(共37张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
【知识梳理 】
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)>0 单调递 .
f'(x)<0 单调递 .
增
减
二、函数单调性的判断
【知识梳理 】
定义域
零点
【基础测试】
探索点一 导数与函数图象的关系
y=f(x)的图象 函数值 导数f'(x)
函数值增加得越来越快 f'(x)>0,且越来越大
函数值增加得越来越慢 f'(x)>0,且越来越小
函数值减少得越来越快 f'(x)<0,且越来越小,绝对值越来越大
函数值减少得越来越慢 f'(x)<0,且越来越大,绝对值越来越小
答案: D
【跟踪训练】
答案: D
探索点二 利用导数求函数的单调区间
【跟踪训练】
探索点三 利用导数求参数的取值范围
【课堂评价】
(-1,2)和(4,5]
课堂建构
素养发展
课程学习情境——利用导数证明不等式
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
y
y=fr
28
导数与函数图象间关系的判断方法
函数的单调性与导数
知识的正负之间的关系利用导数求函数单调区间的方法方法
利用导数解决参数问题的方法
数形结合思想直观想象数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则导数f'(x)的图象可能是 ( )
A B C D
解析:f'(x)=2x+b.因为函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,所以x=->0,所以b<0.所以f'(x)的图象可能为选项A中的图象.
答案:A
2.若函数f(x)=sin x-x,则函数f(x)在区间(0,π)上的单调递增区间为 ( )
A. B.
C. D.
解析:f'(x)=cos x-.由f'(x)>0,得cos x>.又因为x∈(0,π),所以0答案:D
3.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则( )
A.a≤0 B.a<1
C.a<2 D.a≤
解析:由题意可知f'(x)≤0在R上恒成立,即3ax2-1≤0恒成立,显然选项B,C,D都不能使3ax2-1≤0恒成立.
答案:A
4.函数f(x)=xln x的单调递减区间为.
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.令f'(x)<0,得x<.又因为x>0,所以函数f(x)的单调递减区间为.
5.函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则实数a的取值范围是a≥.
解析:由题意,知f'(x)=3ax2-2x+1≥0在R上恒成立,
所以解得a≥.
6.判断函数y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性.
解:由题意,知y'=3ax2,x2≥0.
当a>0时,y'≥0,函数y在R上单调递增;
当a<0时,y'≤0,函数y在R上单调递减;
当a=0时,y'=0,函数y在R上不具备单调性.
B级 拓展提高
7.若函数f(x)=x3-ax在区间(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,3]
解析:因为函数f(x)=x3-ax在区间(-1,1)上单调递减,
所以f'(x)=3x2-a≤0在区间(-1,1)上恒成立,即 a≥3x2在区间(-1,1)上恒成立.因为3x2<3,所以a≥3.故选B.
答案:B
8.设函数F(x)=是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)A.f(2)>e2f(0),f(821)>e821f(0)
B.f(2)e821f(0)
C.f(2)D.f(2)>e2f(0),f(821)解析:因为F(x)=,f'(x)所以F'(x)==<0,
所以F(x)是定义在R上的减函数,
所以F(2)同理可得f(821)答案:C
9.函数f(x)=2x-ln x的单调递增区间是.
解析:由题意,得f'(x)=2-=,f(x)=2x-ln x的定义域是{x|x>0}.令f'(x)≥0,即≥0,解得x≥或x<0(舍去).故答案为.
10.已知函数f(x)=ln x-x2-x,求f(x)的单调区间.
解:根据题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-x-=.
令f'(x)>0,即>0,解得0令f'(x)<0,即<0,解得x>1.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
11.已知f(x)=aex-x-1.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)是否存在a,使f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意,得f'(x)=aex-1.
当a≤0时,f'(x)<0在R上恒成立;
当a>0时,令f'(x)>0,得ex>,所以x>-ln a.
令f'(x)<0,得ex<,所以x<-ln a.
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).
(2)f'(x)=aex-1.
若函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,
则aex-1≤0在(-∞,0]上恒成立,即a≤,
而当x∈(-∞,0]时,≥1,所以a≤1;
若函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
则aex-1≥0在[0,+∞)上恒成立.
即a≥,而当x∈[0,+∞)时,≤1,所以a≥1.
综上可得,a=1.故存在a=1满足条件.
C级 挑战创新
12.多选题若关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:因为关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,所以mx>2-x2在区间[1,2]上有解,即m>-x在区间[1,2]上成立.设函数f(x)=-x,x∈[1,2],所以f'(x)=--1<0恒成立,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且f(x)的值域为[-1,1].要使m>-x在区间[1,2]上有解,则 m>-1,即实数m的取值范围是(-1,+∞).
答案:BCD
13.多选题已知定义在R上的函数f(x),其导数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-4,f(0)=5,则下列选项中x的取值能够使不等式f(x)>ex+4成立的是 ( )
A.-1 B.0 C.-2 D.-5
解析:构造函数g(x)= -.
则g(0)=1,g'(x) =+=
<0,
所以g(x)在R上为减函数.
所以不等式f(x)>ex+4等价于->1,
即g(x)>g(0),所以x<0.
答案:ACD
14.多空题若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上单调递增,则k的取值范围是(-∞,3];若函数f(x)在区间(-3,-1)上不单调,则k的取值范围是(3,27).
解析:若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上单调递增,则f'(x)=3x2-k≥0在区间(-3,-1)上恒成立,即k≤3x2在区间(-3,-1)上恒成立.因为3x2∈(3,27),所以k≤3,
所以k的取值范围是(-∞,3].
若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,
则f'(x)=0在区间(-3,-1)上有根.
所以f'(x)=3x2-k=0在区间(-3,-1)上有根,
即k=3x2在区间(-3,-1)上有解.
因为3x2∈(3,27),
所以k的取值范围是(3,27).
