(共33张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究知发展
正方体:故位,点Q位置知,QA
想-建立空间直角坐标系,求出点Q的坐标
以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z
轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示
算
E
B
设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则D(0
0,0),A(1,0,0),E(0,0,
B(1,1,0),B1(1,1,
1),D1(0,0,1),
所以AE=-1,·2)BD=(-1,-1,0)
:由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),
则B
B,P
,0),PD1=(-a,-a,
,0).
因为3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a
-a,0),所以3a-3=-a,解得a
3
4
所以点P的坐标为
44
由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),
则PQ=(6-3,b-3
因为PQ⊥AE,所以PQ·AE=0,
所以b
b
0
0
4
4
所以-b
0,解得b
4
所以点Q的坐标为
,0
所以D=(1,1,0
因为BD=xD,所以(-1,-1,0)=4(1,,0),
所以
1,故λ=-4
规律方法:解决与空间向量平行、垂直有关的问题的思路
(1)当已知有关向量时,通常需要设出向量的坐标例如,
思_设向量a=(x,y,2
(2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数例如,若a∥
b,则先引人参数λ,有a=Ab,再转化为方程(组)求解
(3选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的
B
E
D
B
x
空间向量的坐标数学抽象数学运算
运算法则
思想
解决空间向量平行
知识平行与垂直的条件垂直问题的思路
方法
求空间中两向量夹
夹角公式、两点山角的方法
间距离公式
求线段长度的方法A级 基础巩固
1.在空间直角坐标系中,若点A的坐标是(1,-2,11),点B的坐标是(4,2,3),点C的坐标是(6,-1,4),则△ABC一定是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析: 因为=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),所以||2=32+42+(-8)2=89,=52+1+(-7)2=75,||2=22+(-3)2+1=14,所以+||2=||2,所以△ABC一定是直角三角形.
答案:C
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
解析:如图,建立空间直角坐标系.
则点C1的坐标是(0,1,2),点D的坐标是(1,0,1),
点A1的坐标是(0,0,2),点C的坐标是(0,1,0).
所以=(1,-1,-1),=(0,1,-2),
所以cos<,>===.
故选C.
答案:C
3.在空间直角坐标系中,已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角等于60°.
解析:由题意,得=(0,3,3),=(-1,1,0),
所以cos<,>===,
故与的夹角为60°.
4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
解:(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
所以||==,||==2,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
所以cos<,>==-,
所以sin<,>==.
所以S△ABC=||·||·sin<,>=××2×=3.
(2)设AB边上的高为CD,则CD==3,
即△ABC中AB边上的高为3.
B级 拓展提高
5.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),若+λ与的夹角为120°,则λ的值为 ( )
A.± B. C.- D.±
解析:因为=(1,0,0),=(0,-1,1),
所以+λ=(1,-λ,λ),
所以(+λ)·=λ+λ=2λ,
|+λ|==,||=,
所以cos 120°==-,所以λ2=.
又因为<0,所以λ=-.
答案:C
6.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为 ( )
A.a B.a C.a D.a
解析:由题意,得F,A1(a,0,a),C(0,a,0),所以E,
则||==a.
答案:B
7.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是(-∞,-2).
解析:由题意,得a,b的夹角不可能为180°,a·b=2x-2×3+2×5=2x+4.设a,b的夹角为θ,因为θ为钝角,所以cos θ=<0.又因为|a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2,即实数x的取值范围是(-∞,-2).
8.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),若在线段M1M2上存在一点M满足=4,则向量的坐标为.
解析:设点M的坐标为(x,y,z),
则=(1,-7,-2),=(3-x,-2-y,-5-z).
因为=4,
所以解得
所以点M的坐标为,
所以=.
9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45° 并说明理由.
解:不存在.理由如下:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意,知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.
因为点N在CC1上,所以设点N(0,2,m)(0≤m≤2),
则=(,1,2),=,
所以||=2,||=,·=2m-1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°,那么向量和的夹角等于45°或135°.
因为cos<,>==,
所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.
所以在CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.
C级 挑战创新
10.多选题若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则 ( )
A.cos
=- B.a⊥b
C.a∥b D.|a|=|b|
解析:因为向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),
所以|a|=,|b|=,
a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,
cos===-.
可得A,D两项正确,B,C两项显然不正确.
答案:AD
11.多空题已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),则|2a+b|=5;若在直线AB上存在一点E,使得⊥b (O为原点),则点E的坐标为.
解析:由题意,得2a+b=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
由题意,设=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).
因为⊥b,所以·b=0,
所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,
解得t=,
所以=.
所以点E的坐标为.