(共33张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
模
长度
长度为0
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究知发展
读
四边形ABCD是正方形,O是它的中心,PO⊥平面ABCD,
1Q是CD的中点,用已知向量表示指定向量
anenmnmmemnemnEmnnnnnnnnHnmRnEmnnmemnnnE
想_三角形法则或平行四边形法则,对应向量的系数相等
sneeneeenDenmneennnne
如图所示,OQ=PQ+OP,
由向量加法的平行四边形法则可得PO=(PC+PA),
所以OP
PC
PA
算所以Q+D=PQ
PC
Pa
所以
y
2
Q
D
B
规律方法:空间向量的数乘运算的理解与应用
(1)空间向量的数乘运算是线性运算的一种,其实质是空
间向量的加减运算
}(2)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形
法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量
(3)运用空间向量的数乘运算律可使运算简便,注意要与
实数的有关运算律区分开运算律中是实数与向量的乘
积,不是向量与向量的乘法运算
空间向量的概念
零向量
数学抽象素养或
单位向量
特殊向量
思想
数学运算
知识
相反向量
相等向量
空间向量的加法、减法、
数乘运算
用已知向量表示
指定向量的方法
空间向量线性运算的
运算律
方法A级 基础巩固
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是 ( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
解析:因为-=,且=,
所以-=,
即=+.
又因为与不共线,
所以,,三向量共面.
答案:C
2.在四面体OABC中,空间的一点M满足=++λ,若,,共面,则λ=( )
A. B. C. D.
解析:由,,共面,知++λ=1,解得λ=.故选D.
答案:D
3.已知两非零向量e1,e2,且e1与e2不共线,若a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是①②③.(填序号)
①a与e1共线;②a与e2共线;③a与e1,e2共面.
解析:当λ=0时,a=μe2,故a与e2共线.同理当μ=0时,a与e1共线.由a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),知a与e1,e2共面.
4.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,下列能表示向量的为③.(填序号)
①+2+2; ②-3-2;
③+3-2; ④+2-3.
解析:因为A,B,C,P四点共面,所以可设=x+y,即=+x+y,由题图可知x=3,y=-2.
5.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形.
证明:因为E,H分别是边AB,AD的中点,
所以=,=,
所以=-=-=.
因为=-=-=(-)=,
所以=,
所以∥,||=||,
所以E,F,G,H四点共面.
又因为点F不在EH上,所以四边形EFGH是梯形.
B级 拓展提高
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果=+7+6-4,那么点M必 ( )
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
解析:因为=+7+6-4=++6-4=+
+6-4=+6(-)-4(-)=11-6-4,所以M,B,A1,D1四点共面,故选C.
答案:C
7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=.
解析:如图所示,有=++=+-.
又因为=x+2y+3z,
所以解得
所以x+y+z=1+-=.
8.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,AB=2EF,H为BC的中点.求证:FH∥平面EDB.
证明:因为H为BC的中点,
所以=(+)=(++++)=(2+++).
因为EF∥AB,CD∥AB,且AB=CD,AB=2EF,
所以2+=0,
所以=(+)=+.
因为与不共线,
所以由共面向量定理知,,共面.
因为FH 平面EDB,
所以FH∥平面EDB.
9.如图所示,若P为 ABCD所在平面外一点,H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
解:因为=-,=,
所以=-.
因为=+,
所以=+-=-++.
因为=,所以=,
所以=(-++)=-++.
又因为=-,
所以=-++.
因为=m,
所以=m=-++,
因为=-+=-+,
所以=++.
又因为G,B,P,D四点共面,
所以1-=0,解得m=.
C级 挑战创新
10.多空题在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为矩形ABCD的对角线的交点,若=+x+y,则x=,y=.
解析:由题意知,=+++=+++=
+++(+)=+-+-=++=++,
所以x=,y=.(共39张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究知发展
判断向量共线
两空间向量共线
的方法
的充要条件
共线向量
证明空间三点
方向向量
共线的方法
知识
定义
直观想象素养或方法
思想
共面向量
两空间向量共面证明空间四点
的充要条件
共面的方法A级 基础巩固
1.下列命题中为真命题的是 ( )
A.向量与的长度相等
B.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
解析:对于选项B,它们的终点构成一个球面;对于选项C,零向量不能用有向线段表示;对于选项D,向量a与向量b不相等,它们的模未必不相等,故选A.
答案:A
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是( )
A.++ B.-+
C.++ D.+-
解析:在选项C中,++=(+)+=+=0.
答案:C
3.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则-+= ( )
A.2 B.3 C.3 D.2
解析:-+=+=+2=3.
答案:B
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=-c-a+b.
解析:=-=-=--(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,用,,表示,则=++.
解析:=++
=++(+)
=++(-+)
=++.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
(1)+-;
(2)--.
解:(1)+-=++=+= (如图).
(2)--=+(+)=+(+)=+= (如图).
B级 能力提升
7.设M是△ABC的重心,记=a,=b,=c,则= ( )
A. B. C. D.
解析:设D是BC边的中点(图略).
因为M是△ABC的重心,
所以=.
又因为=(+)=(c-b),
所以=(c-b).
答案:D
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,E是A1B的中点,则=(a+b+c).(用a,b,c表示)
解析:=(+)=(++)=(a+b+c).
9.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,
=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1); (2); (3).
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)因为N是BC的中点,
所以=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
(3)因为M是AA1的中点,
所以=+=+=-a+=a+b+c.
C级 挑战创新
10.多选题设正方体ABCD-A1B1C1D1的两条体对角线AC1,A1C的交点为O,则下列结论中正确的有 ( )
A.+与+是一对相等向量
B.-与-是一对相反向量
C.+++与+++是一对相反向量
D.-与-是一对相反向量
解析:因为O为AC1与A1C的交点,
所以BD1,B1D交于点O,
所以=-,=-,
故+=-(+).
同理可得+=-(+).
故+++=-(+++),
所以A项错误,C项正确.
因为-=,-=,
所以-与-是两个相等的向量,所以B项错误;
因为-=,-==-,
所以-=-(-),所以D项正确.
答案:CD
11.多空题如图,在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点, 则+-=,--=.
解析:+-=++=+=.
由题意,得=,=,故--=++=++=+=.
