A级 基础巩固
1.下列结论不正确的是 ( )
A.若y=5,则y'=0
B.若y=,则y'=-
C.若y=-,则y'=-
D.若y=3x,则y'=3
解析:y'='=()'=-.
答案:B
2.若函数f(x)=cos x,则f'+f的值是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
解析:因为f(x)=cos x,所以f'(x)=-sin x.
所以f'+f=-sin+cos=0.
答案:A
3.已知曲线y=x3在点P处的切线的斜率为k,则当k=3时,点P的坐标为 ( )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8) D.
解析:因为y'=3x2,k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
答案:B
4.若函数f(x)=,则f'(2)和f'(3)的大小关系是f'(2)解析:因为f'(x)='=-,所以f'(2)=-=-,f'(3)=-=-.因为-<-,所以f'(2)5.已知直线l过点P,且与曲线y=sin x在点P处的切线垂直,求直线l的方程.
解:因为y=sin x,所以y'=cos x.曲线y=sin x在点P处的切线的斜率是y'=cos=,
所以直线l的斜率为-.
因为直线l过点P,
所以直线l的方程为y-=-,
即2x+y--=0.
B级 拓展提高
6.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为 ( )
A.2 B.ln 2+1
C.ln 2-1 D.ln 2
解析:因为y=ln x的导数y'=,
所以令y'==,得x=2,
所以切点的坐标为(2,ln 2).
代入直线y=x+b,得b=ln 2-1.
答案:C
7.曲线y=ex在点(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是 ( )
A.e B.1
C.-1 D.-e
解析:因为y'=ex,所以y'|x=0=e0=1,
所以切线的方程为y-1=x,即y=x+1.令y=0,
得x=-1.
答案:C
8.若f(x)=(ln 5)log5x,则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为x-y-1=0.
解析:由已知,得f'(x)=ln 5×=,
所以f'(1)=1,曲线f(x)在点A处的切线方程为x-y-1=0.
9.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值.
解:由题意,可知y'=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n,所以切线与x轴的交点为,则an=lg=lg n-lg(n+1).
所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2.
C级 挑战创新
10.多选题若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中不具有T性质的有 ( )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=sin x D.y=x3
解析:对于函数y=ex,因为y'=ex,k1=,k2=均大于0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=ex不具有T性质.
对于函数y=ln x,则y'=,k1·k2=·.因为x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=ln x不具有T性质.
对于函数y=sin x,则y'=cos x.设图象上存在这样两点(x1,sin x1),(x2,sin x2),那么两切线的斜率k1=cos x1,k2=cos x2.
令k1·k2=cos x1·cos x2=-1,则x1=2kπ,x2=2kπ+π或(x1=2kπ+π,x2=2kπ),k∈Z,即存在这样的两点,所以函数y=sin x具有T性质.
对于函数y=x3,则y'=3x2,k1=3,k2=3,
显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.
答案:ABD
11.多空题若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y'=f'(x)=2x,曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为2x-y-1=0.
解析:因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,所以f(x)=x2,f'(x)=2x.因为点(1,1)在曲线y=f(x)上,所以f'(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(共22张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
一、几个常用函数的导数
【知识梳理 】
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=x f'(x)=1
f(x)=x2 f‘(x)=
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f‘(x)=
f(x)= f'(x)=
2x
- 1 2
二、基本初等函数的导数公式
【知识梳理 】
基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα (α∈Q,且α≠0) f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=
f(x)=ax (a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax (a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
αxα-1
-sin x
axln a
【基础测试】
0
ln 2
探索点一 利用导数公式求函数的导数
答案: B
【跟踪训练】
4x-y-4=0
【跟踪训练】
-
【课堂评价】
[-1,0]
3
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
求函数的导数的方法
知识基本初等函数
的导数公式
求切线方程的方法
方法
求瞬时速度的方法
逻辑推理
数学运算
素养或思想
