D（3，2），
则点 D 对应的复数 z 3 2i 。
（2） 3 2i是关于 x的方程 2x2 px q 0的一个根，
3 2i 是关于 的方程 2x2x px q 0的另一个根，
p q
则3 2i 3 2i ， (3 2i)(3 2i) ，
2 2
即 p 12 ， q 26。
20.【答案】设 z 3 4i， z 3 4i ，
z 1 i 4 5i ，
又 | z 1 i | 1， | 4 5i | 1，
可知 对应的点的集合是以（ 4，5）为圆心，半径为 1 的圆，如图所示，
| |max 41 1， | |min 41 1。
21.【答案】设 z x yi(x，y R， y 0) ， x2 y2 1，
高中数学 必修第四册 3 / 4
1 1
则 z2 2z (x yi)2 2(x yi) x2 y2 3x y(2x 1)i ，
z x yi
y 0， z2
1
2z ＜0，
z
2x 1 0 ①
， 2
x y
2 3x＜0 ②
又 x2 y2 1③，
1
x 2 1 3
由①②③得 ， z i 。
3 2 2y
2
22【. 答案】（1）设 z a bi(a，b R)，则 z2 a2 b2 abi 2 ，由题意得 a2 b2 2 且 2ab 2 ，解得 a b 1
或 a b 1，所以 z 1 i 或 z 1 i 。
（2）当 z 1 i 时， z2 2i， z z2 1 i ，
所以 A（1，1），B（0，2），C（1，－1），所以 S△ABC 1，
当 z 1 i 时， z2 2i， z z2 1 3i ，
所以 A（ 1， 1），B（0，2），C（ 1， 3），
所以 S△ABC 1。
高中数学 必修第四册 4 / 4
