山西省太原第五高级中学校2022届高三上学期第四次模块诊断数学（理）试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 山西省太原第五高级中学校2022届高三上学期第四次模块诊断数学（理）试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 18:46:54 | ||
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文档简介
太原第五高级中学校2022届高三上学期第四次模块诊断
数学试题
考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合若，则实数构成的
集合是
A． B． C． D．
2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和，若，则
A．13 B．14 C．26 D．52
4．下列有关命题说法正确的是
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“”的否定是“，”
C．角形的三内角为，则是的充要条件
D．函数有3个零点
5.已知函数的图像恒过点，若角的终边经过点，则的值等于
A． B． C． D．
6．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为
A． B． C． D．
7．若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．
8．函数的图像大致为
A．B．C．D．
9. 某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查
扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_种
A． B． C． D．
10．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知函数（）在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图像的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是
①的最小正周期为; ②;③在上是减函数
④将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，则
A．④ B．①④ C．② D．②③
12．关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为
A． B． C． D．
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为___________.
14．已知向量，且，则实数___________.
15．已知函数若，则
正数的取值范围是___________.
16．“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积等于其上底的面积、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积的倍、下底的面积之和乘以高的六分之一，即.已知函数的图像过点，与直线及围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体，则________，利用“辛普森（Simpson）公式"可估算该几何体的体积________ .
3、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．如图所示，在中，，，点在上，且.
（1）若，求；
（2）若，求的长.
18．如图，矩形和梯形所在的平面垂直，，，，，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角等于，求钝二面角的余弦值.
19．新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．
（1）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；
（2）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由.
20．已知抛物线的焦点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，交轴交于点．若，求直线的方程．
21．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
23．已知不等式的解集为．
（1）求实数、的值；
（2）设，，且满足，求证：．
高三年级第四次模块诊断
数学试题评分细则
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1--5:BDCCB;6--10:ACACA;11--12:DB
4、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．,
5、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（1）因为，，所以，
则， ………………（2分）
在中，， ………………（4分）
所以 ………………（6分）
（2）设，，在中，，且，
设，在中，由余弦定理得，
即，所以. ………………（8分）
在中，由余弦定理可知，，
………………（10分）
即，即，解得，
所以. ………………（12分）
18.（1）证明：在中，由正弦定理可得，
所以，因此，即.
………………（1分）
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， ………………（3分）
因为平面，所以； ………………（4分）
（2）由于是矩形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
故直线与平面所成的角为，所以.………………（5分）
因为，所以.
，则，又，.
，可得，，……（6分）
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，
………………（7分）
设平面的一个法向量为，由，
则有，取，得，，
所以. ………………（9分）
设平面的一个法向量为，由，
则有，取，得，，
所以. ………………（10分）
所以， ………………（11分）
故钝二面角的余弦值为. ………………（12分）
注：两个法向量共3分，第一个法向量2分，第二个法向量1分.
19．【详解】
（1）当时，一次检验就取得“实验成功”的概率为； ………………（2分）
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为；
………………（3分）
在一次实验方案中“实验成功”的概率为．………………（4分）
（2）设一次实验方案需要用到的经费为元，则的可能值为900，1500．
； ………………（5分）
． ………………（6分）
所以，
………………（7分）
设，则，
当时，，所以在上单增；
当时，，所以在上单减．
所以的最大值为， ………………（9分）
因此实施一次此方案最高费用为元………………（10分）
所以动物实验阶段估计最高试验费用为万元， ………………（11分）
因为，所以该阶段经费使用不会超出预算． ………………（12分）
20．（1）由抛物线，可得焦点， ………………（1分）
因为焦点到的距离为，即, ………………（2分）
解得， ………………（3分）
所以抛物线的方程. ………………（4分）
（2）由（1）知焦点，设直线，，
联立方程组，整理得，
所以 ①， ②， ………………（6分）
又由，得，可得 ③ ………………（8分）
由②③，可得，，
代入①，可得，解得， ………………（10分）
所以直线的方程为或．
………………（12分）
21．
（1），, ………………（1分）
令，得；
令，得或；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减,
………………（3分）
因为，，，
所以时，. ………………（5分）
（2），即.
设，
………………（6分）
，∴，，，.
∴，又，. ………………（7分）
①即时，，在上递减，则，不满足.
………………（8分）
②即时，
当，即时，，使得
且，，在内递减，，不满足.
………………（9分）
当，即时，，使得，且，，，，
∴在上递增，在上递减，又，，所以成立. ………………（10分）
当，即时，，在上递增，则.满足题意. ………………（11分）
综上，. ………………（12分）
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（1）曲线，把公式代入可得：
曲线的极坐标方程为. ………………（2分）
设，则，则有.
所以，曲线的极坐标方程为. ………………（5分）
（2）到射线的距离为， ………………（6分）
射线与曲线交点，
射线与曲线交点
∴ ………………（8分）
故 ………………（10分）
23．
【详解】
（1）原不等式等价于或或
∴或或． ………………（3分）
所以原不等式的解集为， ………………（4分）
∴，． ………………（5分）
（2）∵，∴， ………………（6分）
∴
， ……………（9分）
当且仅当且，即，时取等号，
………………（10分）
∴．
数学试题
考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合若，则实数构成的
集合是
A． B． C． D．
2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和，若，则
A．13 B．14 C．26 D．52
4．下列有关命题说法正确的是
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“”的否定是“，”
C．角形的三内角为，则是的充要条件
D．函数有3个零点
5.已知函数的图像恒过点，若角的终边经过点，则的值等于
A． B． C． D．
6．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为
A． B． C． D．
7．若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．
8．函数的图像大致为
A．B．C．D．
9. 某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查
扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_种
A． B． C． D．
10．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知函数（）在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图像的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是
①的最小正周期为; ②;③在上是减函数
④将图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像，则
A．④ B．①④ C．② D．②③
12．关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为
A． B． C． D．
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为___________.
14．已知向量，且，则实数___________.
15．已知函数若，则
正数的取值范围是___________.
16．“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积等于其上底的面积、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积的倍、下底的面积之和乘以高的六分之一，即.已知函数的图像过点，与直线及围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体，则________，利用“辛普森（Simpson）公式"可估算该几何体的体积________ .
3、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．如图所示，在中，，，点在上，且.
（1）若，求；
（2）若，求的长.
18．如图，矩形和梯形所在的平面垂直，，，，，.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角等于，求钝二面角的余弦值.
19．新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．
（1）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；
（2）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由.
20．已知抛物线的焦点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，交轴交于点．若，求直线的方程．
21．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
23．已知不等式的解集为．
（1）求实数、的值；
（2）设，，且满足，求证：．
高三年级第四次模块诊断
数学试题评分细则
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1--5:BDCCB;6--10:ACACA;11--12:DB
4、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．,
5、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（1）因为，，所以，
则， ………………（2分）
在中，， ………………（4分）
所以 ………………（6分）
（2）设，，在中，，且，
设，在中，由余弦定理得，
即，所以. ………………（8分）
在中，由余弦定理可知，，
………………（10分）
即，即，解得，
所以. ………………（12分）
18.（1）证明：在中，由正弦定理可得，
所以，因此，即.
………………（1分）
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， ………………（3分）
因为平面，所以； ………………（4分）
（2）由于是矩形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
故直线与平面所成的角为，所以.………………（5分）
因为，所以.
，则，又，.
，可得，，……（6分）
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，
………………（7分）
设平面的一个法向量为，由，
则有，取，得，，
所以. ………………（9分）
设平面的一个法向量为，由，
则有，取，得，，
所以. ………………（10分）
所以， ………………（11分）
故钝二面角的余弦值为. ………………（12分）
注：两个法向量共3分，第一个法向量2分，第二个法向量1分.
19．【详解】
（1）当时，一次检验就取得“实验成功”的概率为； ………………（2分）
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为；
………………（3分）
在一次实验方案中“实验成功”的概率为．………………（4分）
（2）设一次实验方案需要用到的经费为元，则的可能值为900，1500．
； ………………（5分）
． ………………（6分）
所以，
………………（7分）
设，则，
当时，，所以在上单增；
当时，，所以在上单减．
所以的最大值为， ………………（9分）
因此实施一次此方案最高费用为元………………（10分）
所以动物实验阶段估计最高试验费用为万元， ………………（11分）
因为，所以该阶段经费使用不会超出预算． ………………（12分）
20．（1）由抛物线，可得焦点， ………………（1分）
因为焦点到的距离为，即, ………………（2分）
解得， ………………（3分）
所以抛物线的方程. ………………（4分）
（2）由（1）知焦点，设直线，，
联立方程组，整理得，
所以 ①， ②， ………………（6分）
又由，得，可得 ③ ………………（8分）
由②③，可得，，
代入①，可得，解得， ………………（10分）
所以直线的方程为或．
………………（12分）
21．
（1），, ………………（1分）
令，得；
令，得或；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减,
………………（3分）
因为，，，
所以时，. ………………（5分）
（2），即.
设，
………………（6分）
，∴，，，.
∴，又，. ………………（7分）
①即时，，在上递减，则，不满足.
………………（8分）
②即时，
当，即时，，使得
且，，在内递减，，不满足.
………………（9分）
当，即时，，使得，且，，，，
∴在上递增，在上递减，又，，所以成立. ………………（10分）
当，即时，，在上递增，则.满足题意. ………………（11分）
综上，. ………………（12分）
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（1）曲线，把公式代入可得：
曲线的极坐标方程为. ………………（2分）
设，则，则有.
所以，曲线的极坐标方程为. ………………（5分）
（2）到射线的距离为， ………………（6分）
射线与曲线交点，
射线与曲线交点
∴ ………………（8分）
故 ………………（10分）
23．
【详解】
（1）原不等式等价于或或
∴或或． ………………（3分）
所以原不等式的解集为， ………………（4分）
∴，． ………………（5分）
（2）∵，∴， ………………（6分）
∴
， ……………（9分）
当且仅当且，即，时取等号，
………………（10分）
∴．
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