山西省太原第五高级中学校2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试卷（Word版含答案）

太原第五高级中学校2022届高三上学期第四次模块诊断
数学试题（文）
考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：综合
1、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数满足，则复数的虚部为　　
A．1 B． C． D．
2． 　　
A． B． C． D．
3．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 65 70
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出关于的线性回归方程为，则表中的值为　　
A．45 B．50 C．55 D．60
4．若，，，则　　
A． B． C． D．
5．设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为
A． B． C． D．2
6．函数的图象大致为　　
A．B．C．．
7．已知等比数列中，公比为，，且，，7成等差数列，又，数列的前项和为，则　　
A．45 B．28 C．36 D．32
8．已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，
①若，，，则；②若，，，则；
③若，，，则；④若，，，则．
在上述四个命题中，真命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知在中，，，点满足，则　　
A． B． C． D．
10．若函数在区间，上是增函数，且，，则函数在区间，上　　
A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值
11．已知三棱锥中，，，的中点为，的中点恰好为点在平面上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为　　
A． B． C． D．
12．已知函数，．设函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．郑州市2019年各月的平均气温数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是_____．
14．设为等差数列的前项和，已知在中只有最小，则　　0．（填“”或“”或“”
15．如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确结论的序号是_________________.
①；②平面；③与平面所成的角等于与平面所成的角；④与所成的角等于与所成的角.
16．如图，在平面四边形中，，，，，，则的面积为　　．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（满分12分）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的值．
18．（满分12分）今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占．
确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计
50岁及以上 40
50岁以下
合计 10 100
（1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；
（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，若从这5人中随机抽取3人，求恰有2人为50岁及以上的概率．
参考表
0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
19．（满分12分）如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长.
20．（满分12分）顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，该菱形对角线长度之比为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
21．（满分12分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
[选修4-4：极坐标参数方程]（本小题满分10分）
22．已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；
（2）射线与曲线和曲线分别交于，，已知点，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
23．已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求（2）（3）的最小值．
高三年级第四次模块诊断数学(文)试题答案
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C A D C B B C D A
二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13． 14. 15. ① ②③ 16.
三．解答题
17．（满分12分）
解：（1）可得：………1分
即：．………2分
由正弦定理可知：，，………4分
，，可得，………5分
是三角形内角，．………6分
（2），，由正弦定理可得，………7分
可得，可得，可得，………8分
，，………10分
．………12分
18．（满分12分）
解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占，
所以所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6．
因为50岁及以上的共有40人，
即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为；
列联表补充如下，
确诊患新冠肺炎 未确诊患新冠肺炎 合计
50岁及以上 6 34 40
50岁以下 4 56 60
合计 10 90 100
………2分
则，………5分
所以没有的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关．………6分
（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，则抽取的5人中，有3人50岁及以上，分别记作；2人50岁以下，记作.………7分
从中任取3人,可能的不同结果有:
,共10种不同的情形，………9分
恰有两人50岁及以上的情况有，，共6中不同的情况，………11分
由于每种情况都是等可能的，∴恰有2人为50岁及以上的概率为.………12分
19．（满分12分）
解：（Ⅰ）由可知为等腰中边的中点，故，………1分
又平面平面，平面平面 ,平面 ，，………2分
平面，平面,………4分
又，// 所以平面.………6分
（Ⅱ）设，在直角三角形中，，
，即， ………7分
// 知相似于，所以，
由得，………8分
从而四边形的面积为，………9分
由（Ⅰ）可知是四棱锥的高，，
所以，………10分
所以，所以或，
所以或.………12分
20．（满分12分）
解：（1）依题意，………1分
解得，………3分
所以椭圆的标准方程为.………4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以.………5分
当直线的斜率存在时，设其方程为，
代入椭圆的方程，整理得，………7分
设，则，………8分
，
，………9分
因为，
，………11分
所以.………12分
21．（满分12分）
解：（1），………2分
令，得，则的单调递增区间为，；………3分
令，得，则的单调递减区间为；………4分
（2）当时，不等式，即，显然成立，………6分
当时，不等式对恒成立，等价于对恒成立，………7分
设，，………8分
令，得，………9分
令，得，且，………10分
所以，………11分
所以，即的取值范围为，．………12分
22．（满分10分）
解：（1）曲线的参数方程为为参数），由于①，，②，
1 ②得：．根据整理得．………3分
曲线的参数方程为为参数），转换为普通方程为．转换为极坐标方程为．………5分
（2）射线与曲线和曲线分别交于，，所以，………7分
，………9分
所以，则的面积为．………10分
23．（满分10分）
解：（1）当时，
．………2分
，或，
或，………4分
，
不等式的解集为．………5分
（2）（2）（3）
，………7分
关于的函数（2）（3）在上单的递减，在上单的递增，………9分
当时，（2）（3）的最小值为．………10分