第八章综合测试
答案解析
基础练习
一、
1.【答案】B
1 3
【解析】平面向量 a 与 b 的夹角为60 ，b , ，所以 b 1，
2 2
2
由平面向量运算律及数量积定义可知 2 2a 2b a 2b a 4a b 4b ，
2 2
a 4 a b cos60 4 b
4 4 2 1 cos60 4
2 3
故选：B。
2.【答案】C
2
【解析】 DM DB (AM AD) (AB AD) AB AD (AB AD)
3
2 2 2 5 2 5 π 15
AB AD AB AD 32 32 3 3cos 。
3 3 3 3 3 2
故选：C。
3.【答案】C
【解析】由题意 3 1 2sin( 3)sin 3 1 2sin3cos3 (sin3 cos3)
2 sin3 cos3 ，
2
3
＜3＜ ， sin 3 cos3＜0 ， 原式为 sin 3 cos3
4
故选 C。
4.【答案】C
3 5
【解析】 A，B 为锐角， cos A ,cos B ，
5 13
2 4 12 sin A 1 cos A ， sin B 1 cos2 B ，
5 13
3 5 4 12 33
cos(A B) cos Acos B sin Asin B 。
5 13 5 13 65
高中数学 必修第三册 1 / 7
故选：C。
5.【答案】B
1 cos2 x 1 cos 2 x
【解析】 2 12 12 y cos x cos
2
x 1 1
12 12 2 2
cos 2x cos 2x
6 6 3 ，
cos2xcos cos2x
2 6 2
因为 3 3y cos2x为最大值是 的偶函数，所以 B 正确；
2 2
故选：B。
二、
6.【答案】 3
2
【解析】因为m n ，所以m n 0，
即： 3sin cos 0 ，
所以
sin 0，即 k ， k Z， 2 2k ，
6 6 3
3
sin 2 ，
2
故答案为： 3 。
2
2 2 2 2
7.【答案】 ，
3 3
【解析】以 AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
则 A( 1,0) ， B(1,0)，C(0, 3) ，设 P(x, y) ，
所以 PA ( 1 x, y) ， PB (1 x, y) ， PC ( x, 3 y) ，
高中数学 必修第三册 2 / 7
所以 ( 1 x)(1 x) y2 x(1 x) y( 3 y) x( 1 x) y( 3 y) 0 ，
2 2 3 2 3 6 3 6所以3x 3y 2 3y 1 0 ，所以 x2 (y )2 ，所以 ≤y≤ ，
3 3 3 3
2 3y 1 2 2 2 2
所以 PA PB x2 y2 1 1 [ , ]，
3 3 3
2 2 2 2
故答案为： ， 。
3 3
8.【答案】 2
3
【解析】由题意， 10 3 1 3f (0) f ( ) ，所以 a a ( ) ，解得 a ，
3 2 2 3
3 2 3 1 3 2 3 2
所以 g(x) sin x cos x sin x cos x sin x ，所以初相为
2 ，
3 3 2 2 3 3 3
故答案为： 2 。
3
三、
9.【答案】（1） a b | a || b | cos a,b 2 3 cos120 3，
(2a b) (a 3b) 2a2 5a b 3b 2 2 4 15 3 9 34 ，
| a b | | a b |2 a2 2a b b 2 4 6 9 7 。
（2）因为 (xa b) (a 3b)，
所以 24(xa b) (a 3b) xa2 (3x 1)a b 3b 2 4x 9x 3 27 0 ，即 x ，
5
所以当 24x 时， xa b 与 a 3b 垂直。
5
1 1 1 cos2x 1
10.【答案】（1） f x sin xcos x cos2 x sin 2x
2 2 2 2
1 1 2 2 2 2
sin 2x cos2x sin 2x cos2x sin 2xcos cos2xsin
2 2 2 2 2 2 4 4
2 2
sin 2x ，所以 f x 的最小正周期为T ，
2 4 2
3
由 2k 2x 2k ，解得 k x k ，
2 4 2 8 8
3
所以 f x 的单调递增区间为
k ,k k Z 。
8 8
高中数学 必修第三册 3 / 7
（2）由于0＜ ＜ ，且 2sin ，所以
2
cos 1 sin2 ，
2 2 2
1 2 2 2 1 1
所以 f cos sin cos 。
2 2 2 2 2 2
提升练习
一、
1.【答案】A
2
【解析】因为 a 1, 3 ，所以 a 1 3 2 ，
又因为 b 3，且向量 a 与b 的夹角为120 ，
2
所以 a a b a a b ，
2
a a b cos120 ，
1
4 2 3 7 ，
2
故选：A。
2.【答案】D
AB AC
【解析】 BC 0
AB AC
， ， 分别为单位向量，
| AB | | AC | | AB | | AC |
A的角平分线与 BC 垂直，
AB AC ，
AB AC 1
cos A ，
| AB | | AC | 2
A ，
3
B C A ，
3
三角形为等边三角形，
故选：D。
3.【答案】D
【解析】 ， 都是锐角，
3
sin ，
5 4 12
cos ，故 cos ， sin ，
5 13 5 13
高中数学 必修第三册 4 / 7
63
sin sin sin cos cos sin ，
65
故选：D。
4.【答案】B
【解析】0＜ ＜ ＜
，故 2 5 3 10 0, ， cos ,cos( ) ， 2 2 5 10
故 5 10sin ,sin( ) ，
5 10
2
sin sin sin cos cos sin ，故 ，
2 4
故选：B。
5.【答案】C
【解析】因为 a 2cos x, 3sin 2x ，b cos x,1 ， x R ，
所以 2 f x a b 2cos x 3sin 2x cos2x 3sin 2x 1 2cos 2x 1，
3
令 2k ≤2x ≤2k ，
3
解得 k ≤x≤k ，
6 3
所以 f x 的单调递减区间是 k ,k 6 3
k Z ，
故选：C。
二、
6.【答案】 3
4
【解析】因为方程 x2 3ax 3a 1 0 ， a＞2 的两根为 tan ， tan ，
所以 tan tan 3a ， tan tan 3a 1，
tan tan
则 tan 1，
1 tan tan
因为 a＞2，
所以 tan tan 3a＜0， tan tan 3a 1＞0，
所以 tan ＜0， tan ＜0，
， ,0 ，
2
高中数学 必修第三册 5 / 7
,0 ，
所以 3 ，
4
故答案为： 3 。
4
7.【答案】
6
2
2 cosa c a(2a b) 2a a b 3
【解析】因为 cos a, c 3 ，
| a | | c | | 2a b | 2(2a b)2 4 1 4cos
3
又 0≤ a, c ≤ ，
所以 a, c ，
6
故答案为： 。
6
8.【答案】12
【解析】设 OAB ， 0, ，
2
2 2 则 A 4cos ,0 ，C 4cos 4cos ,4sin ，
3 3
2 所以OA OC 4cos 4cos 4cos ，
3
4cos (2cos 2 3sin ) ，
4cos2 4 4 3sin 2 ，
8sin 2 4, 0, ，
6 2
故当 2 ，即 时，OA OC 有最大值，是 12。
6 2 6
故答案为：12。
三、
9.【答案】（1） f x sin2 x cos2 x 2 3sin xcos x，
高中数学 必修第三册 6 / 7
3 1 π
cos2x 3sin 2x 2 sin 2x cos2x 2sin 2x ，
2 2 6
T π；
2 5
（ π 2 5 π 52） f ， 2sin 2 ， sin 2 ， 5 6 5 6 5
2 2 3 cos 4 cos 2 2 1 2sin 2 1 。
3 6 6 5 5
10.【答案】（1）因为 | a | 3 ， | b | 2， a 与b 的夹角为150 ，
3
a b 3 2 3，所以 (a b) (a 2b) a
2 a b 2b 2 3 3 2 4 2；
2
（2） | ka b |2 k 2a2 2ka b b 2 3k 2 6k 4 3(k 1)2 1，
当 k 1时， | ka b |2 的最小值为 1，
即 ka b 的最小值为 1。
高中数学 必修第三册 7 / 7第八章综合测试
基础练习
一、单选题
1 3
1.平面向量 a 与b 的夹角为 60°， a 2 ，b , ，则 a 2b 等于（ ）
2 2
A. 3 B. 2 3 C.4 D.12
2.在边长为 3 的菱形 ABCD 中， DAB ， AM 2MB ，则DM DB （ ） 3
17
A. B.-1
2
15 9
C. D.
2 2
化简 3 3. 1 2sin( 3)sin 3 等于（ ）
2
A. cos3 sin 3 B. sin 3 cos3
C. sin 3 cos3 D. sin 3 cos3
3 5
4.已知 A，B 为锐角， cos A ,cos B ，则 cos(A B) （ ）
5 13
56 56 33 33
A. B. C. D.
65 65 65 65
5.函数 y cos2 x cos
2
x 1是（ ）
12 12
A.最大值是 3 的奇函数 B.最大值是 3 的偶函数
2 2
C.最大值是 3 的奇函数 D.最大值是 3 的偶函数
二、填空题
1
6.已知向量 ， m sin ,2cos n 3, ，若m n ，则 sin 2 的值为________。
2
7.已知 P 为边长为 2 的正△ABC 所在平面内任一点，满足PA PB PB PC PC PA 0, 则 PA PB 的取值
范围是________。
8. 已 知 函 数 5 f (x) sin x acos x 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 x ， 若 g( x) as i n x c o x s
3
高中数学 必修第三册 1 / 4
Asin( x )(A＞0, ＞0,0＜ ＜ )表示一个简谐运动，则其初相是________。
三、解答题
9.已知 | a | 2,| b | 3,a 与b 的夹角为 120°。
（1）求 (2a b) (a 3b) 与 | a b |的值；
（2） x为何值时， xa b 与 a 3b 垂直？
10.已知函数 1f x cos x sin x cos x
2
（1）求函数 f x 的最小正周期及单调增区间；
（2）若0＜ ＜ ，且 2sin ，求 f 的值。
2 2
提升练习
一、单选题
1.已知向量 a 1，3 ， b 3，向量 a 与b 的夹角为120 ，则 a a b 的值为（ ）
A.7 B. 7 C. 1 D.1
AB AC AB AC 1
2.已知非零向量 AB ， AC 满足 BC 0 ，且 ，则△ABC 的形状是（ ）
| AB | | AC | | AB | | AC | 2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形
3 5
3.已知 ， 都是锐角， sin ， cos ，则 sin （ ）
5 13
56 16 33 63
A. B. C. D.
65 65 65 65
高中数学 必修第三册 2 / 4
4.已知 2 5 3 10
cos ,cos( ) ，且0＜ ＜ ＜ ，求 的值（ ）
5 10 2
5
A. B. C. D.
6 4 3 12
5.已知 f x a b 其中 a 2cos x, 3sin 2x ，b cos x,1 ， x R ，则 f x 的单调递减区间是（ ）
A. k ,k k Z B. k ,k k Z
12 3 12 3
C. k ,k k Z D. k ,k k Z
6 3 6 3
二、填空题
6.已知方程 x2 3ax 3a 1 0 ， a＞2 的两根为 tan ，tan ， ， , ，则 ________。
2 2
7.已知
， 为单位向量， ，且
a b c 2a b a,b
，则 a, c ________。
3
8.已知正三角形 ABC 按如图所示的方式放置， AB 4，点 A、B 分别在 x轴的正半轴和
y 轴的正半轴上滑
动，则 的最大值是________。
OA OC
三、解答题
9.已知函数 f x sin2 x cos2 x 2 3sin xcos x。
（1）求 f x 的最小正周期；
π
（2）若 2 5f ，求
cos 4 的值。
5 3
高中数学 必修第三册 3 / 4
10.已知 | a | 3 ， | b | 2， a 与b 的夹角为150 。
（1）求 (a b) (a 2b)的值；
（2）若 k 为实数，求 ka b 的最小值。
高中数学 必修第三册 4 / 4
