A级 基础巩固
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,若a⊥b,则实数k的值为 ( )
A.-6 B.6
C.3 D.-3
解析:由题意,得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
所以2k-12=0,所以k=6.
答案:B
2.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为 ( )
A.30° B.60°
C.90° D.45°
解析:由题意,得⊥,⊥,即·=·=0.
因为=++,
所以·=(++)·==1.
因为cos<,>==,
所以<,>=60°,所以直线a,b所成的角为60°.
答案:B
3.如图,已知空间四边形每条边和对角线都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 ( )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
解析:2·=-a2,故A项不符合题意;
2·=-a2,故B项不符合题意;
2·=-a2,故D项不符合题意;
2·==a2,故只有C项符合题意.
答案:C
4.已知线段AB的长度为64,与直线l的方向向量a的夹角为120°,则在l上的投影向量的长度d为32.
解析:d===32.
5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,若E为棱C1D1的中点,则·=.
解析:=++,
·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
6.如图,已知线段AB⊥平面α,BC α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且
∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,试求A,D两点间的距离.
解:因为=++,所以||2=(++)2=||2+
||2+||2+2·+2·+2·=12+2(2×2×cos 90°+2×2×
cos 120°+2×2×cos 90°)=8,
所以||=2,即A,D两点间的距离为2.
B级 拓展提高
7.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,若(+-2)·(-)=0,则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析:因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,
所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.
答案:B
8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.
解析:设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则=-,=+,cos<,>===0,故异面直线AB1和BM所成的角是90°.
9.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有A,B两点,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,若AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为2.
解析:由题意,得·=·=·=0.
因为=++=-+,
所以=(-+)2=++-2·+2·-
2·=16+36+64=116,所以||=2.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量 ;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
解:(1)=++
=++
=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+
2×1×1×+2×1×1×=5,
所以|a+b+c|=,
所以||=|a+b+c|=,
即MN=.
11.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,M为VC的中点.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<,>.
(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体V-ABC的棱长为1,
则=(a+b+c),可得=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×
cos 60°-9)=0,
所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)解:=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
所以||==.
又因为||==,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
所以cos<,>==.
所以<,>=45°.
C级 挑战创新
12.多选题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是 ( )
A.|++|2=3||2
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.此正方体体积为|··|
解析:A项,由题意知|++|=||=||,所以|++|2=3||2,正确;B项,由题意知·(-)=(++)·(-)=+·+·-·-·-=0,正确;
C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,错误;
D项,因为·=0,所以|··|=0,与实际不符,错误.
答案:AB
13.多空题如图,若四面体ABCD的每条棱长都等于2,E,F分别为棱AB,AD的中点,则|-|=,与所成的角为90°.
解析:因为=,
·=2×2×cos 60°=2,
所以|-|2=|-|2=
-·+=4-2+×4=3.
所以|-|=.
因为==(-),
所以·=·(-)=(·-·)=0.
所以<,>=90°.(共41张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究知发展
读已知平行六面体中有关线段的长度和线段夹角,求AC的长
想la12=l·|ll
coS〈a
因为AC1=AB+AD+AA1,
所以AC1=(AB+AD+AA1)2=AB+AD
AA1+2(AB·AD+AB·AA1+AD·AA1)
又因为∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
算_所以AB,AD=90°,AB,A1)=OAD,A1>=60°
所以AC1=1+4+9+2×(1×3×cos60°+2×3×
coS60°)=23
因为|AC1|2=AC1
所以|AC1|2=23,所以|AC1|=√23,即AC1的长
为√23
规律方法:求线段的长度(两点间的距离)的方法
利用空间向量的数量积求线段的长度或空间两点间
距离的思路是转化为求向量的模,具体方法是:
(1)确定已知向量的模及其夹角
(2)选择以空间两点为起点和终点的向量(或线段所确
:定的向量),把此向量表示为已知向量的和、差等形式
(3)根据公式a=√a2=√a·a,计算出向量的模,
即可求出线段的长度(或两点间的距离)
空间向量用向量法求异面直
的夹角
线所成角的步骤
数学运算
求线段长度的方法川方法素养或
知识空间向量
思想
的数量积
用向量法证明线线
垂直关系的步骤
逻辑推理
空间向量数量
积的运算律
