(共38张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
正整数n
n=k+1
【基础测试】
探索点一 利用数学归纳法证明等式
【跟踪训练】
探索点二 利用数学归纳法证明不等式
【跟踪训练】
探索点四 数学归纳法的综合应用
(k3+5k)+3k(k+1)+6
【跟踪训练】
【课堂评价】
未用归纳假设
2×3k
课堂建构
素养发展
课程学习情境——数列的函数特征
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
原理
比较法
分析法
知识数学归纳法
方法
综合法
应用
缩放法
逻辑推理
数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.在应用数学归纳法证明“凸n边形的对角线为n(n-3)条”时,第一步检验n= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为三角形是边数最少的凸多边形,所以第一步检验n=3.
答案:C
2.利用数学归纳法证明“++…+>(n≥2,且n∈N*)”的过程中,由假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,推导当n=k+1时不等式也成立时,该不等式左边的变化是 ( )
A.增加
B.增加++
C.增加并减少+
D.增加++并减少+
解析:当n=k(k∈N*)时,不等式为+++…+>;
当n=k+1时,不等式为++…++++>,故左边增加++,并减少+.
答案:D
3.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可得当n=k+1时该命题也成立,若已知n=5时命题不成立,则下列说法正确的是①④(填序号).
①当n=4时,该命题不成立;
②当n=6时,该命题不成立;
③当n=1时,该命题可能成立;
④当n=6时,该命题可能成立也可能不成立,但若当n=6时命题成立,则对任意n≥6,该命题都成立.
解析:①“当n=4时,该命题不成立”正确.理由:如果n=4时命题成立,则可推出当n=5时命题成立,与题设矛盾,故n=4时,该命题不成立.
③“当n=1时,该命题可能成立”错误.理由:若当n=1时命题成立,则可得当n=2时命题成立,继续推导得到当n=5时命题成立,这与题设矛盾.
由当n=5时命题不成立,不能确定当n=6时命题是否成立.但若当n=6时命题成立,则可得当n=7时命题成立,继续推导得到对任意n≥6,该命题都成立.故②错误,④正确.
4.已知正项数列{an}满足a1=1,前n项和Sn满足4Sn=(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=2n-1.
解析:当n=1时,a1=1;
当n=2时,4S2==16,所以S2=4,可得a2=3;
当n=3时,4S3==36,所以S3=9,可得a3=5;
当n=4时,4S4==64,所以S4=16,可得a4=7;
……
猜想an=2n-1.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1满足an=2n-1.
②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=2k-1,可得Sk=k2,
则当n=k+1时,
因为4Sk+1==(2k+2)2=4(k+1)2,
所以Sk+1=(k+1)2,则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2-k2=2k+1=2(k+1)-1.
所以当n=k+1时,结论也成立.
结合①②可知,an=2n-1对任何n∈N*都成立.
5.已知数列{an}中,a1=2a,an=2a-(n≥2,n∈N*).
(1)写出a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
解:(1)因为an=2a-(n≥2,n∈N*),a1=2a,则a2=2a-=2a-=a;
a3=2a-=2a-=2a-a=a;
a4=2a-=2a-=2a-a=a.
(2)猜想an=a(n∈N*).
下面利用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=2a,符合猜想.
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=a,
那么当n=k+1时,ak+1=2a-=2a-=2a-a=a,所以当n=k+1时猜想成立.
综合①②可知,an=a(n∈N*)成立.
B级 拓展提高
6.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>.观察上述结果,可推测出一般结论 ( )
A.f(2n)>
B.f(n2)>
C.f(2n)≥
D.以上都不正确
解析:由题意,得f(2)=,f(22)>,f(23)>,
f(24)>,f(25)>,由此可推测出f(2n)≥.
答案:C
7.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是 ( )
A.13×42k-1+3(42k-1+3k+1)
B.4×42k+9×3k
C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1
D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
解析:假设当n=k(k∈N*)时命题成立,则42k-1+3k+1能被13整除,则当n=k+1时,42k+1+3k+2=16×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×(42k-1+3k+1)能被13整除.故选A.
答案:A
8.已知f(n)=++…+(n∈N*),若k∈N*,则f(k+1)-f(k)=-.
解析:因为f(n)=++…+(n∈N*),
所以f(k)=++…+(k∈N*),
f(k+1)=++…+++,
所以f(k+1)-f(k)=+-=-.
9.给出下列不等式:
1>,
1++>1,
1++++++>,
1+++…+>2.
(1)根据给出不等式的规律,归纳猜想出不等式的一般结论;
解:将第1个不等式左边的1写成,可以看出不等式左边最后一个数的分母的特点:
1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,
猜想不等式左边最后一个数的分母为2n-1,对应各式右边为,
所以猜想不等式的一般结论为1++++…+>(n∈N*).
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
证明:①当n=1时,结论显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即1++++…+>成立,
则当n=k+1时,
1++++…+++…++>+ >+2k×=+=,
即当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对任意n∈N*结论都成立.
10.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3;
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
解:(1)由a1=S1=+-1,得a1=-1±.
又因为an>0,所以a1=-1.
因为S2=a1+a2=+-1,所以a2=-.
因为S3=a1+a2+a3=+-1,所以a3=-.
(2)由(1)猜想an=-,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,由(1)知a1=-1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak=-成立.
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=-=+-
-=+-,
所以+2ak+1-2=0,
所以ak+1=-,
所以ak+1=-,即当n=k+1时猜想也成立.
综合①②可知,猜想对一切n∈N*都成立.
C级 挑战创新
11.多空题设α,β是方程x2-x-1=0的两个不等实根,记an=αn+βn(n∈N*).下列两个命题:①数列{an}的任意一项都是正整数;②数列{an}的第5项为10.则①正确,②错误.(填“正确”或“错误”)
解析:由α,β是方程x2-x-1=0的两个不等实根,得α+β=1,αβ=-1.
因为an=αn+βn(n∈N*),
所以an+2=αn+2+βn+2=αn+1(1-β)+βn+1(1-α)=αn+1+βn+1-αβ(αn+βn)=αn+1+βn+1+αn+βn=an+1+an.
因为a1=α+β=1,a2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=3,
an+2=an+1+an,
所以{an}中的任意一项都是正整数,故①正确.
因为a3=α3+β3=(α+β)(α2+β2-αβ)=4,
a4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=7,
a5=α5+β5=(α+β)(α4+β4)-αβ(α3+β3)=7+4=11,
所以②错误.
12.多空题已知n为正偶数,当用数学归纳法证明“1-+-+…+-=2”时,第一步的验证
为当n=2时,左边=1-=,右边=2×=,等式成立;
若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需要用数学归纳法证明当n=k+2时等式成立.
解析:当n为正偶数时,对1-+-+…+-=2用数学归纳法证明如下:
因为n为正偶数,所以先取n=2,
当n=2时,左边=1-=,右边=2×=,等式成立.
假设当n=k(k≥2,且k为偶数)时,等式成立.
由于是所有正偶数,则应证明当n=k+2时,等式也成立.
13.(全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
解:(1)因为数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n,
所以a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7.
猜想{an}的通项公式为an=2n+1.
证明如下:①当n=1时,猜想显然成立.
②假设n=k(k∈N*)时,ak=2k+1成立,
则当n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1,故n=k+1时,猜想成立.
由①②,知an=2n+1对任何n∈N*都成立,
所以{an}的通项公式为an=2n+1,
(2)令bn=2nan=(2n+1)·2n,则数列{2nan}的前n项和
Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n, ①
则2Sn=3×22+5×23+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1. ②
①-②,得-Sn=3×2+2×22+…+2×2n-(2n+1)2n+1=6+-(2n+1)2n+1,
所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
