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第一章 空间向量与立体几何
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究知发展
读
已知空间四边形的边和对角线长度,基底,求数量积和线
段长度
想_数量积公式和向量模的求解公式
(1)由A=a,AC=b,A=e,
得a|=|b|=c|=1,〈a,b>=EF
BD
⊙AD
AB
所以EF·BA
c-=
算
i a+
×1×1×cos600×1×1=-
2
4
(2)因为EG=EB+BC+CG=AB+(AC-AB)
2
(AD-AC=--a+b+=c
所以EG2
4Q2+÷b2+
b
4
2
2
ic+nb·c=2,所以B/≈y
规律方法利用空间向量基本定理解决几何问题的方法
(1)先构建空间向量的一个基底,然后利用空间向量的
基本定理表示相关向量
(2)利用平面向量的数量积、夹角、数乘等相关知认求解
空间向量
利用空间向量基本定理
基本定量解决几何问题的方法
数学运算
方法
知识
素养或思想
数学抽象
判断基底的方法
基底片用基底表示向量的
般步骤A级 基础巩固
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以是空间的一个基底,否则不是空间的一个基底.当{a,b,c}是空间的一个基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此,p q,q p.
答案:B
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,若=2,则=( )
A.++
B.+-
C.+-
D.+-
解析:如图,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1 FE,所以四边形A1D1EF是平行四边形,
所以A1F D1E,所以=.
又因为=++=-++,所以=+-.故选B.
答案:B
3.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,点E为BD的中点,若=x+y+z,则x+y+z=0.
解析:连接AE(图略),
由题意可得=+,
则=-=+-.
因为=x+y+z,
所以x=-1,y=z=,
所以x+y+z=0.
4.在空间四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点分别为L,M,+++=4.
解析:如图,取CD的中点E,连接EL,EM,则+=.
又因为+=+=(+),
所以+=2,同理+=2.
所以+++=4.
5.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC,PB的中点,试用{a,b,c}表示向量,,,.
解:如图,连接BO,则==(+)=(-a-b+c)=-a-b+c.
=+=+=+(+)=-a-b+c.
=+=++(+)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c.
===a.
B级 拓展提高
6.若M,A,B,C四点互不重合,且任意三点不共线,则能使向量,,成为空间的一个基底的条件是 ( )
A.=++
B.=+
C.=++
D.=2-
解析:对于选项A,由=x +y +z (x+y+z=1),得M,A,B,C四点共面,知,,共面;同理可知选项C中,,不共面,可构成空间一个基底;对于选项B,D,易知,,共面.故选C.
答案:C
7.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,则= ( )
A.++
B.++
C.++
D.++
解析:连接OD(图略).在四面体OABC中,因为D是BC的中点,G是AD的中点,
所以=(+),=(+).
所以=++.
故选C.
答案:C
8.给出下列命题:
①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底;
②若向量a∥b,则a,b与任意一个向量都不能构成空间的一个基底;
③A,B,M,N是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面;
④已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底.
其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,显然命题②正确.命题③,由,,不能构成空间的一个基底,知,,共面.又因为,,过相同点B,知A,B,M,N四点共面,故命题③正确.假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb.因为d与c共线,c≠0,所以存在实数k,使得d=kc.因为d≠0,所以k≠0,从而c=a+b,所以c与a,b共面,与条件矛盾,所以d与a,b不共面.故命题①正确.同理可证命题④也是正确的.故选D.
答案:D
9.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是x=y=z=0.
解析:若x≠0,则a=-b-c,即a与b,c共面.由{a,b,c}是空间的一个基底,知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.
10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是线段A1D的中点,点N在线段C1D1上,且D1N=D1C1,∠A1AD=∠A1AB=60°,∠BAD=90°,
AB=AD=AA1=1.
(1)求满足=x+y+z的实数x,y,z的值.
(2)求AC1的长.
解:(1)因为=+=(+)+=++,
所以x=,y=,z=.
(2)因为=++,
所以||2==+++2·+
2·+2·=1+1+1+0+1+1=5,
所以||=,所以AC1=.
C级 挑战创新
11.多选题下列说法中正确的是 ( )
A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底不唯一
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}的基向量对应相等
解析:只有不共面的三个非零向量才能构成空间向量的基底,基底不唯一,因此选项A,D均不正确,选项B,C正确.
答案:BC
12.多空题已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=1,y=-1.
解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,所以
解得
13.多空题如图,在平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,
=c,设G,H分别是侧面BB'C'C和底面O'A'B'C'的中心,则向量=b+c-a,向量=c-b.(用a,b,c表示)
解析: =+=-+=b+c-a.
=+=-+=-(+)+(+)=-(--)+(--)=-(-c-a)+(-b-a)=c-b.
