A级 基础巩固
1.下列说法中正确的是 ( )
A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处没有切线
B.若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在,则曲线在该点处的切线的方程不存在
解析:f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,虽然切线的斜率不存在,但其切线方程可以为x=x0,所以A,B,D三项均错误.
答案:C
2.如图所示,若函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)= ( )
A. B.1 C.2 D.0
解析:由题意,知f(5)=-5+8=3.由导数的几何意义,知f'(5)=-1.所以f(5)+f'(5)=3-1=2.
答案:C
3.曲线y=f(x)=x2-2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A.1 B. C. D.-
解析:f'(1)==1,
即曲线y=f(x)在点处切线的斜率为1,故切线的倾斜角为.
答案:B
4.曲线y=f(x)=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程为4x+y-2=0.
解析:因为曲线方程为y=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),
所以斜率k==-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
5.若曲线y=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标为(0,0).
解析:设点P的坐标为(x0,y0),则
f'(x0)==2x0+2.
因为曲线在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以曲线在点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,所以y0=0,所以点P的坐标为(0,0).
6.求曲线f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程.
解:由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)==3x2+2,所以f'(1)=5.
故曲线在点P处的切线的斜率k=5,
所以曲线在点P处的切线方程为y-2=5(x-1),
即5x-y-3=0.
B级 拓展提高
7.在平面直角坐标系中,曲线y=x2在点(1,1)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
A. B. C.1 D.2
解析: f'(1)==2,
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1,
所以这条切线与两条坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,故它与两条坐标轴围成的三角形的面积为×1×=.
答案:A
8.已知点P在曲线F:y=x3-x上,若曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为 ( )
A.(1,0)或(1,1) B.(1,1)
C.(-1,0)或(1,0) D.(-1,0)
解析:设点P的坐标为(x0,y0).由题意,得f'(x0)==3-1=2,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=0;当x0=1时,y0=0.
故点P的坐标为(-1,0)或(1,0).
答案:C
9.(2021新高考全国 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是(0,1).
解析:当x<0时,f(x)=1-ex,f'(x)=-ex,
f(x)在A(x1,1-)处的切线斜率为k1=-.
当x>0时,f(x)=ex-1,f'(x)=ex,f(x)在B(x2,-1)处的切线斜率为k2=.
因为函数f(x)的图象在A,B两点处的切线互相垂直,
所以k1k2=-=-1,
所以x1+x2=0,x1<0,x2>0.
所以===∈(0,1).故的取值范围是(0,1).
10.已知曲线y=2x3上某点处的切线的斜率等于6,求此点的坐标.
解:设此点的坐标为(x0,y0).
因为y'==6,
所以6=6,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=-2;当x0=1时,y0=2.
故此点的坐标为(-1,-2)或(1,2).
11.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
解:因为f'(x)==2ax,
所以f'(1)=2a,即曲线f(x)在点(1,c)处的切线的斜率k1=2a.
因为g'(x)==3x2+b,
所以g'(1)=3+b,即曲线g(x)在点(1,c)处的切线的斜率k2=3+b.
因为曲线f(x)与曲线g(x)在交点(1,c)处有公切线,
所以2a=3+b.
又因为两条曲线交于点(1,c),
所以a+1=c=1+b,即a=b,
联立解得
C级 挑战创新
12.多选题已知直线l过点P(3,5),若直线l与曲线 y=x2相切于点A,则切点A的坐标可能是 ( )
A.(1,1) B.(1,2)
C.(5,25) D.(5,5)
解析:y'===2x.
设点A的坐标为(x0,y0).
因为点A在曲线y=x2上,
所以y0=.
又因为A为切点,
所以过点A的切线的斜率k=2x0.
因为直线l过P(3,5),A(x0,y0)两点,
所以直线l的斜率为=,
所以2x0=,解得x0=1或x0=5.
当x0=1时,y0=1;当x0=5时,y0=25.
故切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
答案:AC
13.多空题若函数f(x)=x3+x-1,f'(x0)=4,则x0的值为1或-1,此时在点(x0,f(x0))处的切线方程为4x-y-3=0或4x-y+1=0.
解析:f'(x0)==3+1=4.
解得x0=1或x0=-1.
当x0=1时,f(1)=1;
当x0=-1时,f(-1)=-3.
故切点的坐标为(1,1)或(-1,-3),
所以对应的切线方程为4x-y-3=0或4x-y+1=0.(共29张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
一、导数的几何意义
【知识梳理 】
【思考】
【基础测试】
45°
探索点一 利用导数的四则运算法则求函数的导数
5x-y-3=0
-1
【跟踪训练】
x+y-3=0
探索点二 利用导数求切点坐标
【解题模型示范】
【跟踪训练】
1
1
±1
【跟踪训练】
【课堂评价】
3
(1,0)
课堂建构
素养发展
课程学习情境——求曲线过某点的切线方程
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
y
y=fr)
f(ro)
重点探究认知发展
已知抛物线y=(x)=2x2+1,切线的倾斜角为45°,切线平行
读
1于直线4x-y-2=0
(1)由切线的倾斜角为45可以得到切线的斜率为1
(2)直线4xy-2=0的斜率为4
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
设切点的坐标为(x0,y0),则
△y=2(x0+△x)2+1-2x3-1=4xo·△x+2(△x)2
所以=4x0+2△x
所以f(x0)=lim(4x0+2△x)=4xo
(1)因为抛物线的切线的倾斜角为45
算
所以切线的斜率为tan45°=1,
即f(x)=Ax0=1,得1
9
当
时,y=。,所以
4
8
该点即切点的坐标为
48
(2)因为抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,
所以切线的斜率为4,即f(x0)=4x0=4,得x0=1
当x=1时,y=3,所以该点的坐标为(1,3)
●
切点问题的处理方法
(1)借助斜率先求横坐标:由条件得到切线的倾斜角
或斜率,由这些信息得函数在某点处的导数,进而求
思—出切点的横坐标
(2)与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析
几何的知识联系起来,如切线的倾斜角和斜率的关
系,两直线平行或垂直时它们的斜率的关系等
导数的几何意义求切线方程的方法
知识
方法
导函数的概念切点问题的处理方法
数学抽象数学运算
素养或思想(共27张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
【知识梳理 】
函数值
自变量
正值
负值
二、导数的概念
【知识梳理 】
瞬时变化率
答案:×
答案:√
答案:√
【基础测试】
答案:√
答案:×
答案:×
4
探索点一 求函数的平均变化率
答案: C
【跟踪训练】
探索点二 求瞬时速度
【跟踪训练】
6
探索点三 求函数在某点处的导数
【跟踪训练】
-5
【课堂评价】
5
2
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
平均变化率求函数平均变化率的方法
知识
求瞬时速度的方法
方法
导数的概念
求函数在某点处的导数的方法
数学抽象
极限思想
素养或思想A级 基础巩固
1.对于做直线运动的物体,如果从时刻t到t+Δt,物体的位移为Δs,那么为 ( )
A.从时刻t到t+Δt时,物体的平均速度
B.从时刻t到t+Δt时位移的平均变化率
C.当时刻为Δt时该物体的速度
D.该物体在t时刻的瞬时速度
解析:根据题意,做直线运动的物体,从时刻t到t+Δt时,时间的变化量为Δt,而物体的位移变化量为Δs,那么为该物体在t时刻的瞬时速度.
答案:D
2.已知一质点的位移s与时间t之间的关系为s(t)=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
A.-3 B.3 C.6 D.-6
解析:由平均速度和瞬时速度的关系,可知v=s'(1)=(-3Δt-6)=-6.
答案:D
3.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则= ( )
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
解析:因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
所以==4+2Δx.
答案:C
4.若f'(x0)=1,则=-.
解析:=
-=-f'(x0)=-.
5.某辆汽车的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.若在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,,,则三者的大小关系是>>.
解析:因为==kMA,
==kAB,
==kBC,
由图象可知kBC>kAB>kMA,
所以>>.
6.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求:
(1); (2)f'(1).
解:(1)==
=2+Δx.
(2)f'(1)==(2+Δx)=2.
B级 拓展提高
7.设函数f(x)在点x0附近可导,若有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
解析:因为f'(x0)===(a+bΔx)=a,
所以f'(x0)=a.
答案:C
8.设函数y=f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=( )
A.1 B.-1 C.- D.
解析:因为
=
=-3f'(x0)=1,
所以f'(x0)=-.
答案:C
9.某质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t-(2t-1)2,则在1 s末的瞬时速度为-3m/s.
解析:因为Δs=s(1+Δt)-s(1)=[1+Δt-(2+2Δt-1)2]-[1-(2-1)2]=-4(Δt)2-3Δt,
所以=(-4Δt-3)=-3.
10.求函数f(x)=在x=1处的导数.
解:由导数的定义,知函数在x=1处的导数f'(1)=.
因为==,
所以f'(1)==.
11.已知一辆汽车在做直线运动时,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系满足s(t)=3t2+1,求这辆汽车在3 s末的瞬时速度.
解:设这辆汽车在3 s到(3+Δt)s这段时间内的位移的变化量为Δs,则
Δs=3(3+Δt)2+1-28=3(Δt)2+18Δt,
所以=3Δt+18,
所以(3Δt+18)=18.
故这辆汽车在3 s末的瞬时速度为18 m/s.
C级 挑战创新
12.多选题已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则下列式子的值等于1的是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析:由导数的定义可知,选项A,B,C的值都是f'(x0),即三个式子的值都等于1.
而选项D中=-f'(x0)=-1.
答案:ABC
13.多空题函数y=在x=x0处的导数为,在点处的导数为.
解析:因为Δy=-,
==,
所以==,
即y'=.
令=,得x0=1,此时y0==1,
即函数y=在点(1,1)处的导数为.
