13.3.2.2 含30°角的直角三角形 同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案）

13.3.2.2 含30°角的直角三角形
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC等于( )
A．2cm B．3cm C. 4cm D．5cm
4. 如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝4cm，则AD等于( )
A．8cm　　　　　B．10cm　　　　　C．12cm　　　　D．16cm
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
6.如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为米，为了方便下货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于30°，则这块木板的长度至少为 ( )
A．3米 B．2.5米 C．2.6米 D．0.87米
二、填空题
7.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于　 　的一半．
8. 三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是_______cm．
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为_______．
10. 在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC＝　 　.
11．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD＝　 　.
12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC．则AB：AE=______．
13. 已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD=______．
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如果∠A＝30°，BD＝1cm，则BC＝　 　cm，AB＝　 　cm.
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM＝2BM.
16.如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
17.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．
18．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，H是CB延长线上的一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(H不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PH交AB于D.
(1)当∠BHD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
答案：
一、
1-6 ADBCD A
二、
7. 斜边
8. 8
9. 6
10. 5
11. 2
12. 4：1
13. 8
14. 2 4
三、
15. 证明：连接MA.
∵AB的中垂线是MN，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠MAB＝30°，∴∠CAM＝90°，∴CM＝2AM＝2BM.
16. 解：∵∠4=60°，∠1=30°，根据三角形外角定理可得：∠ABD=∠4-∠1=60°-30°=30°=∠1．∴BD=AD．∵∠ABD=30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠ABD=30°，∴∠2=180°-∠4-∠C=180°-60°-30°=90°，∵∠C=30°，∴CD=2AD=2BD．
17. 解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=90°，∵BF=5cm，∴AF=5cm，∴FC=10cm．
18. 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠CHP＝30°，∴∠HPC＝90°，∴HC＝2PC，设AP＝x，则PC＝9－x，HC＝9＋x，∴9＋x＝2(9－x)，∴x＝3，即AP＝3；　
(2)不发生变化，过点H作HF⊥AB的延长线于点F，易证△HFB≌△PEA，△DEP≌△DFH，∴DE＝DF＝AB＝.