2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第二章第二节 充分条件、必要条件、充要条件 讲义（学生版 教师版）

编号：008 课题:§2.2 充分条件、必要条件、充要条件
目标要求
1、理解命题的概念和分类．
2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．
3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．
重点难点
重点：理解并掌握命题的结构形式；
难点：命题的真假判断．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 命题真假与推出关系
命题真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q” 为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 ___________ ___________
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果p q，q s，那么_________
2.充分条件、必要条件
推出关系 p q
条件关系 p是q的______条件，q是p的______条件
3.充要条件
(1)定义：
推出关系 p q，且q p，记作______称为“p与q等价”或“p等价于q”
条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的______条件
(2)本质：p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立．
(3)应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容．
4．性质定理、判定定理和数学定义
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“______性”．
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征．判定定理具有“______性”．
(3)数学定义既具有______性也具有______性．
【课前基础演练】
题1．不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是 ( )
A． B． C． D．
题2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是 ( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac题3．从符号“ ”“”“ ”中选择适当的一个填空：
(1)x－2＝0______(x－2)(x－3)＝0；
(2)a＋5是无理数______a是无理数；
(3)x＝y________.
题4．从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：
(1)“x>2”是“x>3”的________条件；
(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的________条件．
题5．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________条件．(用“充分”“必要”填空)
题6．p：1－x<0，q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为__________．
题7．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【当堂巩固训练】
题8．“x>0且x<4”的一个充分不必要条件为 ( )
A．00 D．x<4
题9．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
题10．已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题11．设集合A＝{x|－1≤x＜3}，集合B＝{x|0＜x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题12．若a>b>c，则 ( )
A．“x>b”是“x>a”的充分不必要条件 B．“x>a”是“x>c”的充要条件
C．“x>c”是“x>a”的必要不充分条件 D．“x>b”是“x>c”的既不充分也不必要条件
题13．“m＜”是“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____条件 ( )
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
题14．（多选）已知A，B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是( )
A．A∩B＝A B． C． D．
题15．（多选）下列各题中，p是q的充要条件的有 ( )
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；q：a＋b＋c＝0(a≠0)
题16．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填必要、不必要)
题17．函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________．
题18．下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝x＋6，q：；
(2)p：b2＝ac，q：；
(3)p：A∩B＝A，q：；
(4)p：点P(2－a，3a－2)到两坐标轴距离相等，q：a＝1或a＝0.
题19．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x∣a (1)若“1∈B”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【综合突破拔高】
题20．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则 ( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
题21．盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ( )
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题22．（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( )
A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件
C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件
题23．已知P＝{x|a－4题24．设，一元二次方程 x2－4x＋n＝0 有整数根的充要条件是 n＝__________．
题25．已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
题26．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【素养培优训练】
题27．下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；
(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1，2，3}中的元素．其中是命题的个数是 ( )
A．2 B．4 C．5 D．7
题28．已知p：A＝，q：A∩B＝，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题29．a，b中至少有一个不为零的充要条件是 ( )
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
题30．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
题31．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题32．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．0＜a＜ B．0≤a≤ C．0≤a＜ D．0＜a≤
题33．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是 ( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
题34．(多选)下列结论中正确的是 ( )
A．“x<0”是“x<－2”的必要不充分条件
B．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
题35．(多选)已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2 C．m<2 D．－4题36． “x>0”的一个充分不必要条件可以为_______；一个必要不充分条件可以为_______．
题37．将下列性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和为360°；
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相等．
题38．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1 或x≥4}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
题39．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0＜m＜.
编号：008 课题:§2.2 充分条件、必要条件、充要条件
目标要求
1、理解命题的概念和分类．
2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．
3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．
重点难点
重点：理解并掌握命题的结构形式；
难点：命题的真假判断．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 命题真假与推出关系
命题真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q” 为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 p q
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果p q，q s，那么p s
2.充分条件、必要条件
推出关系 p q
条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件
3.充要条件
(1)定义：
推出关系 p q，且q p，记作p q称为“p与q等价”或“p等价于q”
条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件
(2)本质：p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立．
(3)应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容．
4．性质定理、判定定理和数学定义
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“必要性”．
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征．判定定理具有“充分性”．
(3)数学定义既具有必要性也具有充分性．
【课前基础演练】
题1．不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是 ( )
A． B． C． D．
【解析】选B.由x(x－2)<0得0题2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是 ( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac【解析】选B.若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
题3．从符号“ ”“”“ ”中选择适当的一个填空：
(1)x－2＝0______(x－2)(x－3)＝0；
(2)a＋5是无理数______a是无理数；
(3)x＝y________.
【解析】(1)x－2＝0 x＝2 (x－2)(x－3)＝0；
(2)根据无理数的定义可知，a＋5是无理数 a是无理数．
(3)因为当x＝y<0时，，无意义，所以.
答案：(1) (2) (3)
题4．从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：
(1)“x>2”是“x>3”的________条件；
(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的________条件．
【解析】(1)因为“x>3” “x>2”，所以“x>2”是“x>3”的必要条件；
(2)因为“四边形ABCD是正方形” “四边形ABCD是菱形”，所以“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件．
答案：(1)必要 (2)充分
题5．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________条件．(用“充分”“必要”填空)
【解析】由x＝－1 x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要条件．
答案：充分 必要
题6．p：1－x<0，q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为__________．
【解析】x>1 x>a，令A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，则A B，所以a≤1.
答案：a≤1
题7．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】(1)必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【当堂巩固训练】
题8．“x>0且x<4”的一个充分不必要条件为 ( )
A．00 D．x<4
【解析】选B.由题意得0题9．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
【解析】选A.当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．
所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
题10．已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A. －1＝0 ＝1 m＝n m－n＝0，反之，当m＝n＝0时，虽有m－n＝0，但是－1＝0不成立，所以m－n＝0 －1＝0.所以“－1＝0”是“m－n＝0”成立的充分不必要条件．
题11．设集合A＝{x|－1≤x＜3}，集合B＝{x|0＜x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|0＜x≤2}，
所以，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．
题12．若a>b>c，则 ( )
A．“x>b”是“x>a”的充分不必要条件 B．“x>a”是“x>c”的充要条件
C．“x>c”是“x>a”的必要不充分条件 D．“x>b”是“x>c”的既不充分也不必要条件
【解析】选C.对于A，x>bx>a，x>a x>b，则“x>b”是“x>a”的必要不充分条件，A错误；对于B，x>a x>c，x>cx>a，则“x>a”是“x>c”的充分不必要条件，B错误；对于C，x>cx>a，x>a x>c，则“x>c”是“x>a”的必要不充分条件，C正确；对于D，x>b x>c，x>cx>b，则“x>b”是“x>c”的充分不必要条件，D错误．
题13．“m＜”是“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____条件 ( )
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【解析】选A.关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
所以，所以“m＜”是“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
题14．（多选）已知A，B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是( )
A．A∩B＝A B． C． D．
【解析】选ABD.因为，所以是的充分必要条件，因为，故选ABD.
题15．（多选）下列各题中，p是q的充要条件的有 ( )
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；q：a＋b＋c＝0(a≠0)
【解析】选BD.四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，故p不是q的充要条件；两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导，故p是q的充要条件；xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，故p不是q的充要条件；x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，将1代入方程可得a＋b＋c＝0，当a＋b＋c＝0时，c＝－a－b代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝(ax＋a＋b)(x－1)＝0，解得x＝1，故p是q的充要条件．
题16．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填必要、不必要)
答案：不必要
题17．函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________．
【解析】函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k＞0，b＞0.
答案：k＞0，b＞0
题18．下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝x＋6，q：；
(2)p：b2＝ac，q：；
(3)p：A∩B＝A，q：；
(4)p：点P(2－a，3a－2)到两坐标轴距离相等，q：a＝1或a＝0.
【解析】(1)由于“x2＝x＋6”，则“”，故“x2＝x＋6”是“”的必要不充分条件．
(2)b2＝ac ，如b＝0，c＝0时，b2＝ac，而无意义．但 b2＝ac，
所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件．
(3)画出Venn图(如图)可得．
A∩B＝A A B UA UB，故p是q的充要条件．
(4)当a＝1时，点P(1，1)到两坐标轴距离相等，
当a＝0时，点P(2，－2)到两坐标轴距离相等，
当点P(2－a，3a－2)到两坐标轴距离相等时，
|2－a|＝|3a－2|，解得a＝1或a＝0.所以p q，所以p是q的充要条件．
题19．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x∣a (1)若“1∈B”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)若“1∈B”是真命题，则a <1(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则，即得－1≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤2}．
【综合突破拔高】
题20．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则 ( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．
题21．盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ( )
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．
题22．（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( )
A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件
C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件
【解析】选BD.根据题意画出示意图如图：
由图示可知，p r s q r s，所以p是q的充分条件，p是s的充分条件，r是q的充要条件，s是q的充要条件．
题23．已知P＝{x|a－4【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，所以即所以－1≤a≤5.
答案：－1≤a≤5
题24．设，一元二次方程 x2－4x＋n＝0 有整数根的充要条件是 n＝__________．
【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断.
，因为 x 是整数，即为整数，所以为整数，且n≤4 ，又因为，取 n＝1，2，3，4，验证可知 n＝3，4符合题意；反之n＝3，4 时，可推出一元二次方程 x2－4x＋n＝0有整数根．
答案：3或4
题25．已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】由已知可得，B＝{x|x≥－2m}．因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，所以，所以，即m的取值范围是.
题26．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|，
(1)充分性(p q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
(2)必要性(q p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由(1)(2)可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
【素养培优训练】
题27．下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；
(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1，2，3}中的元素．其中是命题的个数是 ( )
A．2 B．4 C．5 D．7
【解析】选B.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．
题28．已知p：A＝，q：A∩B＝，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.由已知A＝ A∩B＝，反之不成立，得p是q的充分不必要条件．
题29．a，b中至少有一个不为零的充要条件是 ( )
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
【解析】选D.A.ab＝0是a，b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；
B．ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分不必要条件；
C．a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；
D．a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件．
题30．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.当a＝3时，A＝{1，3}，故A B，若A B a＝2或a＝3，不一定有a＝3，故“a＝3”是“A B”的充分条件．
题31．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.若开关A闭合，则灯泡B亮，所以p q；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，所以q p不成立，所以p是q的充分不必要条件．
题32．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．0＜a＜ B．0≤a≤ C．0≤a＜ D．0＜a≤
【解析】选B.因为p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，且p是q的充分不必要条件，
所以，
则且两不等式中的等号不同时成立．解得：0≤a≤.
题33．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是 ( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【解析】选CD.对于A，因为“a＝b”时，ac＝bc成立；ac＝bc且c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错；
对于B，当a＝－1，b＝－2，a>b时，a2b2时，a所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；
对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；
D显然正确．
题34．(多选)下列结论中正确的是 ( )
A．“x<0”是“x<－2”的必要不充分条件
B．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
【解析】选ABC.根据题意，依次分析选项：
对于A，若x<0，则“x<－2”不一定成立，反之若“x<－2”，必有“x<0”，故“x<0”是“x<－2”的必要不充分条件，A正确；
对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如x＝，反之“x2为无理数”，则“x为无理数”，故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，B正确；
对于C，若“a2＋b2≠0”，则“a，b不全为0”，反之若“a，b不全为0”，则“a2＋b2≠0”，故若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，C正确；
对于D，在△ABC中，若“AB2＋AC2＝BC2”，则∠A＝90°，故“△ABC为直角三角形”，反之不一定成立，故“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件，D错误．
题35．(多选)已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2 C．m<2 D．－4【解析】选BD.当A∩B＝时，m＋1≤－1，解得m≤－2，
由题意可得只要选项中的m范围是集合{m|m≤－2}的真子集即可，
因此满足条件的选项为B，D.
题36． “x>0”的一个充分不必要条件可以为_______；一个必要不充分条件可以为_______．
【解析】“x>0”的充分不必要条件可以为x＝2；一个必要不充分条件可以为x>－1.
答案：x＝2(答案不唯一) x>－1(答案不唯一)
题37．将下列性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和为360°；
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相等．
【解析】(1)写成“若p，则q”的形式：若平面多边形是四边形，则它的外角和为360°，“外角和为360°”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
(2)写成“若p，则q”的形式：在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于x轴对称”的必要条件．
题38．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1 或x≥4}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5},
B＝{x| x≤1或x≥4}，所以A∩B＝{x| －1≤x≤1或4≤x≤5}；
(2)因为B＝{x| x≤1或x≥4}，所以RB＝{x|10)，所以所以0题39．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0＜m＜.
【证明】设p：0＜m＜，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根．
(1)充分性(p q)：
因为0＜m＜，所以Δ＝4－12m＞0，
所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．设方程的两根为x1，x2，
当0＜m＜时，x1＋x2＝＞0且x1x2＝＞0，故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性(q p)：
若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有
所以0＜m＜，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根 0＜m＜.
综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
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