A级 基础巩固
1.已知数列{an}的首项为a1=1,若an+1=an+,则此数列的第4项是 ( )
A.1 B. C. D.
解析:根据递推公式结合a1=1逐个求解即可.
答案:B
2.在数列{an}中,a1=2,若an+1=an+ln,则an= ( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
解析:由题意,可知an+1=an+ln,
即an+1-an=ln(n+1)-ln n,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+2=2+ln n.
答案:A
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,若an+1=则S820=( )
A.408 B.410 C. D.
解析:因为a1=,an+1=
所以a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,
a4=2a3=,a5=2a4=,
所以各项以4为周期重复出现.
因为a1+a2+a3+a4=+++=2,820=205×4,
所以S820=205×2=410.
答案:B
4.数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,则a6=32.
解析:当n=1时,a3=2+2=4;
当n=2时,a4=4+4=8;
当n=3时,a5=8+8=16;
当n=4时,a6=16+16=32.
5.根据下列条件,写出各数列的前4项,并归纳猜想数列的通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);
(2)a1=1,an+1=an+(n∈N*);
(3)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.
猜想an=(n-1)2.
(2)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=.
(3)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
6.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,且n∈N*).
(1)求证:an+3=an;
(2)求a1 120.
(1)证明:由题意,知an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an,所以=an.
(2)解:由(1)知,数列{an}的周期T=3.
因为1 120=373×3+1,
所以a1 120=a1=.
B级 拓展提高
7.已知数列{an}满足a1=2,an=1-,记{an}的前n项之积为Tn,则T2 021= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由an=1-,得an+1=,所以an+2=====1-,所以an+3=1-=an,
所以数列{an}是周期为3的周期数列.
因为a1=2,所以a2===-1,a3===,
所以a1a2a3=2×(-1)×=-1.
又因为2 021=673×3+2,
所以T2 021=·a1·a2=(-1)673×2×(-1)=2.
答案:D
8.已知数列{an}的通项公式an=ncos,设前n项和为Sn,则S1 021= ( )
A.1 021 B.1 020 C.510 D.1 008
解析:因为数列an=ncos呈周期性变化,观察此数列规律如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,…,a1 021=0,
故a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,
所以S1 021=(a1+a2+a3+a4)+…+(a1 017+a1 018+a1 019+a1 020)+a1 021=×2+
a1 021=510+0=510.
答案:C
9.已知数列{an}满足a1=1,若当n≥2时,n2(an-an-1)+an-1=0,则an=.
解析:因为当n≥2时,n2(an-an-1)+an-1=0,所以=.
当n≥2时,
nan=(n-1)an-1=·(n-2)an-2=…=··…·×1×a1=a1=,
所以an=.
因为当n=1时,=1=a1,所以an=.
10.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解:因为(n+1)-n+an+1an=0,
所以(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.
又因为an>0,所以an+1+an>0.
所以(n+1)an+1-nan=0,即=.
所以当n≥2时,an=···…···a1=×××…×××1=.
又因为a1=1也适合此式,所以an=.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=an(n+1).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)因为a1=1,且Sn=an(n+1),
所以当n=2时,1+a2=×3a2,解得a2=2;
当n=3时,1+2+a3=×4×a3,解得a3=3.
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an(n+1)-an-1·n,
整理,得=.
因为a2=2,
所以==…===1,所以an=n.
因为当n=1时也成立,
所以an=n.
C级 挑战创新
12.多空题设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2-4n,则a1=-3,a4+a5=8.
解析:因为Sn=n2-4n,
所以当n=1时,a1=S1=-3.
a4+a5=S5-S3=8.
13.多空题 若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)n(an-2)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=数列{bn}的前50项和为49.
解析:由题可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n.
当n=1时,a1=S1=12+1+1=3.
所以an=
因为bn=(-1)n(an-2),
所以bn=
所以数列{bn}的前50项和为-1+2×1-2×2+2×3-2×4+…+2×49=-1+2×(1-2+3-4+…+49)=-1+2×25=49.
14.多空题定义“等积数列”:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积.已知数列{an}是首项a1=2,公积为-6的等积数列,则a3=2,数列{an}的前n项和Sn=.
解析:因为数列{an}是等积数列,a1=2,公积为-6,
所以a2=-3,a3=2,a4=-3……
所以前n项的和Sn=2+(-3)+2+(-3)+….
当n=2k时,有k个2,k个-3,
所以S2k=2k-3k=-k,即当n为偶数时,Sn=-.
当n=2k+1时,有(k+1)个2,k个-3,
所以S2k+1=2(k+1)-3k=-k+2,
即当n为奇数时,Sn=-,
所以Sn=(共37张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
项
首项
{an}
正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})
实数集R
确定的顺序
【知识梳理 】
无限
大于
小于
相等
有限
二、数列的分类
答案:×
答案:×
答案:×
【基础测试】
答案:A
①②③⑤
⑥
①④⑤⑥
②③
答案: C
【跟踪训练】
【解题模型示范】
【跟踪训练】
128
【跟踪训练】
λ>-3
【跟踪训练】
【课堂评价】
5
课堂建构
素养发展
课程学习情境——数列的函数特征
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
读一数列a的通项公式为a=3728n
想已知通项公式,利用求函数值的方法,求数列中的项
(1)由an=3n2-28n,得a4=3×42-28×4=-64,
a=3×62-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,则3n2-28n+49=0
解得n=7或n=(舍去)
算-所以二49是该数列的第7项,即a1=-4
令3n2-28n=68,则3n2-28n-68=0,
解得n=-2或n
因为-2∈N·,34
,∈N
所以68不是该数列的项
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的
关系,只要将序号代入公式,就可以求出数列的相应项
(2)判断某数是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,再列出关于n的方程若方程
的解为正整数,则这个数是该数列的项;若方程无解或
解不是正整数,则这个数不是该数列的项
(3)易错提醒:在判断某数是否为该数列的项时,要注意
n的取值为正整数这一前提条
素养或思想
数列的概念数学抽象数学运算
数列的表示方法求数列通项公式的方法
知识
判断数列单调性的方法
方法
数列与函数的关系
求数列最大项或最小项的方法
数列的分类A级 基础巩固
1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为 ( )
A.an=n B.an=n+1
C.an=n+2 D.an=2n
解析:这个数列的前4项都比序号大1,所以它的一个通项公式为an=n+1.
答案:B
2.数列,,,,…的第10项是 ( )
A. B. C. D.
解析:根据数列,,,,…,可求得数列的一个通项公式为an=,所以这个数列的第10项为 a10==.
答案:C
3.数列2,,,,,…的一个通项公式an= ( )
A. B.
C. D.
解析:将2写成,因为数列各项分子分别为2,4,8,16,32,…,即21,22,23,24,25,…,分母分别为1,3,5,7,9,…,都是奇数,所以此数列的一个通项公式为 an=.
答案:C
4.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是 ( )
A.an=[1+(-1)n-1]
B.an=[1-cos(n·180°)]
C.an=sin2(n·90°)
D.an=(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]
解析:令n=1,2,3,4,代入验证即可.
答案:D
5.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1,,,,3,,….
解析:因为数列的前4项的被开方数分别为1,3,5,7,是由小到大的奇数,所以需要填空的数为=3.
6.如图,用火柴棒按下面的方法搭三角形:
……
按此规律搭下去,则所用火柴棒的数量an与所搭三角形的数量n之间的关系式可以是an=2n+1.
解析:由题图,易得a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,所以an=2n+1.
B级 拓展提高
7.设an=+++…+ (n∈N*),那么an+1-an= ( )
A.
B.
C.+
D.-
解析:因为an=+++…+,
所以an+1=++…+++,
所以an+1-an=+-=-.
答案:D
8.多空题在数列0,,…,,…中,第3项是;是它的第7项.
解析:令n=3,则==,所以第3项是;令=,解得n=7,所以是它的第7项.
9.在以下数列的通项公式an中,满足对一切n∈N*恒有an
(1)an=7n; (2)an=; (3)an=;
(4)an=(-1)n+1·;
(5)an=(10n+1-1)+1; (6)an=2+(-1)n.
解析:(1)an=7n为递增数列,符合题意;
(2)an=中,a2=,a3=,a2>a3,与an(3)an==3-,当n变大时,变小,3-变大,为递增数列,符合题意;
(4)an=(-1)n+1·,a1=,a2=-,a1>a2,不符合题意;
(5)an=(10n+1-1)+1,当n变大时,10n+1变大,(10n+1-1)+1也变大,为递增数列,符合题意;
(6)an=2+(-1)n,a2=3,a3=1,a2>a3,不符合题意.
10.已知数列{an}满足an=若对任意n∈N*都有an>an+1,则实数a的取值范围是.
解析:因为an=对任意n∈N*都有an>an+1,
所以即
解得11.根据下列5个图形及相应的点的个数的变化规律,试猜测第(n)个图形中有多少个点.
(1) (2) (3) (4) (5)
解:题图(1)只有1个点,无分支;题图(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;题图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;题图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n个图形中除中间一个点外,有(n)个分支,每个分支有(n-1)个点,故第(n)个图形中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.
12.已知数列{an}满足an=.
(1)求这个数列的第10项.
(2)是不是该数列中的项,为什么
(3)在区间上有无数列中的项 若有,有几项 若没有,请说明理由.
解:(1)因为an===,所以a10=.
(2)令=,解得n=.
因为n∈N*,所以不是该数列中的项.
(3)令所以解得所以又因为n∈N*,所以n=2.故区间上有数列中的项,且只有一项为a2=.
C级 挑战创新
13.多选题数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式an可以写为 ( )
A. B.
C.cos D.cos
解析:A项,将n=1,2,3,…代入通项公式可得数列为0,1,0,1,…,符合题意,故A项正确;
B项,将n=1,2,3,…代入通项公式可得数列为0,1,0,1,…,符合题意,故B项正确;
C项,将n=1,2,3,…代入通项公式可得数列为-1,0,1,0,…,不符合题意,故C项错误;
D项,将n=1,2,3,…代入通项公式可得数列为0,1,0,-1,…,不符合题意,故D项错误.
答案:AB
14.多选题若数列{an}的通项公式为an=(3n+7)×0.9n,则关于数列{an}的说法正确的是( )
A.数列先减后增
B.数列先增后减
C.最大项为a7
D.最大项为a6
解析:由=×>1,解得n<.
又因为n∈N*,所以n≤6,
所以a1当n≥7时,<1,故a7>a8>…>an,
所以数列先增后减,其中最大项为a7.
答案:BC(共27张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
两项或多项
二、数列的前n 项和
【知识梳理 】
a1+a2+…+an
前n项和公式
a1+a2+…+an-1
【基础测试】
14
【跟踪训练】
【跟踪训练】
探索点三 an与Sn的关系
【跟踪训练】
【课堂评价】
4
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
数列的递由递推公式写数列的项的方法
推公式
由递推公式求通项公式的方法
方法
知认
数列的前根据an与S的关系求通项公式的
n项和
方法
分类讨论数学抽象
素养或思想