2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第二章 常用逻辑用语 复习课讲义（学生版 教师版）

编号：011 课题: §2 常用逻辑用语复习课
目标要求
1、理解命题，定义等基本概念．
2、充分条件、必要条件、充要条件的判断．
3、全称量词命题和存在量词命题及其否定
重点难点
重点：充分条件、必要条件、充要条件的判断；
难点：全称量词命题和存在量词命题及其否定．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
思维导图·构建网络
1.. 命题
(1)定义:可判断_______的陈述句叫作命题.
(2)一般形式:“如果p,那么q” 或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的______,q叫作命题的_____.
2.定理的含义
(1)已经被证明为________的命题;
(2)可以作为推理的依据而直接使用.
22.定义的含义和特点
(1)含义:对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
(2)特点:用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.
3. 命题真假与推出关系
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 ___________ ____________
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果p q,q s,那么 _____
4.充分条件、必要条件
推出关系 p q
条件关系 p是q的_______条件,q是p的________条件
5.充要条件
(1)定义:
推出关系 p q,且q p,记作________称为“p与q等价”或“p等价于q”
条件关系 p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件
(2)本质:p是q的充分必要条件,也常说成p成立当且仅当q成立.
(3)应用:充要条件是数学中非常重要的概念,应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.
6.性质定理、判定定理和数学定义
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“_____________”.
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征.
判定定理具有“_______________”.
(3)数学定义既具有必要性也具有充分性.
7. 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“_____”“每一个”等表示_______的词 “存在”“____”“有一个”等表示______或______的词
符号 用“______”表示“对任意x” 用“_______”表示“存在x”
8.全称量词命题与存在量词命题
(1)定义和表示方法:
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有___________的命题称为全称量词命题 含有__________的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为:________________ 一般形式可表示为:__________________
(2)本质:全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.
(3)应用:全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语,数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.
9. 全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M,p(x) ___________________________
x∈M,p(x) ___________________________
注:“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定
10.命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题.这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
【综合复习题练】
题1．命题“ a，b∈R，使方程ax＝b都有唯一解”的否定是 (　 　)
A． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一 B． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一
C． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在 D． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在
题2．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在{x|x＞0}上有解”的否定是 (　　)
A． x∈{x|x＞0}，ax2－x－2≠0 B． x∈{x|x＞0}，ax2－x－2≠0
C． x∈{x|x＜0}，ax2－x－2＝0 D． x∈{x|x＜0}，ax2－x－2＝0
题3．|m|≠2是m≠2的________条件 (　 　)
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
题4． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的 (　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题5．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的 (　　 )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题6．在下列结论中，正确的是 (　 　)
A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
题7．下列命题正确的是 (　 　)
A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B．命题“若x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
题8．下列关于二次函数y＝2－1的说法正确的是 (　 　)
A． x∈R，y＝2－1≥1 B． a＞－1， x∈R，y＝2－1＜a
C． a＜－1， x∈R，y＝2－1＝a D． x1≠x2，2－1＝2－1
题9．把命题“当x＝－12时，|x|＝12”改写成“若p，则q”的形式：________________________________.
题10．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′ ”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．
题11．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
(2)在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等．
(3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
题12．试判断“p：x＝1”是“q：x3－x2－x＋1＝0”的充分条件还是必要条件？并给出证明．
题13．已知p： x∈R，使mx2－4x＋2＝0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B.
(2)设A＝为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
题14．已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x2－(3m＋1)x＋2m(m＋1)＝0}．
(1)若“命题p： x∈B，则x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若“命题q： x∈B，使x∈A”是真命题，求m的取值范围．
编号：011 课题: §2 常用逻辑用语复习课
目标要求
1、理解命题，定义等基本概念．
2、充分条件、必要条件、充要条件的判断．
3、全称量词命题和存在量词命题及其否定
重点难点
重点：充分条件、必要条件、充要条件的判断；
难点：全称量词命题和存在量词命题及其否定．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
思维导图·构建网络
1.. 命题
(1)定义:可判断 真假 的陈述句叫作命题.
(2)一般形式:“如果p,那么q” 或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.
2.定理的含义
(1)已经被证明为 真 的命题;
(2)可以作为推理的依据而直接使用.
22.定义的含义和特点
(1)含义:对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
(2)特点:用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.
3. 命题真假与推出关系
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 _____ ______
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果p q,q s,那么 _____
4.充分条件、必要条件
推出关系 p q
条件关系 p是q的_充分_条件,q是p的_必要_条件
5.充要条件
(1)定义:
推出关系 p q,且q p,记作__ p q ___称为“p与q等价”或“p等价于q”
条件关系 p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件
(2)本质:p是q的充分必要条件,也常说成p成立当且仅当q成立.
(3)应用:充要条件是数学中非常重要的概念,应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.
6.性质定理、判定定理和数学定义
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“___必要性____”.
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征.
判定定理具有“___充分性____”.
(3)数学定义既具有必要性也具有充分性.
7. 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“__任意___”“每一个”等表示__全体___的词 “存在”“___有的__”“有一个”等表示__部分___或__个体___的词
符号 用“____”表示“对任意x” 用“____”表示“存在x”
8.全称量词命题与存在量词命题
(1)定义和表示方法:
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有____全称量词_____的命题称为全称量词命题 含有__存在量词__的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为:______ x∈M,p(x)______ 一般形式可表示为:____ x∈M,p(x)________
(2)本质:全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.
(3)应用:全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语,数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.
9. 全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M,p(x) _____ x∈M,﹁p(x)________
x∈M,p(x) _______ x∈M,﹁p(x)______
注:“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定
10.命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题.这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
【综合复习题练】
题1．命题“ a，b∈R，使方程ax＝b都有唯一解”的否定是 (　 　)
A． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一 B． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一
C． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在 D． a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在
【解析】选D.该命题的否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况．
题2．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在{x|x＞0}上有解”的否定是 (　　)
A． x∈{x|x＞0}，ax2－x－2≠0 B． x∈{x|x＞0}，ax2－x－2≠0
C． x∈{x|x＜0}，ax2－x－2＝0 D． x∈{x|x＜0}，ax2－x－2＝0
【解析】选B.该命题可以表述为 x∈{x|x＞0}，ax2－x－2＝0，其否定是“ x∈{x|x＞0}，ax2－x－2≠0”．
题3．|m|≠2是m≠2的________条件 (　 　)
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解析】选B.|m|≠2 m≠±2，而由m≠2，推不出|m|≠2.所以|m|≠2是m≠2的充分不必要条件．
题4． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的 (　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.若“学生甲在沧州市”，则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”，则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立；
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件．
题5．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的 (　　 )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.当a<0时，方程ax2＋1＝0，即x2＝－，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程ax2＋1＝0至少有一个负根时，a不可以为0，从而x2＝－，所以a<0，由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2＋1＝0至少有一个负根”的充要条件．
题6．在下列结论中，正确的是 (　 　)
A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
【解析】选AD.对于选项A，由x3＝－27，得x＝－3 x2＝9，但是x＝3适合x2＝9，推出x3＝27≠－27，故A正确；对于选项B，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，但△ABC为直角三角形 AB2＋AC2＝BC2或AB2＋BC2＝AC2或BC2＋AC2＝AB2，故B错误；对于选项C，由a2＋b2≠0a，b全不为0，由a，b全不为0 a2＋b2≠0，故C错误；对于选项D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故D正确．
题7．下列命题正确的是 (　 　)
A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B．命题“若x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解析】选ABD.A正确．“a＞1”可推出“＜1”，但是当＜1时，a有可能是负数，所以“＜1”推不出“a＞1”，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件；B正确．
由全称量词命题的否定方法可知．C.错误．
当x＝－3，y＝3时，x2＋y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2＋y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要条件．
D正确．“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件．
题8．下列关于二次函数y＝2－1的说法正确的是 (　 　)
A． x∈R，y＝2－1≥1 B． a＞－1， x∈R，y＝2－1＜a
C． a＜－1， x∈R，y＝2－1＝a D． x1≠x2，2－1＝2－1
【解析】选BD.二次函数y＝2－1，开口向上，对称轴为x＝2，最小值为－1.
对于A，二次函数y＝2－1≥－1，所以 x∈R，y＝2－1≥1错误，即A错误；
对于B，二次函数y＝2－1≥－1，所以 a＞－1， x∈R，y＝2－1＜a正确，即B正确；
对于C，二次函数y＝2－1≥－1，所以 a＜－1， x∈R，y＝2－1＝a错误，即C错误；
对于D，根据二次函数的对称性可知， x1≠x2，2－1＝2－1正确，即D正确．
题9．把命题“当x＝－12时，|x|＝12”改写成“若p，则q”的形式：________________________________.
答案：若x＝－12，则|x|＝12
题10．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′ ”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．
【解析】(1)当ac<0时，Δ＝b2－4ac>0，此时ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；
当ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，Δ＝b2－4ac≥0，推不出ac<0，比如b＝2，a＝c＝1时，满足Δ＝b2－4ac≥0，但是ac>0，所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要不充分条件．
(2)三角形全等能推出三角形相似，但是三角形相似推不出三角形全等，所以“△ABC≌△A′B′C′ ”是“△ABC∽△A′B′C′ ”的充分不必要条件．
答案：(1)必要条件　(2)充分条件
题11．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
(2)在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等．
(3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
【解析】(1)真命题．该命题的否定为： x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(2)假命题．该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等．
(3)真命题．该命题的否定为：任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
题12．试判断“p：x＝1”是“q：x3－x2－x＋1＝0”的充分条件还是必要条件？并给出证明．
【解析】是充分条件，但不是必要条件，证明如下：
由x3－x2－x＋1＝x2(x－1)－(x－1)＝(x－1)2(x＋1)＝0，得x＝1或x＝－1，
p：x＝1 q：x＝1或x＝－1，q：x＝1或x＝－1p：x＝1.所以是充分条件，但不是必要条件．
题13．已知p： x∈R，使mx2－4x＋2＝0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B.
(2)设A＝为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意得关于x的方程mx2－4x＋2＝0无实数根，当m＝0时，x＝，有实数根，不合题意；
当m≠0时，由已知得Δ＝16－4×2m＜0，解得m＞2，所以B＝(2，＋∞).
(2)因为A＝为非空集合，所以a＋2＞3a，所以a＜1，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，所以3a≥2，解得a≥，
所以实数a的取值范围是.
题14．已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x2－(3m＋1)x＋2m(m＋1)＝0}．
(1)若“命题p： x∈B，则x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若“命题q： x∈B，使x∈A”是真命题，求m的取值范围．
【解析】B＝{x|x2－(3m＋1)x＋2m(m＋1)＝0}＝{x|(x－2m)[x－(m＋1)]＝0}．
(1)若“命题p： x∈B，则x∈A”是真命题，所以B A，所以整理得－＜m＜0.
(2)若“命题q： x∈B，使x∈A”是真命题，所以－1＜2m＜1，或－1＜m＋1＜1，
整理得－＜m＜或－2＜m＜0，所以－2＜m＜.
PAGE