2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第二章第三节第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 讲义（学生版 教师版）

编号：010 课题:§2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
目标要求
1、能正确使用存在量词命题对全称量词进行否定．
2、能正确使用全称量词命题对存在量词进行否定．
3、会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假．
重点难点
重点：对全称量词命题、存在量词命题进行否定；
难点：判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M，p(x) _______________________
x∈M，p(x) _______________________
注：“ p(x)”是对语句“p(x)”的否定
2.命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题．这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
【课前小题演练】
题1．命题p：“ x∈R，x2＋2x＋1>0”的否定是 ( )
A x∈R，x2＋2x＋1≤0 B． x∈R，使得x2＋2x＋1≤0
C． x∈R，使得x2＋2x＋1>0 D． x∈R，使x2＋2x＋1<0
题2． m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020的否定是 ( )
A． m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020 B． m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020
C． m，n∈Z，都有m2≠n2＋2 020 D．以上都不对
题3．命题“ x∈N，x2>1”的否定为 ( )
A． x∈N，x2≤1 B． x∈N，x2≤1 C． x∈N，x2<1 D． x∈N，x2<1
题4．命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是________．
题5．命题“ x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
题6．命题“ x∈Q，x2＝5”的否定是________，该命题的否定是________命题．(填“真”或“假”)
题7．设集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： n∈A，n＜12.
(2)q： x∈{x|x是奇数}，x∈A.
【课堂题组训练】
题8．命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是 ( )
A． x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
题9．命题“ x∈(0，＋∞)，”的否定是 ( )
A． x∈(0，＋∞)， B． x∈(0，＋∞)，
C． x∈(0，＋∞)， D． x∈(0，＋∞)，
题10．命题“ x∈Z，x∈R”的否定是 ( )
A． x∈Z，x R B． x∈Z，x∈R C． x Z，x R D． x∈Z，x R
题11．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( )
A． x∈R， B． x∈R， C． x∈R， D． x∈R，
题12．设命题p：所有高一学子学习态度都是认真的，则p的否定为 ( )
A．所有高一学子学习态度都是不认真的 B．有的高一学子学习态度是认真的
C．有的高一学子学习态度是不认真的 D．学习态度认真的不都是高一学子
题13．下列全称量词命题的否定是假命题的个数是 ( )
①所有能被3整除的数都能被6整除； ②所有实数的绝对值是正数； ③三角形的外角至少有两个钝角．
A．0 B．1 C．2 D．3
题14．对下列命题的否定说法正确的是 ( )
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N，n2≤100；p的否定： n∈N，n2>100
题15．下列命题的否定正确的是 ( )
A．存在一个实数，使－2x2＋x－4＝0 B． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除
C．存在偶数2n是7的倍数 D．任意两个无理数的和是无理数
题16．命题“ x∈R，x＞2”的否定是________．
题17.命题“ x＞－1，x2＋x－2 019＞0”的否定是________．
题18．若命题“ x＜2 021，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
题19．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋3x＋7≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
题20．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分．
【综合突破拔高】
题21．命题“ m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是 ( )
A． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
题22．已知命题p： x∈{x|1＜x＜3}，x－a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．a＜1 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3
题23．下列命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是 ( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
题24．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为________，此命题的否定是______，是______命题(填“真”或“假”).
题25.命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数中至少有一个不小于2”的否定是_______________________________________________________________．
题26．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)被8整除的数能被4整除；
(2) x∈Q，是有理数；
(3) x∈R，x2＋2x＋3≤0.
【素养培优训练】
题27．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A． x∈R， n∈N*，使得nC． x∈R， n∈N*，使得n题28．命题“ x>1，”的否定是 ( )
A． x>1， B． x>1， C． x≤1， D． x≤1，
题29．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≥－1 B．m>－1 C．m≤－1 D．m<－1
题30．命题“ x∈RQ，x3∈Q”的否定是 ( )
A． x∈RQ，x3 Q B． x RQ，x3∈Q C． x RQ，x3 Q D． x∈RQ，x3 Q
题31．下列说法中，正确的是 ( )
A． x∈R，1－x2<0 B．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
C． x∈Q，x2＝2 D．“x＝2”的一个必要不充分条件是“x2－2x＝0”
题32．命题“ x＞0，x＋a－1＝0”是假命题，则实数a的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
题33．(多选)下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．所有无理数的平方都是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意n∈N，2n－1是奇数 D．存在n∈N，2n＋1是偶数
题34．(多选)在下列命题中，为真命题的是 ( )
A． x∈R，x2＋x＋3＝0 B． x∈Q，是有理数
C． x，y∈Z，使3x－2y＝10 D． x∈R，x2>|x|
题35．(多选)命题“已知y＝|x|－1，当m∈A时， x∈R都有m≤y恒成立”，则集合A可以是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
题36．若命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
题37．命题p： x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是__________(填“真”或“假”)命题，p：________，它是________(填“真”或“假”)命题．
题38．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
……
题39．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2.
(2)对所有的正实数p，.
(3) x∈R，.
(4)所有能被2整除的数都是偶数．
题40．设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
题41．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，使得A∩B≠”为假命题，求实数a的取值范围．
编号：010 课题:§2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
目标要求
1、能正确使用存在量词命题对全称量词进行否定．
2、能正确使用全称量词命题对存在量词进行否定．
3、会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假．
重点难点
重点：对全称量词命题、存在量词命题进行否定；
难点：判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
注：“ p(x)”是对语句“p(x)”的否定
2.命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题．这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
【课前小题演练】
题1．命题p：“ x∈R，x2＋2x＋1>0”的否定是 ( )
A x∈R，x2＋2x＋1≤0 B． x∈R，使得x2＋2x＋1≤0
C． x∈R，使得x2＋2x＋1>0 D． x∈R，使x2＋2x＋1<0
【解析】选B.由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：“ x∈R，x2＋2x＋1>0”的否定是“ x∈R，使得x2＋2x＋1≤0”．
题2． m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020的否定是 ( )
A． m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020 B． m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020
C． m，n∈Z，都有m2≠n2＋2 020 D．以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是： m，n∈Z，都有m2≠n2＋2 020.
题3．命题“ x∈N，x2>1”的否定为 ( )
A． x∈N，x2≤1 B． x∈N，x2≤1 C． x∈N，x2<1 D． x∈N，x2<1
【解析】选B.因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“ x∈N，x2>1”的否定为“ x∈N，x2≤1”．
题4．命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是________．
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋3≠0”．
答案： x∈R，x2＋2x＋3≠0
题5．命题“ x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，全称量词“任意”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
答案： x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
题6．命题“ x∈Q，x2＝5”的否定是________，该命题的否定是________命题．(填“真”或“假”)
【解析】“ x∈Q，x2＝5”的否定是“ x∈Q，x2≠5”．因为由x2＝5解得x＝± Q，所以该命题的否定是真命题．
答案： x∈Q，x2≠5 真
题7．设集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： n∈A，n＜12.
(2)q： x∈{x|x是奇数}，x∈A.
【解析】(1)p： n∈A，n≥12.因为当n＝12时，p成立，所以p是真命题．
(2)q： x∈{x|x是奇数}，x A.q是假命题．
【课堂题组训练】
题8．命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是 ( )
A． x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
【解析】选C.全称量词命题的否定是存在量词命题．否定形式为 x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.
题9．命题“ x∈(0，＋∞)，”的否定是 ( )
A． x∈(0，＋∞)， B． x∈(0，＋∞)，
C． x∈(0，＋∞)， D． x∈(0，＋∞)，
【解析】选C.命题“ x∈(0，＋∞)，”的否定是：否定存在量词和结论，故为： x∈(0，＋∞)，.
题10．命题“ x∈Z，x∈R”的否定是 ( )
A． x∈Z，x R B． x∈Z，x∈R C． x Z，x R D． x∈Z，x R
【解析】选D.全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“ x∈Z，x∈R”的否定是 x∈Z，x R.
题11．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( )
A． x∈R， B． x∈R， C． x∈R， D． x∈R，
【解析】选C.“有些实数的绝对值是正数”的否定是“ x∈R，”．
题12．设命题p：所有高一学子学习态度都是认真的，则p的否定为 ( )
A．所有高一学子学习态度都是不认真的 B．有的高一学子学习态度是认真的
C．有的高一学子学习态度是不认真的 D．学习态度认真的不都是高一学子
【解析】选C.命题p为全称量词命题，则p的否定是存在量词命题，即有的高一学子学习态度是不认真的．
题13．下列全称量词命题的否定是假命题的个数是 ( )
①所有能被3整除的数都能被6整除； ②所有实数的绝对值是正数； ③三角形的外角至少有两个钝角．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.①该命题的否定：存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除，不能被6整除的数，这是一个真命题；②该命题的否定： x＝0∈R，|0|＝0，不是正数，这是一个真命题；③该命题的否定：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，这是一个假命题．
题14．对下列命题的否定说法正确的是 ( )
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N，n2≤100；p的否定： n∈N，n2>100
【解析】选ABD.A，B，D的说法正确；C的说法错误，选项C中命题的否定：所有的三角形都不是正三角形．
题15．下列命题的否定正确的是 ( )
A．存在一个实数，使－2x2＋x－4＝0 B． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除
C．存在偶数2n是7的倍数 D．任意两个无理数的和是无理数
【解析】选ABD.因为Δ＝1－4×(－2)×(－4)＝－31＜0，故方程－2x2＋x－4＝0无解，故A存在一个实数，使－2x2＋x－4＝0，错误，其否定正确；当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，B错误，其否定正确；28＝2×14，故存在偶数2n是7的倍数，故C正确，其否定错误；无理数与1－的和是1，是有理数，故D错误，其否定正确．
题16．命题“ x∈R，x＞2”的否定是________．
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“ x∈R，x＞2”的否定是： x∈R，x≤2.
答案： x∈R，x≤2
题17.命题“ x＞－1，x2＋x－2 019＞0”的否定是________．
【解析】该命题的否定是“ x>－1，x2＋x－2 019≤0”．
答案： x>－1，x2＋x－2 019≤0
题18．若命题“ x＜2 021，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】由于命题“ x＜2 021，x＞a”是假命题， 因此其否定“ x＜2 021，x≤a”是真命题，所以a≥2 021.
答案：a≥2 021
题19．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋3x＋7≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】(1)p： x∈R，x2－x＋<0.因为 x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立，所以p是假命题．
(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)r： x∈R，x2＋3x＋7>0.因为 x∈R，恒成立，所以r是真命题．
(4)s： x∈R，x3＋1≠0.因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．
题20．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分．
【解析】(1)其否定是：存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实根，是真命题；
(2)其否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题；
(3)其否定是：所有梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
【综合突破拔高】
题21．命题“ m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是 ( )
A． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
【解析】选C.存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“ ”改为“ ”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．
题22．已知命题p： x∈{x|1＜x＜3}，x－a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．a＜1 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3
【解析】选D.p是真命题，所以p是假命题；所以 x∈{x|1＜x＜3}，x－a≥0无解；
所以当1＜x＜3时，a≤x不成立，所以a≥3.
题23．下列命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是 ( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
【解析】选C.只要有一个男生不爱踢足球，就不能说所有的男生都爱踢足球；所以命题“所有男生都爱踢足球”的否定是“至少有一个男生不爱踢足球”．
题24．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为________，此命题的否定是______，是______命题(填“真”或“假”).
【解析】此命题用符号表示为 x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是 x，y∈R，x＋y≤1，
原命题为真命题，所以它的否定为假命题．
答案： x，y∈R，x＋y＞1 x，y∈R，x＋y≤1 假
题25.命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数中至少有一个不小于2”的否定是_______________________________________________________________．
【解析】该命题的否定：存在三个正数a，b，c，三个数全小于2.
答案：存在三个正数a，b，c，三个数全小于2
题26．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)被8整除的数能被4整除；
(2) x∈Q，是有理数；
(3) x∈R，x2＋2x＋3≤0.
【解析】(1)该命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，这是一个假命题．
(2)该命题的否定： x∈Q，不是有理数，这是一个假命题．
(3)该命题的否定： x∈R，x2＋2x＋3＞0.
因为 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以这是一个真命题．
【素养培优训练】
题27．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A． x∈R， n∈N*，使得nC． x∈R， n∈N*，使得n【解析】选D.全称量词命题的否定是存在量词命题．命题否定时 改为 ， 改为 ，n≥x2改为n题28．命题“ x>1，”的否定是 ( )
A． x>1， B． x>1， C． x≤1， D． x≤1，
【解析】选A.命题 x>1，>1，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故其否定为 x>1，.
题29．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≥－1 B．m>－1 C．m≤－1 D．m<－1
【解析】选C.由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1.
题30．命题“ x∈RQ，x3∈Q”的否定是 ( )
A． x∈RQ，x3 Q B． x RQ，x3∈Q C． x RQ，x3 Q D． x∈RQ，x3 Q
【解析】选D.因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“ x∈RQ，x3∈Q”的否定是“ x∈RQ，x3 Q”．
题31．下列说法中，正确的是 ( )
A． x∈R，1－x2<0 B．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
C． x∈Q，x2＝2 D．“x＝2”的一个必要不充分条件是“x2－2x＝0”
【解析】选D.A错误， x∈R，1－x2 ≤1；
B错误，当x＝1，y＝5时，x＋y>5，但是x＜2，所以“x＋y>5”“x>2且y>3”；
C错误，由x2＝2得，所以不存在平方等于2的有理数；
D正确，“x2－2x＝0” x＝2或x＝0，所以“x2－2x＝0”是“x＝2”的必要不充分条件．
题32．命题“ x＞0，x＋a－1＝0”是假命题，则实数a的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【解析】选D.命题“ x＞0，x＋a－1＝0”是假命题，所以此命题的否定为“ x＞0，x＋a－1≠0”，即 x＞0，x≠1－a.所以1－a≤0，即a≥1.所以实数a的取值范围是.
题33．(多选)下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．所有无理数的平方都是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意n∈N，2n－1是奇数 D．存在n∈N，2n＋1是偶数
【解析】选BD.因为“所有”“任意”为全称量词，所以选项A，C为全称量词命题；“有的”“存在”为存在量词，所以选项B，D为存在量词命题．
题34．(多选)在下列命题中，为真命题的是 ( )
A． x∈R，x2＋x＋3＝0 B． x∈Q，是有理数
C． x，y∈Z，使3x－2y＝10 D． x∈R，x2>|x|
【解析】选BC.A中，，故A是假命题；
B中，x∈Q，一定是有理数，故B是真命题；
C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；
D中，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．
题35．(多选)命题“已知y＝|x|－1，当m∈A时， x∈R都有m≤y恒成立”，则集合A可以是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
【解析】选BD.由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，由于选项D为选项B的子集．故选BD.
题36．若命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“ x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得.
答案：
题37．命题p： x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是__________(填“真”或“假”)命题，p：________，它是________(填“真”或“假”)命题．
【解析】命题p： x∈R，x2＋2x＋5<0是存在量词命题．
因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p是假命题．p： x∈R，x2＋2x＋5≥0是真命题．
答案：存在量词命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0 真
题38．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
……
【解析】根据已知等式可得，
对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，
所以得到如下全称量词命题： n∈N*且n≥2，
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
答案： n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
题39．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2.
(2)对所有的正实数p，.
(3) x∈R，.
(4)所有能被2整除的数都是偶数．
【解析】(1)该命题的否定： x∈{－2，－1，0，1，2}，≥2.这是一个假命题．
(2)该命题的否定：至少存在一个正实数p，.
当p＝1时，，所以这是一个真命题．
(3)该命题的否定： x∈R，.当x＝－1时，，所以这是一个假命题．
(4)该命题的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数．这是一个假命题．
题40．设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
【解析】若设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则，解得m≤4；
命题q： x∈R，x2－2x＋m2＋19≠0为真命题，则，解得.
又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是.
题41．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，使得A∩B≠”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】命题“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，则其否定命题“ m∈R，A∩B＝”为真命题，
当a<0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝ ，符合A∩B＝；
当a≥0时，因为m2＋3>0， m∈R，A∩B＝，所以a所以a<(m2＋3)min＝3，则0≤a<3.综上，实数a的取值范围为a<3.
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