2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第二章第一节 命题、定理、定义 讲义（学生版 教师版）

编号：007 课题:§2.1 命题、定理、定义
目标要求
1、理解命题的概念和分类．
2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．
3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．
重点难点
重点：理解并掌握命题的结构形式；
难点：命题的真假判断．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1.命题
(1)定义:可判断__________的陈述句叫作命题.
(2)一般形式:“如果p,那么q” 或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的________,q叫作命题的_________.
【思考】
根据命题的定义思考,命题可分为哪几类
2.定理的含义
(1)已经被证明为_________的命题;
(2)可以作为__________的依据而直接使用.
3.定义的含义和特点
(1)含义:对某些_________标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的_________.
(2)特点:用已知的___________及关系来解释、刻画陌生的___________,并加以区别.
【课前基础演练】
题1. 下列语句中，是命题的个数是 (　　)
①；②－5∈Z；③π R；④N.
A．1 B．2 C．3 D．4
题2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是 (　　)
A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形
题3．将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p，那么q”的形式：________．
题4．将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为___________．
题5．下列语句：
(1)2＋2是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)流感病毒是怎样传播的？其中是命题的是________．
题6．给出下列命题：①＞；②5能被3整除；
③若ab是正整数，则a，b都是正整数；
④若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点．其中真命题的序号为__________．
题7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
当堂巩固训练
题8．下列语句是命题的是 (　　)　　
A．m＋n B．{0}∈N C．函数与图象 D．2x>3
题9．下列四个命题中，可判断为真的是 (　　)
A．空集没有子集 B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0 D．任何集合至少有两个不同子集
题10．命题“正方形的四条边都相等”中的条件是(　　)
A．正方形 B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等
题11．能说明命题“若a2>b2，则a>b”为假的反例是(　　)
A．a＝－2，b＝1 B．a＝3，b＝－2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
题12．下列命题正确的是 (　　)
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等
题13．下列命题中正确的有 (　　)
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；
②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；
③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；
④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题14（多选）．下列语句是命题的是 (　　)
A．x∈ B．当x＝5时，x－3＞0
C．直角三角形两锐角互余 D．求证：x∈R时，方程x2－x＋1＝0无实数根
题15（多选）．下列命题是真命题的是 (　　)
A．若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0
B．若实数集的子集A是有限集，则A中的元素一定有最大值
C．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a>b，则∠A>∠B
D．正偶数不是质数
题16．将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为______________．
题17．有下列命题：①对于任意m∈R，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②若xy＝0，则＋＝0；③互相包含的两个集合相等；④如果两个角互为补角，那么这两个角和为180°.真命题的个数是________．
题18．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)能被6整除的整数，一定能被3整除；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
综合突破拔高
题19．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为(　　)
A．3，2，1 B. 1，－2，－3 C．－1，－2，－3 D. 0，－2，－3
题20．下列说法正确的是 (　　)
A．命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题
B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”是真命题
题21．下列命题中，是真命题的有 (　　)
①如果a＞－1，那么am＞－m(m≠0)；
②在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
④正三角形都相似．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
题22(多选)．下列命题中，是真命题的是 (　　)
A．三边长为5，12，13的三角形是直角三角形
B．等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴
C．有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等
D．抛物线y＝(x＋2)2＋1的对称轴是直线x＝－2
题23．给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0.
其中的假命题有________个．
题24．判断下列命题的真假：
(1)若三条线段a，b，c满足a＋b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
(2)个位数字是5的整数，能被5整除；
(3)对于所有的自然数n，代数式n2－n＋11的值都是质数；
(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形．
题25．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°.请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．
编号：007 课题:§2.1 命题、定理、定义
目标要求
1、理解命题的概念和分类．
2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．
3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．
重点难点
重点：理解并掌握命题的结构形式；
难点：命题的真假判断．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1.命题
(1)定义:可判断__真假__的陈述句叫作命题.
(2)一般形式:“如果p,那么q” 或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的__条件__,q叫作命题的__结论__.
【思考】
根据命题的定义思考,命题可分为哪几类
提示:一类是判断为真的命题,即真命题;另一类是判断为假的命题,即假命题.
2.定理的含义
(1)已经被证明为__真__的命题;
(2)可以作为__推理__的依据而直接使用.
3.定义的含义和特点
(1)含义:对某些__对象__标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的__内涵__.
(2)特点:用已知的__对象__及关系来解释、刻画陌生的__对象__,并加以区别.
【课前基础演练】
题1. 下列语句中，是命题的个数是 (　　)
①；②－5∈Z；③π R；④N.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.①不能判断真假，不是命题；②③④能判断真假，是命题．
题2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是 (　　)
A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形
【解析】选C.把命题改写成：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直，由此可知C正确．
题3．将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p，那么q”的形式：________．
【解析】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.
答案：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.
题4．将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为___________．
【解析】若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除．
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
题5．下列语句：
(1)2＋2是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)流感病毒是怎样传播的？其中是命题的是________．
【解析】(1)能判断真假，是命题；(2)能判断真假，是命题；(3)不能判断真假，不是命题；
(4)能判断真假，是命题；(5)是疑问句，不是命题．
答案：(1)(2)(4)
题6．给出下列命题：①＞；②5能被3整除；
③若ab是正整数，则a，b都是正整数；
④若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点．其中真命题的序号为__________．
【解析】①是真命题；②是假命题，5不能被3整除；③是假命题，例如a＝－1和b＝－2时ab是正整数，但a，b都是负整数；④是真命题．
答案：①④
题7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
【解析】(1)命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．
(2)命题可改写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．
(3)命题可改写成：已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题．
当堂巩固训练
题8．下列语句是命题的是 (　　)　　
A．m＋n B．{0}∈N C．函数与图象 D．2x>3
【解析】选B.只有B能判断真假，它是假命题．
题9．下列四个命题中，可判断为真的是 (　　)
A．空集没有子集 B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0 D．任何集合至少有两个不同子集
【解析】选C.空集只有一个子集是它本身，故A、D错误；空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；C正确．
题10．命题“正方形的四条边都相等”中的条件是(　　)
A．正方形 B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等
【解析】选A.将命题改写成“若p，则q”的形式，“若四边形为正方形，则它的四条边都相等”．
题11．能说明命题“若a2>b2，则a>b”为假的反例是(　　)
A．a＝－2，b＝1 B．a＝3，b＝－2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
【解析】选A.对于A，因为当a＝－2，b＝1时，(－2)2>12 ，但－2<1，所以a＝－2，b＝1是反例，符合题意；
对于B，因为当a＝3，b＝－2时，32>(－2)2 ，且3>－2，所以a＝3，b＝－2不是反例，不符合题意；
对于C，因为当a＝0，b＝1时，02<12，不满足命题的题设，所以a＝0，b＝1不是反例，不符合题意．
对于D，因为当a＝2，b＝1时，22>12，且2>1，所以a＝2，b＝1不是反例，不符合题意．
题12．下列命题正确的是 (　　)
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等
【解析】选C.A.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；
B．钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；
C．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，是真命题；
D．两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题．
题13．下列命题中正确的有 (　　)
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；
②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；
③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；
④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选A.①如图，两三角形不相似，故本选项错误，不符合题意；②腰与底边成比例的两个等腰三角形相似，所以错误，不符合题意；
③一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，不符合题意；
④底边对应相等的两个等腰三角形不一定相似，所以原命题说法错误，不符合题意，正确的有0个．
题14（多选）．下列语句是命题的是 (　　)
A．x∈ B．当x＝5时，x－3＞0
C．直角三角形两锐角互余 D．求证：x∈R时，方程x2－x＋1＝0无实数根
【解析】选BC.
A.无法判断真假，故不是命题；
B．是能判断为真的陈述句，是命题；
C．是能判断为真的陈述句，是命题；
D．是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
题15（多选）．下列命题是真命题的是 (　　)
A．若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0
B．若实数集的子集A是有限集，则A中的元素一定有最大值
C．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a>b，则∠A>∠B
D．正偶数不是质数
【解析】选ABC.A.当x＝3或x＝7时，都有(x－3)(x－7)＝0，所以命题为真；
B．根据有限集的定义可知A中的元素一定有最大值，所以命题为真；
C．三角形中大边对大角，所以命题为真；
D．2是正偶数，并且它也是质数，所以命题为假．
题16．将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为______________．
【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”．
答案：如果两个 角相等，那么它们的余角也相等
题17．有下列命题：①对于任意m∈R，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②若xy＝0，则＋＝0；③互相包含的两个集合相等；④如果两个角互为补角，那么这两个角和为180°.真命题的个数是________．
【解析】①当m＝0时，方程是一元一次方程，故是假命题；②当x＝1，y＝0时，xy＝0，但＋≠0，故是假命题；③④是真命题．
答案：2
题18．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)能被6整除的整数，一定能被3整除；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
【解析】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若一个整数能被6整除，则这个数能被3整除，是真命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
综合突破拔高
题19．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为(　　)
A．3，2，1 B. 1，－2，－3 C．－1，－2，－3 D. 0，－2，－3
【解析】选C.所举反例应满足“若a＞b＞c，则a＋b≤c”，可设a，b，c的值依次为－1，－2，－3.
题20．下列说法正确的是 (　　)
A．命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题
B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”是真命题
【解析】选D.选项A中的命题是假命题，例如120°的角大于它的补角；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”．对于D，因为m>0，所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
题21．下列命题中，是真命题的有 (　　)
①如果a＞－1，那么am＞－m(m≠0)；
②在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
④正三角形都相似．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【解析】选C.①a＞－1，则当m＞0时，am＞－m，当m＜0时，am＜－m，故如果a＞－1，那么am＞－m(m≠0)是假命题；②在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c是假命题；③④是真命题，故真命题有2个．
题22(多选)．下列命题中，是真命题的是 (　　)
A．三边长为5，12，13的三角形是直角三角形
B．等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴
C．有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等
D．抛物线y＝(x＋2)2＋1的对称轴是直线x＝－2
【解析】选ACD.对于A，由于52＋122＝132，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形，此命题是正确的；对于B，等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，此命题是错误的；对于C，利用证两次全等的方法可以判断出：有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等，故此命题正确；对于D，抛物线y＝(x＋2)2＋1 的对称轴是直线x＝－2，正确，是真命题．
题23．给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0.
其中的假命题有________个．
【解析】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)由圆的内接四边形的性质可知，为真命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题．
答案：1
题24．判断下列命题的真假：
(1)若三条线段a，b，c满足a＋b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
(2)个位数字是5的整数，能被5整除；
(3)对于所有的自然数n，代数式n2－n＋11的值都是质数；
(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形．
【解析】(1)a＝2，b＝5，c＝3，满足a＋b>c，但不能围成三角形，所以命题为假．
(2)因为个位数字是0或5的整数，能被5整除，所以命题为真．
(3)约数只有1和它本身的数就是质数. 当n＝11时，n2－n＋11＝112不是质数，所以命题为假．
(4)命题为真，理由如下：
已知：如图，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
求证：三角形ABC为等腰三角形；
证明：如图，因为DE＝DF，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF，所以∠B＝∠C，
所以AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形．
题25．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°.请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．
【解析】此命题是真命题．
理由如下：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，
因为∠ACB＝90°，CD＝BC，
所以AC是线段BD的垂直平分线，
所以AB＝AD，因为CB＝AB，所以BD＝AB，
所以△ABD是等边三角形，
所以∠BAD＝60°，因为AC⊥BD，
所以∠BAC＝∠BAD＝30°.
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