3.5探索与表达规律 同步达标训练 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步达标训练（附答案）
1．观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝　 　．
2．观察下面的一列数：，﹣，，﹣…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空，第10个数是　 　 　．
3．观察下列等式：12+22+32＝，12+22+32+42＝，12+22+32+42+52＝，…．按照此规律，则第n个式子是 　 　．
4．按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 　 　．
5．按规律排列的一列数：﹣，，﹣，，﹣，…，则第2021个数是 　 　．
6．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：a2＝，…如此计算，则a1+a2+......+a2021＝　 　．
7．为求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为 　 　．
8．一组有理数依次是2，﹣5，9，﹣14，20，a，35……，则a的值是 　 　．
9．观察一列数：，﹣，，﹣，…，按此规律，这一列数的第2022个数为 　 　．
10．观察下面三行数：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；①
0，12，﹣24，84，﹣240，…；②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…；③
然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为 　 　．
11．观察下列式子：
1×3+1＝4＝22，2×4+1＝9＝32，3×5+1＝16＝42，……
根据上述规律，写一个类似的式子：　 　．
12．观察一列数：，…，按此规律，这列数的第n个数是 　 　．
13．按一定规律排列的一列数依次为：a2，2a5，3a8，4a11，…，（a≠0）按此规律排列下去，这列数中的第n个数为 　 　．（n为正整数）
14．观察下列一组代数式：a，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个代数式为 　 　．
15．按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，64a，…，第2021个单项式是 　 　．
16．观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 　 　．
17．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　 　行第 　 　列．
18．观察下面排列的每一列数，研究它的排列规律，并填出空格上的数．
（1）1，﹣2，1，﹣2，1，﹣2，　 　，　 　，　 　…
（2）﹣2，4，﹣6，8，﹣10，　 　，　 　，　 　…
（3）3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，　 　，　 　，　 　…
19．观察下列等式：
＝1﹣，＝﹣，＝将以上三个等式两边分别相加得：
++＝1﹣+＝1﹣＝．
（1）猜想并写出：＝　 　；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①＝　 　；
②+++…+＝　 　；
（3）探究并计算：．
20．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
参考答案
1．解：∵第1个等式：1+3＝4＝22；
第2个等式：1+3+5＝9＝32；
第3个等式：1+3+5+7＝16＝42；
第4个等式：1+3+5+7+9＝25＝52；
…，
∴第n个等式：1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝（n+1）2，
当2n+1＝2021时，解得：n＝1010，
∴1+3+5+7+9+…+2021
＝（1010+1）2
＝10112．
故答案为：10112．
2．解：∵第1个数为＝，
第2个数为﹣＝﹣，
第3个数为＝，
第4个数为﹣＝﹣，

∴第n个数为（﹣1）n+1，
∴第10个数是（﹣1）11×＝﹣，
故答案为：﹣．
3．解：∵12+22+32＝＝，
12+22+32+42＝＝，
12+22+32+42+52＝＝，
…
∴第n个式子为：．
故答案为：．
4．解：∵一列数依次为：2，﹣5，10，﹣17，26，…，
∴这列数的第n个数为：（﹣1）n+1 （n2+1），
则第20个数为：（﹣1）20+1 （202+1）＝﹣401．
故答案为：﹣401．
5．解：∵﹣＝，
＝，
﹣＝，
＝，
﹣＝，
…，
∴第n个数为：，
∴第2021个数为：＝．
故答案为：．
6．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝，
a3＝，
a4＝，
…
数字﹣2，，三个不断循环出现，
∵2021÷3＝673...2，
∴a1+a2+......+a2021＝673×（﹣2+）+（﹣2+）＝﹣113，
故答案为：﹣113．
7．解：令S＝1+5+52+53+…+52021，
则5S＝5+52+53+…+52021+52022，
∴4S＝52022﹣1，
∴S＝，
∴1+5+52+53+…+52021的值为，
故答案为：．
8．解：∵数字符号按“+”、“﹣”交替出现，
∴a的符号为“﹣”，
∵第二个数﹣5的绝对值为2+3，
第3个数9的绝对值是2+3+4，
…依次类推，
∴a的绝对值为2+3+4+5+6+7＝27，
∴a的值是﹣27，
故答案为：﹣27．
9．解：观察一列数：，﹣，，﹣，…，
根据规律可知，
第n个数为（﹣1）n+1（），
∴第2022个数是﹣，
故答案为：﹣．
10．解：∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243…； ①
0，12，﹣24，84，﹣240…； ②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81…； ③
∴第一行的第n个数为（﹣3）n，第二行的第n个数为（﹣3）n+3，第三行的第n个数为，
∴第②行数与第①行数的关系是：第②行数的数字等于对应的第①行的数字加3；
当n＝6时，第一行的数为（﹣3）6，第二行的数为（﹣3）6+3，第三行的数为，
（﹣3）6+[（﹣3）6+3]+
＝729+（729+3）+
＝729+732+243
＝1704，
故答案为：1704．
11．解：∵1×3+1＝4＝22，
2×4+1＝9＝32，
3×5+1＝16＝42，
……
∴第n个等式是n（n+2）+1＝（n+1）2，
∴根据规律写出第5个式子是：5×7+1＝36＝62（答案不唯一，符合规律即可）．
12．解：∵＝，
＝，
＝，
＝，
…
∴第n个数为：．
故答案为：．
13．解：第1个数a的指数为2＝3×1﹣1，系数为1，
第2个数a的指数为5＝3×2﹣1，系数为2，
第3个数a的指数为8＝3×3﹣1，系数为3，
第4个数a的指数为11＝3×4﹣1，系数为4，
…，
所以这列数中的第n个数a的指数为3n﹣1，系数为n，
所以这列数中的第n个数为na3n﹣1．
故答案为：na3n﹣1．
14．解：a＝（﹣1）1+1 或（﹣1）1﹣1 ，
＝（﹣1）2+1或（﹣1）2﹣1，
＝（﹣1）3+1 或（﹣1）3+1 ，
…
（﹣1）n+1或（﹣1）n﹣1；
故答案为：（﹣1）n+1或（﹣1）n﹣1．
15．解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，
﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，
4a＝（﹣2）3﹣1a，
﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，
16a＝（﹣2）5﹣1a，
﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，
…
由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a，
∴2021个单项式是（﹣2）2021﹣1a＝22020a，
故答案为22020a．
16．解：∵观察数列中的各数可以发现：第一个数为﹣2＝（﹣2）1，第二个数为4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3， ，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
故答案为：﹣128．
17．解：由图可知，
第一行1个数字，
第二行2个数字，
第三行3个数字，
…，
则第n行n个数字，
前n行一共有个数字，
∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，
∴2021是表中第64行第5列，
故答案为：64，5．
18．解：（1）1与﹣2交替循环，
故答案为：1，﹣2，1；
（2）从第一项开始，每一项都是2的倍数，并且正负交替出现，
∴数字的规律为（﹣1）n×2n，
故答案为：12，﹣14，16；
（3）从3开始，后一项比前一项少1，
∴数字的规律为4﹣n，
故答案为：﹣4，﹣5，﹣6．
19．解：（1）＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）①
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：；
②+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（3）
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
20．解：（1）根据已知等式可知：第6个等式为：6﹣＝62×；
故答案为：6﹣＝62×；
（2）第n个等式为：n﹣＝n2×．
证明：∵左边＝＝＝n2×＝右边．
∴等式成立．
故答案为：n﹣＝n2×．