第七章综合测试
答案解析
A 卷
一、
1.【答案】B
【解析】 330 360 30 ， 750 720 30 ， 330 与 750 终边相同。
2.【答案】C
1 2
【解析】由题设，圆弧的半径 r ， 圆心角所对的弧长 l 2r 。
sin1 sin1
3.【答案】D
x 1 4
【解析】 x＜0 ， r x2 16 ， 2 cos x， x 9 ， x 3， tan 。
x2 16 5 3
4.【答案】C
3
【解析】由题意得 g(x) sin 2 x sin 2x ，所以周期为 ， g sin ，直线 x 不
6 3 6 3 2 6
是 g(x) 图像的一条对称轴， g(x) 为奇函数，故选 C。
5.【答案】D
23
【解析】 sin 2cos 5(3sin 5cos )， 16sin 23cos ， tan 。
16
6.【答案】D
【解析】 f ( x) | tan( 2x) | | tan 2x | f (x) 为偶函数，T 。
2
7.【答案】C
1 1 1 1 1
【解析】 arccos (0, ) ，且 cos arccos cos arccos ， arccos 。
6 6 6 6 6
8.【答案】C
【解析】函数 y tan 2x 是非奇非偶函数，A 错；函数 y tan 2x 在区间 0, 上单调递增，B
3 3 3
k k
错；最小正周期为 ，D 错；由 2x ， k Z，得 x ， k Z，当 k 0 时， x ，所以
2 3 2 4 6 6
它的图像关于 ,0 对称，故选 C。
6
二、
9.【答案】ACD
【解析】因为函数 y sin x 在 , 上是单调递减的，所以 f (x) sin 2x在 , 上是单调递减的，故 A
2 4 2
错误；因为 f ( x) sin( 2x) sin 2x f (x)，所以 f x 为奇函数，关于原点对称，故 B 正确； f x
高中数学 必修第三册 1 / 7
的最小正周期为 ，故 C 错误； f x 最大值为 1，故 D 错误。
10.【答案】AB
sin( ) sin
【解析】A 正确；B 正确， cos
tan 360 tan
sin( ) sin
C 错， tan ；
cos( ) cos
cos( ) tan( )
D 错，
sin(2 )
( cos )( tan )
1。
sin
11.【答案】ABC
【解析】由题意，可得 f x cosx ，故根据余弦函数的图像可知 D 是错误的。
12.【答案】BD
5
【解析】由题意可知，图像 F 对应的函数为 y sin x ，则 k ，k Z，即 k ，
6 4 6 12
7 5
k Z，令 k 1，得 ；令 k 0 ，得 。故 的取值可能是 B、D 选项。
12 12
三、
13.【答案】 2
【解析】由题意知，T ， 2。
| | 2
14.【答案】 sin2
【解析】原式 sin(7 ) cos sin( ) cos
2 2
sin sin sin2
3 3
15.【答案】
5 4
4 9
【解析】由 sin2 cos2 1得 sin2 1 cos2 1 。已知 是第三象限角，则 sin ＜0 ，于
5 25
3 sin 3 5 3
是 sin ，从而 tan 。
5 cos 5 4 4
16.【答案】 y sin 2x
6
【解析】不妨设该函数为 y Asin x ，由最小正周期为 ，可知 2 ；又图像关于直线 x 对称，
3
所以 2 k (k Z) ，当 k 0 时， ，故函数 y sin 2x 满足以上两个条件。
3 2 6 6
四、
高中数学 必修第三册 2 / 7
2
1 1 sin
17.【答案】原式
cos2 sin2 1 sin
2
cos2
cos2
1 1 sin
tan
cos cos
18.【答案】
1 cos2 x sin2 x 2
y 2tan x 1 2tan x 1 tan2 x 2tan x 2 tan2 x 1 1，
cos2 x cos2 x
x , ， tan x [ 3,1]，
3 4
当 tanx 1，即 x 时， y 取得最小值 1；
4
当 tanx 1，即 x 时， y 取得最大值 5。
4
2
19.【答案】因为 g( x) s i n x (＞ 0的) 最小正周期为 ，所以 ，解得 2 ，所以
3
f x 3 c o s 2x，
6 6 2
由 f ( ) ，得 3 cos 2 ，即os2 ，
2 2 2
所以 2 2k ， k Z，则 k ， k Z，
4 8
7 7
因为 [ , ]，所以 , , , 。
8 8 8 8
2
20.【答案】（1）振幅为 2 ，最小正周期T ，初相为 ；
2 4
（2）图像如图所示。
B 卷
一、
1.【答案】B
高中数学 必修第三册 3 / 7
4 4
【解析】 角 θ 的终边过（4， 3）， osc ， cos( ) cos 。
5 5
2.【答案】D
【 解 析 】 y cos | 2x | 是 偶 函 数 ， y sin x 是 偶 函 数 ， y sin 2x cos2x 是 偶 函 数 ，
2
3
y cos 2x sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T 。
2
3.【答案】B
2 2 sin
2 15
【解析】 1 tan 15 cos 15 1 cos2 15 cos2 15 sin215 1。
cos
2 15
4.【答案】C
【解析】函数 y 5sin 2x 5sin 2 x 向右平移 个单位长度，即得 y 5sin 2x ，故选 C。
6 12 12
5.【答案】A
1
【解析】由 180 90 ，得120 ＜60 ＜ 30 ，又 cos 60 ，
3
2
1 2 2
所以 cos 30 sin 60 1 cos2 60 1 。
3 3
6.【答案】C
4 2
【解析】由题图可知T 2 4 ，
3 3
1
A (2 4) 3， B 1，
2
1
T 4 ， ，
2
1 4
令 ，得 。
2 3 2 6
7.【答案】A
4 4 8
【解析】由 y 3cos 2x 的图像关于点 ,0 中心对称，知 f 0，即3cos 0，
3 3 3
8 13
k (k Z)， k (k Z) ，
3 2 6
的最小值为 。
6
8.【答案】B
【解析】依题意知，满足条件的函数的周期是 π，图像以直线 x 为对称轴，且在 ， 上是增函数，3 6 3
对于 A 选项，函数周期为 4 ，因此 A 选项不符合；对于 C 选项， f 1，但该函数在 ， 上不
3 6 3
高中数学 必修第三册 4 / 7
是增函数，因此 C 选项不符合；对于 D 选项， f 1，即函数图像不以直线 x 为对称轴，因此 D
3 3
选项不符合，综上可知，应选 B。
二、
9.【答案】BC
sin
【解析】由同角三角函数的基本关系式，知 tan ，故 A 错；因为 α 是第二象限角，所以 sin ＞0 ，
cos
cos ＜0，所以 sin cos ＞0， sin cos 的符号不确定，
2
所以 1 2sin cos sin cos sin cos , ，故 B、C 正确，D 错。
10.【答案】AC
【解析】由 y sin 2x 1 cos2x 1知，y sin 2x 1为偶函数，且周期为 ，故 A 满足条件；
2 2
由 y cos 2x sin 2x 知， y cos 2x 为奇函数，故 B 不满足条件；
2 2
对任意 x R ， 1≤sin 2x≤1，
1 sin 2x≥0，1 sin 2x≥0 ，
f (x) 1 sin 2x 1 sin 2x 定义域是 R，关于原点对称，
f ( x) 1 sin( 2x) 1 sin( 2x) 1 sin 2x 1 sin 2x f (x) ， f (x) 是偶函数，且周期为 ，
故 C 满足条件；
y 2 cos 2x 是非奇非偶函数，故 D 不满足条件，故选 AC。
4
11.【答案】AC
1
【解析】 sin sin ，
4
1
sin ，若 ，则 ，
4 2 2
15
A 中 sin sin cos ，故 A 符合条件；
2 4
1
B 中， cos cos sin ，故 B 不符合条件；
2 4
15
C 中， tan 15 ，即 sin2 15 cos ，又 sin2 cos2 1，故 sin ，即 C 符合条件；
4
15 15 6
D 中， tan ，即 sin cos ，又 sin2 cos2 1，故 sin ，故 D 不符合条件。
5 5 4
12.【答案】AC
5
【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图像，在 0,2 上，当 cos x sin x 时，x 或 x ，
4 4
5
结合图像可知满足 cos x＞sin x 的是 0, 和 ,2 ，故选 AC。
4 4
高中数学 必修第三册 5 / 7
三、
13.【答案】m n
【解析】 两条直线所截得的线段长都为 y tan x( ＞0) 的最小正周期， m n 。
14.【答案】0
3 1 3 1
【解析】 arctan ， arcsin ， arctan arcsin 0。
3 6 2 6 3 2
1
15.【答案】
2
1 5 1 1
【解析】令 sin x ，得 x 2k 或 x 2k ， k Z，所以 f cos 。
2 6 6 2 3 2
16.【答案】2
T
【解析】根据题意得 g(x) 2sin x ，又 y g(x)在 , 上为增函数，所以 ≥ ，即 ≤2 ，所以
6 4
4 4
的最大值为 2。
四、
1
17.【答案】因为 cos sin ，所以 sin ，
2 2
cos cos
原式
cos cos 1 cos cos cos
1 1 2 2
8
1 cos 1 cos 1 cos2 sin2
7
18.【答案】（1） f x 的最小正周期为 ， x ， y0 30 。
6
5
（2）因为 x , ，所以 2x ,0 ，
2 12
6
6
于是当 2x 0，即 x 时， f x 取得最大值 0；
6 12
当 2x ，即 x 时， f x 取得最小值 3。
6 2 3
19.【答案】（1）因为 f (x) 3sin x ，
3
且 f 0，所以 k ， k Z。
6 6 3
故 6k 2， k Z，又0＜ ＜3 ，所以 2 ；
高中数学 必修第三册 6 / 7
（2）由（1）得 f (x) 3sin 2x ，
3
所以 g(x) 3sin x 3sin x ，
4 3 12
3 2
因为 x , ，所以 x , ，
4 4 12
3 3
3
当 x ，即 x 时， g(x) 取得最小值 。
12 3 4 2
1
20.【答案】（1）因为函数图像过点（0，1），所以 2sin 1，即 in ，因为 0≤ ≤ ，所以 。
2 2 6
2 1
（2）由（1）得 y 2sni x ，所以当 2k ≤ x ≤ 2k ，k Z，即 2k≤x≤ ，k Z
6 2 6 2 3 3
时， y 2sin x 是增函数，
6
2 1
故 y 2sin x 的单调递增区间为 2k, 2k ， k Z；
6 3 3
1 5 2
（3）由 y≥1，得 sin x ≥ ，所以 2k ≤ x ≤ 2k ， k Z， 2k≤x≤ 2k
6 2 6 6 6 3
2
所以 y≥1时， x的集合为 x 2k≤x≤ 2k, k Z 。
3
高中数学 必修第三册 7 / 7第七章综合测试
A 卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.下面各组角中，终边相同的是（ ）
A. 390 ， 690 B. 330 ， 750
C. 480 ， 420 D. 3 000 ， 840
2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
2
A.2 B. sin 2 C. D. 2sin 1
sin1
1
3.设 是第二象限角，P（ x，4）为其终边上的一点，且 cos x ，则 tan （ ）
5
4 3 3 4
A. B. C. D.
3 4 4 3
4.将函数 f (x) sin 2x 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 g(x) 的图像，则下列
3 6
说法不正确的是（ ）
A g(x) 的最小正周期为
3
B. g
6 2
C. x 是 g(x) 图像的一条对称轴
6
D. g(x) 为奇函数
sin 2cos
5.如果 5，那么 tan 的值为（ ）
3sin 5cos
23 23
A. 2 B.2 C. D.
16 16
6.函数 y tan 2x 是（ ）
A.周期为 的奇函数 B.周期为 的偶函数
C.周期为 的奇函数 D.周期为 的偶函数
2 2
1
7.设 cos ， (0, )，则 的值可表示为（ ）
6
1 1
A. arccos B. arccos
6 6
1 1
C. arccos D. arccos
6 6
8.关于函数 y tan 2x ，下列说法正确的是（ ）
3
高中数学 必修第三册 1 / 7
A.是奇函数
B.在区间 0, 上单调递减
3
C. ,0 为其图像的一个对称中心
6
D.最小正周期为
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9.对于函数 f (x) sin 2x，下列选项中错误的是（ ）
A. f x 在 , 上是递增的
4 2
B. f x 的图像关于原点对称
C. f x 的最小正周期为 2
D. f x 的最大值为 2
10.下列化简正确的是（ ）
sin( )
A.t tan( 1) tan1 B. cos
tan 360
sin( ) cos( ) tan( )
C. tan D. 1
cos( ) sin(2 )
11.已知函数 f (x) sin x (x R) ，下面结论正确的是（ ）
2
A.函数 f x 的最小正周期为 2
B.函数 f x 在区间 0, 上是增函数
2
C.函数 f x 的图像关于直线 x 0 对称
D.函数 f x 是奇函数
12.将函数 y sin x＋ 的图像 F 向左平移 个单位长度后得到图像 F ，若 F 的一个对称
6
中心为 ,0 ，则 的取值可能是（ ）
4
5 5 7
A. B. C. D.
12 12 6 12
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
13.若函数 y 3tan x 的最小正周期是 ，则 ________。
6 2
3
14.化简： sin( 7 ) cos ________。
2
4
15.若 cos ， 是第三象限角，则 sin ________， tan ________。
5
高中数学 必修第三册 2 / 7
16.若一个函数同时具有：（1）最小正周期为 ，（2）图像关于直线 x 对称。请列举一个
3
满足以上两条件的函数________（答案不唯一，列举一个即可）。
四、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
1 1 sin
17.化简： （ 为第二象限角）。
cos2 1 tan2 1 sin
1
18.已知 x , ，求函数 y 2tan x 1 的最值及相应的 x的值。
3 4 cos
2 x
19.已知函数 f (x) 3 cos x ，g(x) sin x ( ＞0) ，且 g(x)的最小正周期为 ，若
3
6
f ( ) ， [ , ]，求 的值。
2
20.已知函数 f (x) 2 sin 2x 1。
4
（1）求它的振幅、最小正周期、初相；
（2）画出函数 y f (x) 在 , 上的图像。
2 2
高中数学 必修第三册 3 / 7
B 卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.已知角 θ的终边过点（4， 3），则 cos( ) （ ）
4 4 3 3
A B. C D.
5 5 5 5
2.下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A. y cos | 2x | B. y | sin x |
3
C. y sin 2x D. y cos 2x
2 2
3. 1 tan2 15 cos2 15 的值等于（ ）
1 3 1 1
A. B.1 C. D.
2 2 2
4.由函数 y 5sin 2x 的图像得到函数 y 5sin 2x 的图像的平移变换为（ ）
6
A.向右平移 个单位长度
6
B.向左平移 个单位长度
6
C.向右平移 个单位长度
12
D.向左平移 个单位长度
12
1
5.已知 cos 60 ，且 180 ＜ ＜ 90 ，则 cos 30 的值为（ ）
3
2 2 2 2 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.已知函数 y Asin( x ) B A＞0, ＞0,| |＜ 的周期为 T，在一个周期内的图像如
2
图所示，则正确的结论是（ ）
A. A 3，T 2 B. B 1， 2
C.T 4 ， D. A 3，
6 6
4
7.如果函数 y 3cos(2x )的图像关于点 ,0 中心对称，那么 的最小值为（ ）
3
高中数学 必修第三册 4 / 7
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
8.同时具有下列性质的函数可以是（ ）
①对任意 x R ， f (x ) f (x)恒成立；②图像关于直线 x 对称；③在 ， 上是3 6 3
增函数。
x
A. f (x) sin B. f (x) sin 2x
2 6 6
C. f (x) cos 2x D. f (x) cos 2x
3 6
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9.若 是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是（ ）
sin
A. tan
cos
B. 1 2sin cos sin cos
2
C. cos 1 sin
D. 1 2sin cos sin cos
10.下列函数中，最小正周期为 的偶函数是（ ）
A. y sin 2x 1
2
B. y cos 2x
2
C. f (x) 1 sin 2x 1 sin 2x
D. y 2 cos 2x
4
11.定义：角 与 都是任意角，若满足 ＋ ，则称 与 “广义互余”，已知
2
1
sin ，下列角 中，可能与角 “广义互余”的是（ ）
4
15 1
A. sin B. cos
4 4
15
C. tan 15 D. tan
5
12.下列在 0,2 上的区间能使 cos x＞sin x 成立的是（ ）
5
A. 0, B. ,
4 4 4
5 5
C. ,2 D. , ,
4 4 2 4
高中数学 必修第三册 5 / 7
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
13.已知函数 y tan x( ＞0) 的图像的相邻两支截直线 y 1和 y 2所得的线段长分别为
m， n，则m， n的大小关系是________。
3 1
14. arctan arcsin ________。
3 2
1
15.若函数 f (sin x) cos2x ，则 f 的值为________。
2
16.将函数 f (x) 2sin x ( ＞0) 的图像向左平移 个单位得到函数 y g(x)的图像。
3 3
若 y g(x) 在 , 上为增函数，则 的最大值为________。
6 4
四、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
1 cos 3 cos 4
17.已知 cos ，求 的值。
2 2 cos cos( ) 1 cos 2 cos 3 cos
18.函数 f (x) 3sin 2x 的部分图像如图所示。
6
（1）写出 f x 的最小正周期及图中 x0 ， y0 的值；
（2）求 f x 在区间 , 上的最大值和最小值。
2 12
19.设函数 f (x) 3sin x ，其中0＜ ＜3 已知 f 0。
3 6
（1）求 ；
（2）将函数 y （f x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的
3
图像向左平移 个单位，得到函数 y g（x）的图像，求 g（x）在 , 上的最小值。 4 4 4
高中数学 必修第三册 6 / 7
20.如图，函数 y 2sin x ， x R 其中 0≤ ≤ 的图像与 y 轴交于点（0，1）。
2
（1）求 的值；
（2）求函数 y 2sin x 的单调递增区间；
（3）求使 y≥1的 x的集合。
高中数学 必修第三册 7 / 7
