人教版数学高分笔记之导与练14.1.2幂的乘方（原卷+答案）

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14.1.2 幂的乘方
知识要点：
幂的乘方，底数 ，指数 ，用式子表示为（am）n＝ ______（m，n都是正整数）.
易错点睛：
已知10m＝2，求103m的值．
典例讲解
题型一、利用幂的乘方求字母的值
例1、（1）已知2x8xx16＝222，求x的值；
（2）已知（27x）2＝312，求x的值．
解题策略
利用幂的乘方和同底数幂的乘法，将等式两边化为同底数幂，利用指数相等构造方程求
变式训练：
若2nx4n＝64，则n＝________
2、［方程思想］（1）已知2x8nx32n＝225，求n的值；
（2）已知（9n）2＝316，求n的值．
题型二、幂的乘方的性质的逆用
例2 ［整体思想］已知a5n＝3，求a10n -a15n的值．
解题策略
对于求值问题，要根据式子的特点，逆用幂的乘方的性质，将待求的式子转化为含有已知式子的形式，再整体代入求值.
变式练习：
1、已知3n＝5，则9n的值是（ ）
A.25 B.50 C.250 D.500
2、已知10m＝3,10n＝2，求下列各式的值：
(1)103m;(2)102m;(3)103m+2n.
当堂检测
计算（a2）3的结果是（ ）
A.a5 B.a6 C.a8 D.a
2．正方体的棱长是（1-3b）2，则它的体积是（ )
A.(1-3b)6 B.(1-3b)9 C.(1-3b)12 D.(1-3b)5
3．填空：（1）（x3）5＝ (2)(x5)3= (3)[(x-y)2]4=_________
4．计算：
(1)(102)5; (2)[(-a)2]7;
(3)(a2)m·am+2; (4)-[(x+y)4]3.
5.b12=(____)3=(_____)6=(______)2.
6．已知am＝2，则a3m＝______
7．填空：（1）若2n＝5，则8n的值是 ______ （2）已知a2x＝3，则（ax）4的值是______
8．填空：（1）a3x＝3，则a6x的值是_______ （2）已知3x9mx27m＝321，则m＝_______
9．计算：（1）（x2）3＋x4·x2； (2)m·㎡·m3+2(m3)2-8(㎡)3.
（1）若an·a3＝（an）2，且a≠0，a≠±1．求n的值；
（2）已知am＝4，a2m＋n＝144，求an的值．
答案：
幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ，用式子表示为（am）n＝ amn（m，n都是正整数）.
易错点睛：
已知10m＝2，求103m的值．
【点睛】逆向使用幂的运算法则，103m＝（10m）3，本题易错为103m＝3·10m．
【解】103m＝（10＂）3＝23＝8．
典例讲解
题型一、利用幂的乘方求字母的值
例1、（1）已知2x8xx16＝222，求x的值；
（2）已知（27x）2＝312，求x的值．
思路分析
解：（1）因为2x8xx16＝2x（23）xx（24）x＝21＋3x＋4x＝21＋7x＝222，
所以1＋7x＝22，解得x＝3．
（2）因为（27x）2＝36x＝312，所以6x＝12，解得x＝2．
解题策略
利用幂的乘方和同底数幂的乘法，将等式两边化为同底数幂，利用指数相等构造方程求
变式训练：
1、若2nx4n＝64，则n＝2
2、［方程思想］（1）已知2x8nx32n＝225，求n的值；
解：因为2x8nx32n＝225，
所以2x23nx25n＝225．
所以1＋3n＋5n＝25，解得n＝3．
（2）已知（9n）2＝316，求n的值．
解：因为（9n）2＝316，所以34n＝316．所以4n＝16，解得n＝4．
题型二、幂的乘方的性质的逆用
例2 ［整体思想］已知a5n＝3，求a10n -a15n的值．
答案：0
解题策略
对于求值问题，要根据式子的特点，逆用幂的乘方的性质，将待求的式子转化为含有已知式子的形式，再整体代入求值.
变式练习：
1、已知3n＝5，则9n的值是（A）
A.25 B.50 C.250 D.500
2、已知10m＝3,10n＝2，求下列各式的值：
(1)103m;(2)102m;(3)103m+2n.
解：（1）103m＝（10m）3＝33＝27；
(2)102n=(10n)2=22=4;
(3)103m+2n=103mx102m=27x4=108.
当堂检测
计算（a2）3的结果是（ B ）
A.a5 B.a6 C.a8 D.a
2．正方体的棱长是（1-3b）2，则它的体积是（ A )
A.(1-3b)6 B.(1-3b)9 C.(1-3b)12 D.(1-3b)5
3．填空：（1）（x3）5＝ x15 (2)(x5)3= x15 (3)[(x-y)2]4=(x-y)8
4．计算：
(1)(102)5; (2)[(-a)2]7;
解：1010； 解：a14；
(3)(a2)m·am+2; (4)-[(x+y)4]3.
解：a3m＋2； 解：-（x＋y）12．
5.b12=(b4)3=(b2)6=(b6)2.
6．已知am＝2，则a3m＝ 8
7．填空：（1）若2n＝5，则8n的值是 125 （2）已知a2x＝3，则（ax）4的值是9．
8．填空：（1）a3x＝3，则a6x的值是9 ; （2）已知3x9mx27m＝321，则m＝4
9．计算：（1）（x2）3＋x4·x2； (2)m·㎡·m3+2(m3)2-8(㎡)3.
解：2x6； 解：-5m6．
（1）若an·a3＝（an）2，且a≠0，a≠±1．求n的值；
（2）已知am＝4，a2m＋n＝144，求an的值．
解：（1）∵an·a3＝（an）2，∴an＋3＝a2n，∵a≠±1，且a≠0，∴n＋3＝2n，解得n＝3；
(2)∵a2m+n=144,∴a2m·an=144,∵(am)2·an=144,∵am=4,∴42·an=144,∴an=9.
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