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2021-2022学年上海市八年级上学期期中数学试题（4）
一、选择题.（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④错误；
∴正确的3个；
故选：C．
2．下列式子中，最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故该选项错误；
B. 是最简二次根式，故该选项正确；
C.，故该选项错误；
D. ，故该选项错误.
故选B.
3．一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解析】在方程中，
∴该方程没有实数根．
故选D．
4．下列各式化简后的结果为3 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A、不能化简；B、=2，故错误；C、=3，故正确；D、=6，故错误；
故选C．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+2x－4＝0 B．6+2＝6－x C．－3x＋2＝0 D．x＋2xy－3＝0
【答案】A
【解析】
A选项：+2x－4＝0是一元二次方程；
B选项：6+2＝6－x化简后是一元一次方程；
C选项：－3x＋2＝0是一元一次方程；
D选项：x＋2xy－3＝0是二元二次方程；
故选：A．
6．如图是北京地铁的路线图，小明家住复兴门，打算趁着放假去建国门游玩，看了路线图后，小明打算乘坐①号线地铁去，认为可以节省时间，他这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【解析】
由图可知, 乘坐1号地铁走的是直线, 所以节省时间的依据是两点之间线段最短。
故选:D.
二、填空题.（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．某县2019年农民人均年收入为10000元，计划到2021年，农民人均年收入达到14400元．则人均年收入的平均增长率为__________．
【答案】20%
【解析】
设人均年收入的平均增长率为x，
依题意，得：10000（1+x）2＝14400，
解得：或（舍去）．
故答案为：20%．
8．当x___________时，式子有意义
【答案】x≥0且x≠3
【解析】
∵≥0且≠0，
∴x≥0且x≠3.
9．最简二次根式与也是同类二次根式，则=________．
【答案】-1
【解析】
∵最简二次根式与也是同类二次根式
∴5-6a=2a+13
解得a=-1
故答案为：-1.
10．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1 7
【解析】
已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
11．已知x + y =，xy =，则x2y + xy2的值为_____．
【答案】
【解析】
x2y + xy2= xy(x + y)= ．
故答案为：
12．写出二次根式的一个有理化因式可以是__________________．
【答案】.
【解析】
×=x+1.
故答案为.
13．因式分－m2＋n2＝_______．
【答案】．
【解析】
直接应用平方差公式即可：．
14．若am＝6，an＝2，则am+2n的值为_____．
【答案】24
【解析】
∵am＝6，an＝2，
∴am+2n=．
故答案为：24．
15．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________．
【答案】k≥﹣4
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根，
∴△=42-4×1×（-k）=16+4k≥0，
解得：k≥-4．
故答案为k≥-4．
16．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝_____．
【答案】7
【解析】
∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7．
故答案为7．
17．将命题“钝角大于它的补角”写成“如果…那么”的形式：___________．
【答案】如果一个角是钝角，那么大于它的补角
【解析】
题设为：一个角是钝角，结论为：大于它的补角，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是钝角，那么大于它的补角，
故答案为：如果一个角是钝角，那么大于它的补角．
18．如图，已知CA＝BD判定△ABD≌△DCA时，还需添加的条件是__________．
【答案】AB=CD
【解析】
已知CA＝BD，AD=AD
∴要使△ABD≌△DCA
则AB=CD即可利用SSS推出△ABD≌△DCA
故答案为AB=CD.
三、计算题.（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值及方程的根
【答案】（1）；（2）的值为或，方程的根为，．
【解析】
（1）由题意：b2-4ac≥0，
即：22-4(2k-4)≥0，
所以；
（2）因为，为正整数，
所以k=1或k=2，
当k=1时，原方程为：x2+2x-2=0，
（x+1）2=3，
解得：x=，
因为方程的根为整数，所以x=不符合题意，舍去；
当k=2时，原方程为：x2+2x=0，
解得：，，均为整数，符合题意，
综上，的值为或，方程的根为，．
20．如图已知MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA＝20°，∠ACB＝90°，CA＝CB＝5，BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE
（1）求∠CBE、∠CAE的度数
（2）求的值
【答案】（1）∠CBE=25°，∠CAE=25°；（2）50
【解析】
（1）连接CD，
∵MN垂直平分AD，点C，E在MN上，
∴根据点A，D关于MN的对称性，得 CA=CD，∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE，
∵CA=CB，
∴CB=CD，
∴∠CBE=∠CDB，
∴∠CBE=∠CAE，
∵∠MCA=20°，
∴∠MCD=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=130°，
∴∠CBE=∠CDB=25°，
∠CAE=∠CDB=∠CBE=25°；
（2）∵∠CFE既是△AEF的外角又是△BCF的外角，
∴∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴AE2+BE2=AB2，
∵∠ACB=90°，CA=CB，AC=5，
∴AB2=AC2+BC2=50，
∴AE2+BE2=AB2=AC2+BC2=50．
21．计算：
（1）；
（2）.
【答案】(1);(2)
【解析】
（1）
.
（2）
.
22．（1）计算 a-2 b2 ( a2 b-2 )-3
（2）
【答案】（1）；（2）0
【解析】
（1）原式= a-2 b2 a-6b6
= a-8b8
= ，
（2）原式=﹣1﹣7+3×1+5=0．
四、解答题.（本大题共4题，每题6分，满分24分）
23．先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【解析】
原式．
要使分式有意义，则，，即或．
∴当时，原式．
24．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）；
（2）．
25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．
己知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和．
（2）见解析,
（3）AM的解析式为．
【解析】
（1）当=0时，该函数的零点为和．
（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得．
∴函数的解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线的交点就是满足条件的M点．
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’的解析式为，则
，解得
∴直线AB’的解析式为，
即AM的解析式为．
26．如图所示，某小区有一长 AD=100m，宽 AB=80m 的矩形空地，现将其建成花园广场，设计图案如下， 阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形，其中 AE=FD=CM=BN)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于 50m，不大于 60m．预计活动区每平方米造价 60 元，绿化区每平方米造价 50 元．
(1)设一块绿化区的一边 AE=xm，写出 x 的取值范围．
(2)如果小区投资 46.5 万元，问能否完成工程任务，若能求出相应的 x 的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）20≤x≤25；（2）小区投资 46.5 万元，能完成工程任务，此时x 为25．
【解析】
（1）∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25；
（2）设每块绿化区的长边为x m，短边为y m， 则，
4xy×50+（100×80-4xy）×60=465000
由于四周出口一样宽，100-2x=80-2y，即：y=x-10，
∴-40x2+400x+480000=465000
解得，x1=15，x2=25,
∵20≤x≤25
∴x=25，
所以，小区投资 46.5 万元，能完成工程任务，此时x 为25．
五、综合题。（本大题满分10分）
27．阅读下列材料，并按要求解答．
（模型介绍）
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．
（性质探究）
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．
（模型应用）
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．
（1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．
【答案】(1)证明见解析；(2)应用1： BD＝4；应用2：证明见解析.
【解析】
(1)如图①中，
∵∠A＝∠ECF＝∠B＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠F＝90°，
∴∠ACE＝∠F，∵EC＝CF，
∴△ACE≌△BFC．
(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠CHB＝90°，
∴符合“K”型图，
∴△ACD∽△CBH，
∴，
∴，
∵CH＝2，BH＝4，
∴DH＝4，
在Rt△BDH中，BD＝＝4．
应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N，
由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，
∴FM＝AH，AH＝EN，
∴FM＝EN，
∵∠FKM＝∠EKN，∠M＝∠ENK＝90°，
∴△FKN≌△EKN，
∴FK＝KE，
∴K为EF中点．
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2021-2022学年上海市八年级上学期期中数学试题（4）
一、选择题.（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列式子中，最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．下列各式化简后的结果为3 的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+2x－4＝0 B．6+2＝6－x C．－3x＋2＝0 D．x＋2xy－3＝0
6．如图是北京地铁的路线图，小明家住复兴门，打算趁着放假去建国门游玩，看了路线图后，小明打算乘坐①号线地铁去，认为可以节省时间，他这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
二、填空题.（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．某县2019年农民人均年收入为10000元，计划到2021年，农民人均年收入达到14400元．则人均年收入的平均增长率为__________．
8．当x___________时，式子有意义
9．最简二次根式与也是同类二次根式，则=________．
10．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
11．已知x + y =，xy =，则x2y + xy2的值为_____．
12．写出二次根式的一个有理化因式可以是__________________．
13．因式分－m2＋n2＝_______．
14．若am＝6，an＝2，则am+2n的值为_____．
15．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________．
16．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝_____．
17．将命题“钝角大于它的补角”写成“如果…那么”的形式：___________．
18．如图，已知CA＝BD判定△ABD≌△DCA时，还需添加的条件是__________．
三、计算题.（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值及方程的根
20．如图已知MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA＝20°，∠ACB＝90°，CA＝CB＝5，BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE
（1）求∠CBE、∠CAE的度数
（2）求的值
21．计算：
（1）；
（2）.
22．（1）计算 a-2 b2 ( a2 b-2 )-3
（2）
四、解答题.（本大题共4题，每题6分，满分24分）
23．先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值．
24．计算：
（1）
（2）
25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．
己知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
26．如图所示，某小区有一长 AD=100m，宽 AB=80m 的矩形空地，现将其建成花园广场，设计图案如下， 阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形，其中 AE=FD=CM=BN)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于 50m，不大于 60m．预计活动区每平方米造价 60 元，绿化区每平方米造价 50 元．
(1)设一块绿化区的一边 AE=xm，写出 x 的取值范围．
(2)如果小区投资 46.5 万元，问能否完成工程任务，若能求出相应的 x 的值；若不能，请说明理由．
五、综合题。（本大题满分10分）
27．阅读下列材料，并按要求解答．
（模型介绍）
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．
（性质探究）
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．
（模型应用）
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．
（1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．
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