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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂的乘法
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
n:指数
的 次幂.
求几个相同因数的积的运算.
1. 乘方:
2. 幂:
乘方的结果.
获取新知
互动探究:同底数幂相乘
神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次(1017次)的超级计算机.它工作103s可进行多少次运算?
怎样列式?
1017 ×103
问题1:
问题2 在103中,10,3分别叫什么?表示的意义是什么?
=10×10×10
3个10 相乘
103
底数
幂
指数
问题3 观察算式1017 ×103,两个因式有何特点?
观察可以发现,1017 和103这两个因数底数相同,是同底数的幂的形式.
我们把形如1017 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法.
问题4 根据乘方的意义,想一想如何计算1017 ×103?
1017×103
=(10×10×10 ×…×10)
17个10
×(10×10×10)
3个10
=10×10×…×10
20个10
=1020
=1017+3
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
请同学们观察下面各题左右两边,底数、指数有什么关系?
(1)25×22=2 ( )
=(2×2×2×2×2)
×(2×2)
=2×2×2×2×2× 2×2
=27
(2)a3·a2=a( )
=(a﹒a﹒a) (a﹒a)
=a﹒a﹒a﹒a﹒a
=a5
7
5
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
(3)5m× 5n =5( )
=(5×5×5×…×5)
m个5
×(5×5×5 ×…×5)
n个5
=5×5×…×5
(m+n)个5
=5m+n
注意观察:计算前后,底数和指数有何变化
猜一猜
am · an =a( )
m+n
猜想:am · an= am+n (当m、n都是正整数)
am · an =
m个a
n个a
(a·a·…·a)
= a·a·…·a
=am+n
(m+n)个a
即
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
(a·a·…·a)
(乘方的意义)
(乘法结合律)
(乘方的意义)
真不错,你的猜想是正确的!
知识要点
am · an = am+n (m、n都是正整数).
同底数幂相乘,
底数 ,指数 .
不变
相加
同底数幂的乘法法则:
结果:①底数不变
②指数相加
注意
条件:①乘法
②底数相同
(1) 108×106=_____________;
(2) a7 ·a3=_____________;
(3) x5 ·x7=_____________;
练一练
计算:
(4) (-b)3 ·(-b)2=_____________.
1014
a10
x12
(-b)5
=-b5
a · a6 · a3
类比同底数幂的乘法公式
am · an = am+n (m、n都是正整数)
am· an· ap = am+n+p (m、n、p都是正整数)
想一想: 当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也具有这一性质呢?用字母表示 等于什么呢?
am · an · ap
比一比
= a7 · a3 =a10
例题讲解
例1 计算:
(1)x2 · x5 ;
(2)a · a6;
(3)(-2) × (-2)4 × (-2)3;
(4) xm · x3m+1.
解:(1) x2 · x5= x2+5 =x7
(2)a · a6= a1+6 = a7;
(3)(-2) × (-2)4 × (-2)3= (-2) 1+4+3 = (-2)8 = 256;
(4) xm · x3m+1= xm+3m+1 = x4m+1.
a=a1
例2 [教材例1针对训练]计算:
(1)a·a7;
(2)a2·a8;
(3)-a·(-a)3·(-a)2;
解:a·a7=a1+7=a8.
a2·a8=a2+8=a10.
-a·(-a)3·(-a)2=(-a)1+3+2=(-a)6=a6.
(4)xn-1·x2n+1;
(5)(a-b)2·(b-a)3.
xn-1·x2n+1=xn-1+2n+1=x3n.
(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)2+3=(b-a)5.
(6)(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ;
(m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 =(m-n)3+5+7=(m-n)15;
利用同底数幂的乘法法则计算时的“四注意”
(1)不要漏掉单独字母的指数1,如(1)题.
(2)把“不同”底数的幂转化为同底数幂时要注意符号的变化,如(3)(5)题.
(3)当底数为一个多项式时,把这个多项式看成一个整体,如(5)(6)题.
(4)当底数互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算.
n为偶数
n为奇数
归纳总结
同底数幂乘法法则的逆用
想一想:am+n可以写成哪两个因式的积?
am+n = am · an
填一填:若xm =3 ,xn =2,那么
(1)xm+n = × = × = ;
(2)x2m = × = × = ;
(3)x2m+n = × = × = .
xm
xn
6
3
2
xm
xm
3
3
9
x2m
xn
9
2
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例题讲解
例3 (1)若xa=3,xb=4,xc=5,求2xa+b+c的值.
(2)已知23x+2=32,求x的值;
(2) ∵ 23x+2=32=25,
∴3x+2=5,
∴x=1.
解:(1) 2xa+b+c=2xa·xb·xc=120.
随堂演练
1.计算a3·a2正确的是( )
A.a B.a5 C.a6 D.a9
2.若am=2,an=3,则an+m的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
3.计算:-a·a2=________.
4.计算:(-2)3×(-2)2=________.
B
B
-a3
-32
5.计算下列各题:
(4)-a3·(-a)2·(-a)3.
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3;
解:(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3=(2a+b)2n+4;
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36;
(4)-a3·(-a)2·(-a)3=a8.
(2)已知an-3·a2n+1=a10,求n的值;
解:n-3+2n+1=10,
n=4;
6.(1)已知xa=8,xb=9,求xa+b的值;
解:xa+b=xa·xb
=8×9=72;
(3) 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解:3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
课堂小结
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数)
注意
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
直接应用法则
常见变形:(-a)2=a2, (-a)3=-a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数再应用法则
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