A级 基础巩固
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的关系为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
解析:y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9(负值舍去).当x∈(0,9)时,y'>0;
当x>9时,y'<0,
所以函数y=-x3+81x-234在区间(0,9)上单调递增,在区间(9,+∞)上单调递减,
所以x=9是函数的极大值点.
又因为函数y在区间(0,+∞)上只有一个极大值点,
所以函数y在x=9处取得最大值.
答案:C
2.一周长为l的扇形,当面积达到最大值时,扇形的半径为 ( )
A. B. C. D.
解析:设半径为r,则弧长为l-2r.
S扇形=(l-2r)·r=-r2+rl.
令S'扇形=-2r+=0,得r=.
当r∈时,S'扇形>0,S扇形单调递增;当r∈时,S'扇形<0,S扇形单调递减,所以当r=时,扇形面积最大.
答案:C
3.用一根长为24 m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体的最大体积为8m3.
解析:设长方体的底面边长为x m,则高为(6-2x)m,
所以x∈(0,3),则体积V=x2(6-2x)=6x2-2x3,
V'=12x-6x2.令V'=0,得x=2或x=0(舍去),
所以当x∈(0,2)时,V'>0,V单调递增,
当x∈(2,3)时,V'<0,V单调递增,
所以当x=2时,Vmax=8.
4.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1 000元时,公寓会全部租出去,月租金每增加50元,租出去的公寓就会减少一套,而租出去的公寓每套每月需由该公司承担100元的维修费,则租金定为1 800元时该公司可获得最大收入.
解析:设月租金定为x元,收入为y元,
则y=(x-100)=
,
则y'=.令y'=0,得x=1 800.
当x<1 800时,y'>0,当x>1 800时,y'<0,
所以x=1 800是极大值点,y极大值=57 800.
所以当x=1 800时,y取得最大值.
5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是两邻边分别为x m,y m的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8 m2,当x,y分别为多少时用料最省 (精确到0.001)
解:依题意有xy+x·=8,
所以y=-(0
则框架用料总长度L=2x+2y+2×=x+,
则L'=+-.令L'=0,即+-=0,
解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).
当0当8-40.
所以当x=8-4时,L取得最小值,此时x=8-4≈2.343,y=2≈2.828.
故当x≈2.343,y≈2.828时,用料最省.
B级 拓展提高
6.内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高为 ( )
A.R B.R
C. D.以上都不对
解析:设圆柱底面半径为r,高为h,则r2=R2-,所以V(h)=πr2h=πh,V'(h)=π.令V'(h)=0,得h=R(负值舍去),此时体积V(h)最大.
答案:A
7.一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 ( )
A. m B.1 m C. m D.2 m
解析:设OO1为x m(1S=6×()2=(8+2x-x2).
帐篷的体积V=×(8+2x-x2)(x-1)+(8+2x-x2)=(8+2x-x2)[(x-1)+3]=(16+12x-x3),V'=(12-3x2).令V'=0,解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).当10;当2答案:D
8.已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的体积最大时,圆柱的高h为.
解析:设圆柱的底面半径为r,
所以S=2πr2+2πrh,所以h=,
圆柱的体积V(r)=πr2h=.
V'(r)=,令V'(r)=0,得S=6πr2,所以h=2r.
因为在定义域内只有一个极值点,故当h=2r时圆柱的体积最大.
因为r=,所以h=2r=2=,
即当圆柱的体积最大时,圆柱的高h为.
9.已知函数f(x)=ex+3ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=ex+3ax,x∈R,
所以f'(x)=ex+3a.
①当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=ln(-3a).
所以x∈(-∞,ln(-3a))时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(ln(-3a),+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增.
当a<0时,f(x)在区间(-∞,ln(-3a))上单调递减,f(x)在区间(ln(-3a),+∞)上单调递增.
(2)由题意,知ex+3ax≥0在区间(0,+∞)上恒成立,
即a≥-在区间(0,+∞)上恒成立,
所以a≥(x>0).
设g(x)=-,则g'(x)=.
当00,g(x)单调递增;
当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
故g(x)max=g(1)=-,
所以a≥-.
10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,两桥墩相距m m,后期需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数解析式;
(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小
解:(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,
即n=-1(n∈N*).
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x
=256+(2+)m
=+m+2m-256(0(2)由(1),知f'(x)=-+m=(-512).令f'(x)=0,得=512,
所以x=64.
当0当640,故函数f(x)在区间(64,640]上单调递增.
所以函数f(x)在x=64处取得最小值,
此时n=-1=-1=9.
故当m=640时,需新建9个桥墩才能使y最小.
C级 挑战创新
11.多空题某车间要靠墙壁盖一间底面为矩形的小屋,现有的砖只够砌20 m长的墙壁,则应围成长为10m,宽为5m的矩形才能使小屋面积最大.
解析:设长为x m,宽为y m,则x+2y=20,y=10-.矩形面积S=xy=x=10x-(0令S'=0,得x=10.当00,S单调递增;当1012.多空题要做一个底面为矩形的带盖的长方体箱子,其体积为72 m3,底面两邻边的边长之比为1∶2,则当它的长为6m,高为4m时,表面积最小.
解析:设底面两邻边的边长分别为x m,2x m,则高h==(m).
所以表面积S=4x2+2(x+2x)·=4x2+(x>0).
所以S'=8x-=.
令S'=0,解得x=3,则S在区间(0,+∞)上的唯一的极值点为x=3,所以当x=3时,S取得极小值,且是S的最小值,即当长为6 m,高为4 m时,箱子的表面积最小.A级 基础巩固
1.函数f(x)=x+cos x在区间[0,π]上的 ( )
A.最小值为0,最大值为
B.最小值为0,最大值为+1
C.最小值为1,最大值为
D.最小值为1,最大值为π-1
解析:f'(x)=1-sin x.在区间[0,π]上,0≤sin x≤1,
所以f'(x)≥0,
即f(x)在区间[0,π]上是增函数,
所以在区间[0,π]上,f(x)max=f(π)=π-1,f(x)min=f(0)=1.
答案:D
2.函数f(x)=-x在区间(0,+∞)上 ( )
A.有最大值,无最小值
B.有最大值和最小值
C.无最大值和最小值
D.无最大值,有最小值
解析:由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-,令f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为(0,1);令f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞).所以函数f(x)在区间(0,+∞)上有最大值,无最小值.
答案:A
3.函数y=的最大值为 ( )
A. B.e C.e2 D.
解析: y'==(x>0),
令y'=0,得x=e.
所以当00,y=为增函数;
当x>e时,y'<0,y=为减函数.
所以y=在区间(0,+∞)上的最大值ymax==.
答案:A
4.设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的可导函数,且f'(x)>g'(x),令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的最小值为f(a)-g(a).
解析:由f'(x)>g'(x),得F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,
所以函数F(x)在区间[a,b]上单调递增.
所以F(x)min=F(a)=f(a)-g(a).
5.多空题函数f(x)=x3+x2-2x+3,x∈[-3,4]的最大值为,最小值为.
解析:f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
令f'(x)=0,得x=1或x=-2.
因为f(-3)=,f(-2)=,f(1)=,f(4)=,
所以f(x)max=,f(x)min=.
6.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
解:(1)因为f'(x)=3ax2+2x+b,
所以g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.
因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),
从而3a+1=0,b=0,
解得a=-,b=0,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+x2.
(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,
所以g'(x)=-x2+2.
令g'(x)=0,
解得x1=-,x2=,
在区间[1,2]上,g(1)=,g()=,g(2)=.
因此,函数g(x)在区间[1,2]上的最大值为,最小值为.
B级 拓展提高
7.若函数f(x)=+ln x-1(a>0)在定义域内有零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤1 B.0C.a≥1 D.a>1
解析:函数f(x)=+ln x-1(a>0)的定义域为(0,+∞).
由函数f(x)在定义域内有零点,得f(x)=0有解,
所以a=x-xln x有解.
令h(x)=x-xln x,所以h'(x)=-ln x,
所以函数h(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),
所以h(x)max=h(1)=1.所以0答案:B
8.已知函数f(x)=x4cos x+mx2+2x(m∈R),若导数f'(x)在区间[-4,4]上有最大值16,则导数f'(x)在区间[-4,4]上的最小值为 ( )
A.-16 B.-12 C.2 D.6
解析:因为f(x)=x4cos x+mx2+2x,所以f'(x)=4x3cos x-x4sin x+2mx+2.令g(x)=4x3cos x-x4sin x+2mx,所以g(x)为奇函数.因为f'(x)在区间[-4,4]上有最大值16,所以g(x)在区间[-4,4]上有最大值14,所以g(x)在区间[-4,4]上的最小值为-14,所以f'(x)在区间[-4,4]上有最小值-12.
答案:B
9.已知函数f(x)=ax3-3x+1,若对任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是[4,+∞).
解析:当x∈(0,1]时,不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥.设g(x)=,x∈(0,1],则g'(x)==-.
令g'(x)=0,得x=.在区间(0,1]上,g'(x)与g(x)随x的变化情况如下表:
x
g'(x) + 0 -
g(x) 单调递增 4 单调递减
故g(x)的最大值为4,实数a的取值范围是[4,+∞).
10.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)当f'(1)=3时,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解:f'(x)=3x2-2ax.
(1)因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,从而函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,
从而f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(0)=0.
当0<<2,即0从而在区间[0,2]上,f(x)max=
综上所述,在区间[0,2]上,f(x)max=
11.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值是20,求它在该区间上的最小值.
解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9.
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).
因为在区间(-1,3)上f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-1,2)上单调递增.
又因为函数f(x)在区间(-2,-1)上单调递减,
所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.所以22+a=20,解得a=-2.
所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.
所以f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
C级 挑战创新
12.多选题已知函数f(x)=,则y=f(x)的大致图象不可能为 ( )
A B C D
解析:由题意,得则f(x)的定义域为{x|x>-1,且x≠0},所以选项D不可能.
令g(x)=ln(x+1)-x(x>-1),
则g'(x)=-.由g'(x)>0,得-1由g'(x)<0,得x>0,故g(x)从而x>0或-1故选项A,C不可能,选项B可能为该函数的大致图象.
答案:ACD
13.多空题若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点,则a=3,此时函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
解析:f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(a∈R),当a≤0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.又因为f(0)=1,所以此时f(x)在区间(0,+∞)上无零点,不满足题意.在区间(0,+∞)上,当a>0时,由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得00,f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,则在区间[-1,1]上,f(x)max=f(0)=1,f(-1)=-4,f(1)=0,则f(x)min=-4,所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.(共39张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
【知识梳理 】
0
<
>
<
极小值点
极小值
>
0
>
<
增
减
极大值点
极大值
极值点
V
f'(x)>0
f'(x)<0
f'(x)<0
f'(x)>0
【基础测试】
0
探索点一 求函数的极值(点)
-1
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减
2
答案: B
【跟踪训练】
探索点二 与参数相关的极值问题
【跟踪训练】
(-∞,0)
6
9
【跟踪训练】
【课堂评价】
-98
y=-
课堂建构
素养发展
课程学习情境——利用极值研究方程根的问题
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
y=f(e
重点探究认知发展
y
2 O
极值
求函数的极值和极值点的方法
知识
已知函数的极值求参数的方法方法
极值点
无极值问题的求解思路
数学抽象数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则 ( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a<- D.a>-
解析:因为y=ex+ax,所以y'=ex+a.令y'=0,即ex+a=0,则ex=-a,所以x=ln(-a).又因为x>0,所以-a>1,即a<-1.
答案:A
2.若函数f(x)=xex,则 ( )
A.1为f(x)的极大值点
B.1为f(x)的极小值点
C.-1为f(x)的极大值点
D.-1为f(x)的极小值点
解析:由题意,得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,易知-1是函数f(x)的极小值点.
答案:D
3.当函数y=x·2x取极小值时,x= ( )
A. B.-
C.-ln 2 D.ln 2
解析:由y=x·2x,得y'=2x+x·2x·ln 2.
令y'=0,得2x(1+x·ln 2)=0.
因为2x>0,所以1+x·ln 2=0,解得x=-.
答案:B
4.若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为.
解析:由题意,可知f'(x)=a-,f'=0,
所以a-=0,解得a=.
5.函数f(x)=+ln x的极小值点为2.
解析:由题意,知函数f(x)的定义域是(0,+∞).由f'(x)=-+==0,得x=2.当02时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以当x=2时,函数f(x)取得极小值,故2为f(x)的极小值点.
6.设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
解:对f(x)求导得f'(x)=.
(1)当a=时,令f'(x)=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=,x2=.
当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以是f(x)的极小值点,是f(x)的极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f'(x)在R上不变号.
结合f'(x)和条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
所以Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,
故0B级 拓展提高
7.若函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的极小值为 ( )
A.0 B.-
C.- D.1
解析:由题意,知f'(x)=3x2-2px-q,
f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,
联立,得方程组解得
所以f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.
由f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=.
可知1是函数f(x)的极小值点.
所以f(x)极小值=f(1)=0.
答案:A
8.设函数f(x)=x·(x-c)2在x=2处有极大值,则c=6.
解析:因为f'(x)=3x2-4cx+c2,f(x)在x=2处有极大值,所以f'(2)=0,即c2-8c+12=0,解得c=2或c=6.
当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2).
则当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,不符合题意,
所以c≠2,所以c=6.
9.已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0;
当-11时,f'(x)>0.
当x=-1时,函数f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以函数y=f(x)的图象与x轴有三个交点.
所以极大值2+a>0,且极小值-2+a<0,
解得-2故实数a的取值范围是(-2,2).
10.已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数,试确定a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-ln x,
则f'(x)=2x-,
则f'(1)=1,f(1)=1,所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,
①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)不存在极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=(负值舍去).
当0时,f'(x)>0.
所以当x=时,函数f(x)有极小值,极小值为f=-ln.
(3)因为函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数,
所以f'(x)=2x-≥0,即a≤2x2对x∈(2,+∞)恒成立,所以a≤8.
C级 挑战创新
11.多选题已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列四个结论正确的是 ( )
A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数
B.当x=-1时,f(x)有极小值
C.f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数
D.当x=2时,f(x)有极小值
解析:由题图知f(x)在区间(-3,-1)和(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数,当x=-1时,函数f(x)有极小值,当x=2时,函数f(x)有极大值.
答案:BC
12.多选题若使函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值可以是 ( )
A. B. C. D.
解析:f'(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1.由题意知f'(x)=0有两个根,所以ln x-2ax+1=0有两个根,即y=ln x+1与y=2ax恰有两个交点.若直线y=2ax恰与曲线y=ln x+1相切于点(x0,y0),且y=ln x+1的导数y'=,则
解得2a=1,要使函数y=ln x+1的图象与y=2ax的图象恰有两个交点,只需0<2a<1,即0答案:ACD
13.多空题 已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0)在x=-1处取得极值,若直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,则m的取值范围为(-3,1).若有两个不同的交点,则m的取值为-3或1.
解析:因为f(x)在x=-1处取得极值,且f'(x)=3x2-3a,
所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,
所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;当-1当x>1时,f'(x)>0.所以由函数f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
根据图象可知,当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点.(共31张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
探索点一 利用导数解决与函数相关的问题
(-2,2)
答案: A
【跟踪训练】
探索点二 利用导数解决几何中的最值问题
【跟踪训练】
探索点三 利用导数解决实际生活中的最值问题
【课堂评价】
20
32
16
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
重点探究认知发展
B
B
利用导数解决函数问题
利用导数画函数
图象的一般方法
数学运算素养或思想
知识|利用导数解决几何问题
利用导数解决几
何问题的方法
方法
数学建模
利用导数解决实际问题
利用导数解决实
际问题的方法(共32张PPT)
第五章 一元函数的导数
及其应用
【知识梳理 】
不小(大)
连续不断
极值
各极值
端点处的函数值f(a),f(b)
【基础测试】
-17
3
探索点一 求已知函数的最值
1
-
【跟踪训练】
-1
7
探索点二 含参数的最值问题
2
3
【跟踪训练】
探索点三 与函数最值有关的综合问题
【课堂评价】
[0, ]
(-∞,-3]
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
求函数的最值的方法
知识函数的最大(小值已知函数的最值求参数的方法方法
不等式恒成立问题的解法
数学抽象
数学运算
素养或思想