第八章综合测试
答案解析
A 卷
一、
1.【答案】A
1 5
【解析】原式 sin215 cos215 sin15 cos15 1 sin30
2 4
2.【答案】C
3 4
【解析】 锐角 α满足 cos ， 为锐角， sin ，
6 5 6 6 6 5
4 3 24
则 sin sin cos 2 。
3 6 6 5 5 25
3.【答案】C
1 1
【解析】 AB OB OA （ 7，2） （2，8） （ 9， 6）， AB 9, 6 3， 2 。
3 3
4.【答案】B
【解析】因为 a b （3，2），所以 | a b | 32 22 13 ，
故选 B。
5.【答案】C
2 2 1 2
【解析】 a b 1， a 2a b b 1， cos a，b ，又 a，b 0， ， a，b
2 3
6.【答案】B
【解析】由题意，得 2a 3b ka 4b 2ka2 3k 8 a b 12b2 0，由于 a b ，故 a·b 0 ，又 a b 1，
于是 2k 12 0，解得 k 6 。
7.【答案】A
1 1 cos2x 1 1 1 2 2 2 1
【解析】 y sin 2x sin 2x cos2x sin 2x cos2x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1
sin 2x 。
2 4 2
8.【答案】A
【解析】由题意设b a ，2 ＜0 ，
而 2 2b 3 5 ，则 4 3 5 ，
所以 3，b 3， 6 。
9.【答案】D
1 2
【解析】由3sin tan ，得 cos ， sin ， tan 3sin 2, tan 2，
3 3
高中数学 必修第三册 1 / 8
2tan 4
tan 2 。
1 tan 2 3
10.【答案】C
【解析】由 BC BA AC | AC |2，得 AC B C BA AC 0，即 AC B C BA CA 0， 2AC BA 0，
AC BA ， A 90 ，故选 C。
二、
11.【答案】ABC
2 2
2 2 1 1 2 1 1 1【解析】由题意知 a 1 0 1，| b | ，故 A 正确；a b 1 0 ，故 B 正
2 2 2 2 2 2
1 1
确； a b b a b | b |2 0 ，故 a b 与 b 垂直，故 C 正确，D 明显错误。
2 2
12.【答案】BC
1 3
【 解 析 】 A 中 ， 2 s i n 1 5 c o s 1 5 s i ；n 3B0 中 ， cos215 sin215 cos30 ； C 中 ，
2 2
3 3
1 2 s 2i n 1 5o s 3c 0；D 中显然不是 。
2 2
三、
13.【答案】
4
【解析】 2a b 2 1，2 1， 1 3，3 ， a b 1，2 1， 1 0，3 ，在平面直角坐标系中，根据图形得
2a b 与 a b 的夹角为 。
4
答案
4
sin 28
14.【答案】
2
tan 14 1 2tan 14 1 sin 28
【解析】 cos 28 cos28 tan 28 cos28
tan214 2 tan214 2 2
sin 28
答案
2
15.【答案】【解析】 | 5a b | | 5a b |2 (5a b)2 25a2 b2 10a b
1
25 9 10 1 3 7
2
答案 7
3
16.【答案】
50
4 1 cos 2sin 2 cos2 2 1 cos
【解析】 cos ，原式 sin 2
5 2 2cos2 2 2
1 1 3
cos 2sin acos
2 2 50
高中数学 必修第三册 2 / 8
3
答案
50
四、
2 2
17.【答案】（1） | a | sin cos 1,， | a | 1，
（2）证明： | a |2 cos2 sin2 1，| b |2 sin2 cos2 1， (a b) (a b) | a |2 | b |2 0 ， a b
与 a b 互相垂直。
1
18.【答案】 sin cos ，
3
1
sin2 cos2 2sin cos ，
9
8 4
sin 2 且 sin cos 0，
9 9
17
0 ＜ ， sin ＞0 ， cos ＜0 ， sin cos ＞0 ， sin cos 1 sin 2 ，
3
2 2 1 17 17 cos2 cos sin sin cos cos sin ，
3 3 9
sin 2 8 17
tan 2
cos2 17
19【答案】（1）设b （x，y），因为 a∥b ，所以 y 2x①，
又因为 b 2 5 ，所以 x2 y2 20②，
由①②联立，解得b （2，4）或b （ 2， 4），
（2）由已知 2a c 4a 3c ，则 2a c 4a 3c 8a2 3c2 2a c 0，
又| | a | 5 ， | c | 10 ，解得 a c 5 ，
a c 2
所以 cos , [o, ] ，
| a c | 2
所以 a 与 c 的夹角 。
4
20.【答案】（1） m (2cos 2x,1), n （1，3），
f (x) m n 2cos 2x 3 ，
2
f (x) 的最小正周期T 。
2
（2）由（1）知， f (x) 2cos2x 3 ，
2
x 0, ， 2x 0, ，
3 3
当 2x 0即 x 0 时， f x 5。
max
B 卷
一、
高中数学 必修第三册 3 / 8
1.【答案】D
4
3
tan tan 1
【解析】 tan( ) 3 。
1 tan tan 4 3
1 3
3
2.【答案】B
【解析】 x y sin Asin B cos Acos B cos(A B)， △ABC 是锐角三角形，
A B ，
2
cos(A B) 0 ， x y
3.【答案】A
a
【解析】 a0 （ a0 为 a 的单位向量），
| a |
原式 a b 21 0 1 0 2a0 2b0 1 2 a6 b 0。
4.【答案】C
【解析】 BC AC AB (3,t) (2,3) (1,t 3),| BC | 1,，
12 (t 3)2 1，解得 t 3， BC (1,0)，
AB BC 2 1 3 0 2。
5.【答案】B
m n m n 1 1 1
【解析】由题意知， cos m,n ，所以m n | n |2 n2 ，因为 n tm n 0 ，所以
| m || n | 3 3 4 4
| n |2
4
1
t m n n2 0，即 tn2 n2 0，所以 t 4 。
4
6.【答案】A
5 5 1
【解析】由∣sin cos cos , ，
12 2 12 12 4
1 7
得 cos 2 2cos
2
1 1 。
6 12 8 8
7.【答案】C
1 sin50 1 cos 40 2cos2 20 cos 20 sin 70
【解析】由三角函数的定义 tan ∣ = tan 70 ，
cos50 sin 40 2sin 20 cos 20 sin 20 cos70
所以 70 。
8.【答案】D
【解析】由平行四边形法则得 PA PB 2PO, ，故 (PA PB) PC 2 PO P C，又 | PC | 2 | PO |，且
PO, PC 反向，设 2 2 | PO | t(0 t 2) ，则 (PA PB) PC 2PO PC 2t(2 t) 2 t 2t 2 (t 1) 1 ，
0 t 2， 当 t 1 时， PA PB PC 取得最小值 2，故选 D。
9.【答案】B
高中数学 必修第三册 4 / 8
【解析】因为 a cos ，sin ， b cos ，sin ，所以 a b 1 ，又 a 与 b 的夹角为 ，所以
3
1
a b 1 1 cos ，又 a b ( c o s , s i n ) ( c o s , s i n ) c o s c o s s i nc ossi (n )，所以
3 2
1
c o s ( ) 。
2
10.【答案】D
【解析】 P（1，4）， OP 7，
4 3 1
sin ,cos ，
7 7
3 3 3 3
又 sin cos cos sin ， sin( ) ，
14 14
0＜ ＜ ＜ ， 0＜ ＜ ，
2 2
13
cos( ) ， sin sin[ ( )]
14
sin cos( ) cos sin( )
4 3 13 1 3 3 3
7 14 7 14 2
0 ， 。
2 3
二、
11.【答案】CD
1 cos2 2 sin
【解析】C 中，因为 （0， ），所以原式 tan ；
2 cos cos
1 cos2 2sin 2 sin
D 中， tan 。
sin 2 2sin cos cos
12.【答案】BC
【解析】 y sin 2x sin 2x sin 2xcos cos2xsin sin 2x ，
3 3 3
sin 2xcos cos2x sin sin 2x ， 其 增 区 间 是 函 数 y sin 2x 的 减 区 间 ， 即
3 3 3 3
3 7 7
2k 2x 2k ，k Z ，k x k ，k Z ，当 k 0 时， x , ；当 k 1
2 3 2 12 12 12 12
1 19
时， x , 。
12 12
三、
13.【答案】
2
【解析】 (a b)(a 2b) a2 a b 2 | b |2 1 a b 8 7 ， a b 0 ， a b ，故 a ，b 的夹角为 。
2
高中数学 必修第三册 5 / 8
答案： 。
2
14.【答案】
4
【解析】 f (x) 2 sin 2x ，因为 y f x 2 sin 2x 是一个偶函数，且 0 ，所
4 2 4
以可以令 ，此时 f x 2 cos2x 为偶函数，解得 。
4 2 2 4
答案： 。
4
15.【答案】
【解析】 tan B 2， tan C 3，
tan B tanC 2 3
tan(B C) 1，
1 tan B tanC 1 2 3
3
又 B，C 皆为锐角， B C (0, ) ， B C ，
4
又 tan A 1，A 为锐角， A ， A B C 。
4
答案： 。
16.【答案】 4，2，1
k1 k2 2k 0【解析】由 3k1a1 k2a2 k3a3 0得 k 4k ，令 k c(c 0) ， 1 3 ,k2 2k3 3
2k1 k2 10k3 0
则 k1 4c,k 2c ，再令 c 12 ，得 k1 4,k2 2,k3 1。
答案： 4，2，1。
四、
17.【答案】设 AB AD b ， a 与 b 的夹角为 ，则 a 3，
3
b 1， ， a b a b cos 。
3 2
又 AC a b, DB a b ，
AC a b， DB a b ，
| AC | AC2 (a b)2 a2 2a b b2 13 ，
DB DB (a b)2 a2 2a b b2 7 ，
AC 13, DB 7 ，
18.【答案】（1）由 sin x 0得 x k (k Z ) ，故 f (x) 的定义域为{x∣x R且x k ,k Z}，
(sin x cos x)sin 2x
f (x) 2cos x(sin x cos x) sin 2x cos2x 1
sin x
2 sin 2x 1；
4
高中数学 必修第三册 6 / 8
2
f (x) 的最小正周期T ，
2
（2）由 2k 2x 2k ， x k （k Z），
2 4 2
3
得 k x k ， x k (k Z ) ，
8 8
3
f (x) 的单调递增区间为 k ,k 和 k ,k k z 。
8 8
19.【答案】（1） m n 1， 3sin A cos A 1，
3 1 1
2 sin A cos A 1， sin A ， 2 2
6 2
5
0 A ， ＜A ＜ ， A 。
6 6 6 6 6
A 。
3
1 2sin Bcos B
（2）由题知 3，
cos2 B sin2 B
(cos B sin B)2 cos B sin B 1 tan B
3，
(cos B sin B)(cos B sin B) cos B sin B 1 tan B
tan B 2
tanC tan[ (A B)] tan(A B)
tan A tan B 8 5 3
。
1 tan A tan B 11
2 5
20.【答案】（1）依题意， tan 5 2 ，
5
5
4cos 3sin 4 3tan 4 3 ( 2)
10，
5cos 3sin 5 3tan 5 3 ( 2)
（2）由已知点 P 的坐标为 P（cos ，sin ），
又OQ OA OP， OA OP ， 四边形 OAQP 为菱形， S 2S△OAP sin ，
A（1，0），P（cos ，sin ）， OQ (1 cos ,sin ) ，
OA OQ 1 cos ，
f ( ) (1 cos 1)2 2 sin 1 cos2 2 sin 1，
2 1
sin2 2 sin sin
，
2
2
1
sin 1，
2
高中数学 必修第三册 7 / 8
2 1
当 sin ，即 时， f ( ) ； max
2 4 2
当 sin 1，即 时， f ( )min 2 1。
2
高中数学 必修第三册 8 / 8第八章综合测试
A 卷
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
2
1. cos 75 cos
215 cos 75 cos 15 的值是（ ）
5 6 3 2
A. B. C. D.1
4 2 2 3
3
2.已知锐角 α满足 cos ，则 sin （ ）
6 5 3
12 12 24 24
A. B. C. D.
25 25 25 25
1
3.已知OA （2，8），OB （ 7，2），则 AB （ ）
3
10 5
A.（3，2） B. C（. 3， 2） D.
3 4
4.已知平面向量a （2， 1），b （1，3），那么 a b 等于（ ）
A.5 B. 13 C. 17 D.13
5.设向量 a，b 均为单位向量，且 a b 1，则 a 与 b 的夹角为（ ）
2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
6.若 a b 1， a b ，且 2a 3b ka 4b ，则 k （ ）
A. 6 B.6 C.3 D. 3
7. y sin xcosx sin2x可化为（ ）
2 1 1
A. y sin 2x B. y 2sin 2x 2 4 2 4
2
1 3
C. y sin 2x D. y 2sin 2x 1
4 2 4
8.若平面向量 a 1，2 与 b 的夹角是180 ，且 b 3，则b 的坐标为（ ）
A.（3， 6） B.（ 3，6） C.（6， 3） D.（ 6，3）
9.若 α为锐角，3sin tan 2 tan ，则 tan 2 等于（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
2
10.在△ABC 中，若 BC BA AC AC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）
1 1
11.设向量a （1，0），b , ，则下列结论中正确的是（ ）
2 2
高中数学 必修第三册 1 / 5
1
A. a ＞ b B. a·b C. a b 与 b 垂直 D. a∥b
2
3
12.下列各式中，值为 的是（ ）
2
2 2
A. 2sin15 cos15 B. cos 15 sin 15
C.1 2sin
2 15 2 D. sin 15 cos
2 15
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
13.若向量a （1，2），b （1， 1），则 2a b 与 a b 的夹角等于________。
tan 14
14.化简 cos 28 的结果为________。
tan214
15.若向量 a，b 的夹角为120 ， a 1， b 3，则 5a b ________。
3 2 sin 4 cos2
16.已知 a , ，且 sin ，则 sin
的值为________。
2 5 2 1 cos4
四、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17.已知 a (cos ,sin ), b (cos ,sin ), 0
（1）求 a 的值；
（2）求证： a b与 a b 互相垂直。
1
18.已知 sin cos ，且0 ，求 sin 2 ,cos 2 , tan2 的值。
3
19.已知 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中a （1，2）。
（1）若 b 2 5 ，且 a∥b ，求 b 的坐标；
（2）若 c 10 ，且 2a c 与 4a 3c垂直，求 a 与 c 的夹角 。
20.设函数 f x m n ，其中向量m 2cos2x， 1 ， n （1，3）， x R 。
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）当 x 0, 时，求 f (x) 的最大值。
3
高中数学 必修第三册 2 / 5
B 卷
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
4
1.若 tan 3, tan , ，则 tan( )等于（ ）
3
1 1
A. 3 B. C.3 D.
3 3
2.在锐角△ABC 中，设 x sin Asin B, y cos Acos B ，则 x， y 的大小关系为（ ）
A. x y B. x＞y C. x＜y D. x y
1a b 3. 1 2
a 2b
等于（ ）
| a | | b | | a | | b |
A.0 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2
4.已知 AB （2，3）， AC （3，t）， | BC | 1，则 AB BC （ ）
A. 3 B. 2 C.2 D.3
1
5.已知非零向量m ， n满足 4 m 3 n，co〈s m ，n〉 ，若 n tm n ，则实数 t 的值为
3
（ ）
9 9
A.4 B. 4 C. D.
4 4
5 1
6.已知 sin ，则 cos 2 （ ）
12 4 6
7 15 1 7
A. B. C. D.
8 16 2 8
7.已知锐角 α的终边经过点 P cos50 ，1 sin50 ，则锐角 α等于（ ）
A.10° B.20° C.70° D.80°
8.如图所示，半圆的直径 AB 4，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为
半径 OC 上的动点，则 ( PA PB) PC 的最小值是（ ）
A.2 B.0 C. 1 D. 2
9.已知向量 a cos ，sin ，b cos ，sin ，若 a 与b 的夹角为 ，则 cos 的值
3
为（ ）
2 1 3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
10.已知0＜ ＜ ＜ ，点 P（1，4）为角 α 的终边上一点，且 sin sin cos ，
2 2
高中数学 必修第三册 3 / 5
3 3
cos = 则角 （ ）
2 14
A. B. C. D.
12 6 4 3
二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）
11.下列各式与 tan 相等的是（ ）
1 cos2
A.
1 cos2
sin
B.
1 cos
1 cos( 2 ) 2
C. ( (0, ))
2 cos
1 cos2
D.
sin 2
12. y sin 2x sin 2x的一个单调递增区间是（ ）
3
7 13 19 5
A. , B.6 3
, C. , D. ,
12 12 12 12 3 6
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上）
13.平面向量 a，b满足 a 1，b 2，且 a b a 2b 7，则向量 a，b的夹角为________。
14.已知函数 f (x) sin 2x cos 2x ，且函数 y f x (0＜ ＜ )是一个偶函数，则 的
2
值等于________。
15.已知 A，B，C 皆为锐角，且 tan A 1，tan B 2 ，tan C 3，则 A B C 的值为________。
16. 若对 n 个向量 a1，a2， ，an 存在 n 个不全为零的实数 k1，k2， ，kn ，使得
k1a1 k2a2 knan 0 成立，则称向量 a1，a2， ，an 为“线性相关”，依此规定，能说明
a1 （1，2）， a （1， 12 ）， a3 （2，10）“线性相关”的实数 k1，k2，k3 依次可以取
________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。
四、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17.如图所示，已知 ABCD 中，AB 3，AD 1， DAB ，求对角线 AC 和 DB 的长。
3
高中数学 必修第三册 4 / 5
(sin x cos x)sin 2x
18.已知函数 f (x) ，
sin x
（1）求 f x 的定义域及最小正周期；
（2）求 f x 的单调递增区间。
19.已知 A，B，C 是△ABC 的三个内角，向量m ( 1, 3),n (cos A,sin A) ，且m n 1。
（1）求角 A；
1 sin 2B
（2）若 3，求 tan C 。
cos2 B sin2 B
20.如图，以坐标原点 O 为圆心的单位圆与 x轴正半轴相交于点 A，点 B，P 在单位圆上，且
5 2 5
B , ， AOB 。
5 5
4cos 3sin
（1） 的值；
5cos 3sin
2
（ 2 ）设 AOP ， OQ OA OP ，四边形 OAQP 的面积为 S ，
6 3
f ( ) (OA OQ 1)2 2S 1，求 f ( )的最值及此时 的值。
高中数学 必修第三册 5 / 5
