第九章综合测试
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1.已知在△ABC 中， c 6 ， a 4 ， B 120 ，则b 等于（ ）
A.76 B. 2 19 C.27 D. 2 7
2.在△ABC 中， AB 3， AC 2 ， BC 10 ，则 AB AC 等于（ ）
3 2 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 2
3.在△ABC 中， a 1， B 45 ，△ABC 的面积为 2，则三角形外接圆的半径为（ ）
5 2
A. 2 3 B. 4 2 C. D.3 2
2
3 3
4.△ABC 中， B ，且 a c ，b 3 ，则△ABC 面积为（ ）
3 2
5 3 3 7 3
A. B. C. D. 2 3
16 4 12
5.已知锐角三角形的三边长分别为 3，4， a ，则 a 的取值范围是（ ）
A.（1，5） B.（1，7）
C.（ 7 ，5） D.（ 7 ，7）
6.如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西75 距塔 68 海里的
M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航行的速度为（ ）
17 6
A. 海里/时 B. 34 6 海里/时
2
17 2
C. 海里/时 D. 34 2 海里/时
2
7.在△ABC 中，角 A， ， 2 2B C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知b c ，a 2b 1 sin A ，则
A （ ）
3
A. B. C. D.
4 3 4 6
8.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若△ABC 的面积为 S，且
2S (a b)2 c2 ，则 tan C 等于（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有
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多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。）
9.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A.b 10 ， A 45 ，C 70 B.b 45 ， c 48， B 60
C. a 14，b 16 ， A 45 D. a 7 ，b 5， A 80
10.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足
sin B 1 2cos C 2sin Acos C cos Asin C ，则下列等式成立的是（ ）
A. 2sin B sin A B. 2cos B cos A
C. a 2b D. B 2A
11.已知 a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A.若 tan A tan B tan d＞0，则△ABC 是锐角三角形
B.若 acos A bcos B，则△ABC 是等腰三角形
C.若bcosC ccos B b ，则△ABC 是等腰三角形
a b c
D.若 ，则△ABC 是等边三角形
cos A cos B cosC
12.在△ABC 中，已知 a b : c a : b c 6 :5 : 4，给出下列结论中正确结论是（ ）
A.由已知条件，这个三角形被唯一确定
B.△ABC 一定是钝三角形
C. sin A : sin B : sin C 7 :5 :3
15 3
D.若b＋c 8 ，则△ABC 的面积是
2
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若b＋c 2a ，3sin A 5sin B ，则
角C ________。
14.某人在 C 点测得塔在南偏西80 方向，且塔顶 A 的仰角为 45 ，此人沿南偏东 40 方向
前进10 m到 B 点，测得塔顶 A 的仰角为30 ，则塔高为________ m 。
15.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知 a 3 ，
A C
2cos2 2 1 cos B ，c ________，求角 A，（答案提示：A 60 ，请将条件补充
0
完整）
16.（多空题）在△ABC 中， ABC 90 ， AB 4 ， BC 3 ，点 D 在线段 AC 上，若
BDC 45 ，则 BD ________， cos ABD ________。
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四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b 3，AB AC 6，S△ABC 3，
求 A 和 a 。
在△ABC 中， ，b ， 分别为内角 2 2 218. a c A，B，C 的对边，且 a ＋c b ＋ 2ac 。
（1）求角 B 的大小。
（2）求 2 cos A cos C 的最大值。
19.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a ，b ， c ，且 bsinA 3acosB
（1）求 B 的大小；
（2）若b 3， sinC 2sinA，求 a ， c 的值。
20.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 a2 b b＋c 。
（1）求证： A 2B；
（2）若 a 3b，判断△ABC 的形状。
21.如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为60 ，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45 ，
已知塔高 AB 为 20 m ，求山高 CD。（精确到0.1 m）
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2
22.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 sin B sinC sin2 A sin BsinC 。
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sin C 。
高中数学 必修第四册 4 / 4第九章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】由余弦定理，得b2 a2＋c2 2accos B 42＋62 2 4 6cos 120 76 ，
所以b 2。
2.【答案】D
AB2 AC2 BC2 9 4 10 1
【解析】在△ABC 中， cos BAC ，
2AB AC 2 3 2 4
1 3
AB AC | AB | AC∣cos BAC 3 2 。
4 2
3.【答案】C
1 1 2
【解析】由三角形的面积公式，得 2 acsin B c ，
2 2 2
2 b
c 4 2 ，又b2 a2 c2 2accos B 1 32 2 1 4 2 25， b 5 ，又 2R ，
2 sin B
b 5 5 2
R 。
2sin B 2 2
2
2
4.【答案】A
a2 c2 b2 1
【解析】 B ， 由余弦定理得 cos B ，
3 2ac 2
(a c)2 2ac b2 1
，
2ac 2
3 3 27 5
又 a c ，b 3 ， 2ac 3 ac ， ac ，
2 4 4
1 1 5 3 5 3
S△ acsin B 。 ABC
2 2 4 2 16
5.【答案】C
32 a2＞16
【解析】 三角形为锐角三角形， 2 ，解得 7＜a ＜25 ，
32 4
2＞a2
又 a＞0 ， 7＜a＜5 ， a的取值范围是（ 7 ，5）。
6.【答案】A
PM MN
【解析】由题意知 PM 68海里， MPN 120 ， N 45 ，由正弦定理，知 ，
sin 45 sin120
3
MN 68 2 34 6 （海里），
2
34 6 17 6
速度为 （海里/时）。
4 2
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7.【答案】A
【解析】由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccos A，
又因为b c ，
所以 a2 b2 b2 2b bcos2 A 2b2 1 cos2 A ，
由已知 a2 2b2 1 sin A ，
所以 sin A cos A，
因为 A （0， ），所以 A 。
4
8.【答案】D
【解析】由 2S (a b)2 c2 ，得 2S a2 b2 2ab c2 ，
1
即 2 absinC a2 b2 2ab c2 ，
2
所以 absinC 2ab a2 b2 c2 ，
a2 b2 c2 absinC 2ab sinC
由余弦定理可知 cosC 1，
2ab 2ab 2
sinC
所以 cosC 1 ，
2
C C C
即 2cos2 sin cos ，
2 2 2
C
所以 tan 2，
2
C
2 tan
2 2 2 4所以 tanC 。
2 C 1 2
2 3
1 tan
2
二、
9.【答案】BC
【解析】选项 B 满足 csin 60 ＜b＜c ，选项 C 满足bsin 45 ＜a＜b，所以 B、C 有两解，对于选项 A，可求
bsin A
得 B 180 A C 65 ，三角形有一解，对于选项 D，由 sin B ，且b＜a ，可得 B 为锐角，只有
a
一解，三角形只有一解。
10.【答案】AC
【解析】因为 sin A C 2sin BcosC 2sin AcosC cos AsinC ，所以 2 s i nB c oCs s iAn cCo，s 又
0＜C＜ ，得 2sin B sin A ，从而由正弦定理得 2b a。
2
11.【答案】ACD
【解析】 tan A tan B tan A B 1 tan A tan B ，
tan A tan B tanC tan A B 1 tan A tan B tanC tan A tan B tanC＜0 ，
又 A，B，C 是△ABC 的内角， 角 A，B，C 都是锐角，选项 A 正确；
若 acos A bcos B，则 sin Acos A sin Bcos B ，
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2sin Acos A 2sin Bcos B ， sin 2A sin 2B ，
A B，或 A B 90 ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，选项 B 错误；
若bcosC ccos B b ， sin BcosC sinC cos B sin B C sin A sin B，
则 A B， △ABC 是等腰三角形，选项 C 正确；
a b c sin A sin B sinC
若 ，则 ，
cos A cos B cosC cos A cos B cosC
即 t tan A tan B tanC ， A B C ，
△ABC 是等边三角形，选项 D 正确。
12.【答案】BC
【解析】 a b : c a : b c 6 :5 : 4 ，
设 a b 6k ， c a 5k ，b c 4k ， k＞0 ，
7 5 3
得 a k ，b k ， c k ， a :b : c 7 :5 :3，
2 2 2
sin A : sin B : sinC 7 :5 :3，选项 C 正确；
由于三角形 ABC 的边长不确定，所以三角形不确定，选项 A 错误；
25 2 9 49
2 2 2 k k
2 k 2
b c a 1
由于 cos A 4 4 4 ＜0，所以 A 是钝角，即△ABC 是钝角三角形，选项 B
2bc 5 3 2
2 k 2
2 2
正确；
5 3
若b c 8, ，则 k k 4k 8 ， k 2 ， b 5 ， c 3， A 120 ，
2 2
1 1 3 15 3
△ABC 的面积 S bcsin A 5 3 ，选项 D 错误。
2 2 2 4
三、
2
13.【答案】
3
【解析】 3sin A 5sin B ， 3a 5b ，①
又 b c 2a，②
5 7
由①②可得， a b ， c b，
3 3
2 5 7 b b 2 b2 2 2 b a c 3 3 1 2
cosC ，又0＜C＜ ， C 。
2ab 5 2 3
2 b b
3
14.【答案】10
【解析】设塔底为 A ，AA h m，则借助于实物模拟图（如图所示）可以求得 A C h m ，A B 3h m ，
在△A BC 中， A C h m ， BC 10 m ， A B 3h m ， A CB 120 ，
2
2 3h h2 100 2h 10 cos120 ，即 h 5h 50 0，解得 h 10 （ h 5 舍）。
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6 2
15.【答案】
2
2
【解析】由题知1 cos A C 2 1 cos B ，所以1 cosB 2 1 coBs ，解得 cosB ，所以
2
B 45 ，
3 c 6 2
又 A 60 ，所以C 75 ，根据正弦定理，得 ，解得 c 。
sin 60 sin 75 2
12 2 7 2
16.【答案】
5 10
【解析】如图所示，设CD x ， DBC ，则 AD 5 x ， ABD ，在△BDC 中，由正弦定理
2
3 x x
得 3 2 sin ，
sin
sin 3 2
4
5 x 4 5 x
在△ABD 中，由正弦定理得 4 2 cos ，
3
sin sin
4 2
2 4
2 25 x
2 2 x 3 21由 sin cos 1，解得 x1 （舍去）， x2 ；
18 32 5 5
4
3
s i n C 1 2 2
在 △BDC 中，由正弦定理，得 BD BC 5 ，在 △ABD 中，由正弦定理得
s i n BDC 2 5
2
0 . 8 4 2 7 2
s i n ABD c o s ABD 。
s i n ABD 1 0 1 0
s i n
4
四、
17.【答案】因为 AB AC 6，所以bccos A 6 ，
又 S△ABC 3，所以bcsin A 6 ，所以 cos A sin A，
因此 tan A 1，
3
又 0＜A＜ ，所以 A ，
4
又b 3，所以 c 2 2 ，
由余弦定理 a2 b2＋c2 2bccosA ，
2
得 a2 9＋8 2 3 2 2 29，
2
所以 a 29 。
a2 c2 b2 2
18.【答案】（1）由余弦定理及 a2 c2 b2 2ac得 cos B ，
2ac 2
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又 0＜B＜ ， B ，
4
3
（2）由（1）知， A C B ，
4
3
2 cos A cosC 2 cos A cos A
4
2 2 2 2
2 cos A cos A sin A cos A sin A
2 2 2 2
sin A ，
4
3
又 0＜A＜ ， ＜A ＜ ， 当 A 时，即 A 时， sin A 取得最大值 1，
4 4 4 4 2 4 4
2 cos A cosC 的最大值为 1。
19.【答案】（1） bsin A 3acos B ，
由正弦定理得， sin Bsin A 3sin Acos B，
A 为 △ABC 的内角， sin A＞0， tan B 3 ，
0＜B＜ ， B ，
3
（2） sin C 2sin A， c 2a ，
由（1）知 B ， b2 a2 c2 2accos B ，
3
1
a2 (2a)2 2a 2a 9 ， a 3 ， c 2 3 。
2
20.【答案】（1）因为 a2 b b＋c ，即 a2 b2＋bc ，
所以在△ABC 中，由余弦定理，
a2 c2 b2 c2 bc
可得 cos B ，
2ac 2ac
b c a2 a sin A
，即 sin A 2sin B cos B，
2a 2ab 2b 2sin B
所以 sin A sin 2B ，故 A 2B。
b
（2）因为 a 3b，所以 3 ，
a
由 a2 b b＋c 可得 c 2b ，
a2 c2 b2 3b2 4b2 b2 3
cos B ，
2ac 4 3b2 2
所以 B 30 ， A 2B 60 ，C 90 。
所以△ABC 为直角三角形。
21.【答案】由条件知 DBC 60 ， ECA 45 ，
在△ABC 中， ABC 90 60 30 ，
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ACB 60 45 15 ，
CAB 180 ABC＋ ACB 180 30 ＋15 135 ，
BC AB
由正弦定理，得 ，
sin135 sin15
2
20
AB sin135 2 40 BC (m)，
sin15 1
( 6 2) 3 1
4
40 3
在 Rt△BCD 中，CD BC sin CBD 47.3(m)，
3 1 2
故山高 CD 约为 47.3 m 。
22.【答案】（1）由已知得 2 sin A sin 120 C 2sinC ，
故由正弦定理得b2 c2 a2 bc ，
b2 c2 a2 1
由余弦定理得 cos A ，
2bc 2
因为0 ＜A＜180 ，所以 A 60 ，
（2）由（1）知 B 120 C ，
由题设及正弦定理得 2 sin A sin 120 C 2sinC ，
6 3 1
即 cosC sinC 2sinC ，
2 2 2
2
可得 cos C 60 ，
2
2
因为0 ＜C＜120 ，所以 sin C 60 ，
2
6 2
故 sinC sin C 60 60 sin C 60 cos60 cos C 60 sin 60 。
4
高中数学 必修第四册 6 / 6
