A级 基础巩固
1.数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,若S7=,则sin a4= ( )
A.- B.-
C. D.
解析:因为S7=(a1+a7)=7a4=,所以a4=,所以sin a4=sin=-sin=-.
答案:A
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则n= ( )
A.15 B.16
C.17 D.18
解析:因为后6项的和等于Sn-Sn-6=324-144=180,因此6(a1+an)=180+36,所以a1+an=36.
因为Sn=324,所以Sn=(a1+an)=324,
所以×36=324,所以n=18.
答案:D
3.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+= ( )
A. B.
C. D.
解析:因为=,所以+=+=====.
答案:C
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m=10.
解析:因为{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am.由am-1+am+1-=0,得2am-=0.
由S2m-1=38,知am≠0,所以am=2.
又因为S2m-1=38,即=38,
所以(2m-1)×2=38,解得m=10.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=5.
解析:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,故d=1.
因为Sm=0,故ma1+d=0,即a1=-.
因为am+am+1=5,
所以am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=m=5.
6.已知等差数列{an}满足a4=7,a10=19,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn==n2.
(2)bn===-,所以数列{bn}的前n项和为Tn=[++…+(-)]==.
B级 拓展提高
7.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若公差d=,且S100=145,则a2+a4+a6+…+a98+a100的值为 ( )
A.70 B.75 C.80 D.85
解析:设P=a1+a3+…+a99,Q=a2+a4+…+a100,则解得
答案:D
8.已知等差数列{an}的项数为奇数,若奇数项的和为40,偶数项的和为32,则a5= ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析:设等差数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,公差为d.因为奇数项的和为40,偶数项的和为32,所以40=a1+a3+…+a2k+1,32=a2+a4+…+a2k,
所以72==(2k+1)ak+1,
8=a2k+1-kd=ak+1,
所以9=2k+1,即等差数列{an}共有9项,且S9==9a5=72,所以a5=8.
答案:A
9.设等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若+(a2-1)=821,+(a820-1)=-821,则S821=821.
解析:设f(x)=x3+x,
易知f(x)在R上为奇函数,且单调递增.
因为f(a2-1)=821,f(a820-1)=-821,
所以a2-1+a820-1=0,所以a1+a821=a2+a820=2,
所以S821==821.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2+x的图象上.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上,所以Sn=n2+n(n∈N*).①
当n=1时,a1=S1=1.
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1), ②
①-②,得an=n.
当n=1时,a1=S1=1,符合an=n.
所以an=n(n∈N*).
(2)由(1),得==,
所以Tn=+++…+
=
=
=-.
因为Tn+1-Tn=>0,
所以数列{Tn}递增,
所以{Tn}中的最小项为T1=.
要使不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要>loga(1-a),
即loga(1-a)
故实数a的取值范围为.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*).
(1)判断数列{an}是否为等差数列.
(2)设Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求Rn.
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最小的正整数n0,使得不等式Tn<对一切正整数n总成立 如果存在,求出n0的最小值;如果不存在,说明理由.
解:(1)由题意,知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*),
当n=1时,a1=S1=10,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+9n+2-[-(n-1)2+9(n-1)+2]=-2n+10,当n=1时,不符合此式,
所以数列{an}的通项公式为an=
所以数列{an}不是等差数列.
(2)由(1)知,令an≥0,解得n≤5,
所以当1≤n≤5,n∈N*时,an≥0,当n≥6,n∈N*时,an<0.
①当n≤5时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+9n+2.
②当n≥6时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+…+an)=R5-=n2-9n+42.
综上,可得Rn=
(3)由(1),可得当n=1时,b1=,
当n≥2时,bn===,
Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…+=1+-++…+=-=-<,
要使得不等式Tn<对一切正整数n总成立,则≤,即n0≥24,所以n0的最小值为24.
C级 挑战创新
12.多选题数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,…,,,…,,…,则以下运算和结论正确的是 ( )
A.a24=
B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列
C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
D.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
解析:以2到7为分母的项共有1+2+3+…+6=21(个),故a22=,a23=,a24=,故A项正确;
设构造的新数列为{bn},则bn=++…+==为等差数列,故B项正确;
数列的前n项和为Tn=,故C项正确;
根据C项可知,T6==,即S21=>10,S20=-<10,此时a20=,故D项正确.
答案:ABCD
13.多空题已知等差数列{an}中,a1=-10,d=2,则数列{|an|}的前3项的和S3=24,前8项的和S8=36.
解析:因为a1=-10,d=2,所以an=2n-12,所以S3=++=24,
S8=++…+=-a1-…-a6+a7+a8=36.
14.多空题设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=(-1)nan-(n∈N*),则a3=-,S7=-.
解析:当n=1时,a1=S1=-a1-,解得a1=-;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-(-1)n-1an-1+,所以[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+.
当n为偶数时,an-1=-;
当n为奇数时,an=-,所以a3=-=-,
a7=-,S7=(-1)7-=-=-.(共30张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
等差数列前n项和的性质
m2d
n(an+an+1)
nd
(2n-1)an
a1
-(m+n)
0
【基础测试】
117
6
探索点一 等差数列前n项和性质的应用
210
【跟踪训练】
{1,2,3,6}
探索点二 求数列 | | 的前n项和
【解题模型示范】
1 040
【课堂评价】
190
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
已知数列{an的前n项和Sn的表达式是关于正整数n的二次
读一三项式,要求数列的通项公式和数列(b}(b=l)的前
n项和
想第(1)间利用么S,n1
求解第(2)问先求出an的符
Sn-Sn-1,n≥2
号转折点,再分类讨论求解
(1)当n=1时,a1=S1=100-1+3=102,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=100n-n2+3一[100(n-1)
)2+3]=101-2
102,
当n=1时,101-2n=99≠102,所以an=
101-2n,m≥2
101
(2)由101-2n≥0,得n≤。,所以当n≤50时
2
,nan
算
Tn=a1+a2+a3+…+an=Sn=-n2+100n+3;当n≥51
时,b
=a1+a2+a3+…
51
C
a=2T
Sn=5006-(-n2+100n+3)=n2-100n+5003
n2+100n+3,n≤50,
综上所述,T
2-100n+5003,n≥51
(1)数列{|an}的前n项和的求解策略
求数列{an}的前n项和,先要搞清数列{an}中,哪
些项是正数,哪些项是负数(若项的值为正数,则
思直接去掉绝对值号,若项的值为负数,则变为原来
的相反数),再转化为数列{an}的前n项和的形式
求解
(2)易错提醒:当求解数列{an}的前n项和时,在去
绝对值号的过程中注意符号问题
综合应用
裂项相消求和法
知识等差数列前n项
利用性质求数列
和的性质
前n项和的方法
方法
数学建模数学运算并项求和法
素养或思想A级 基础巩固
1.在等差数列{an}中,如果++2a3a8=9,且an<0,那么S10= ( )
A.-9 B.-11 C.-13 D.-15
解析:由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9.
因为an<0,所以a3+a8=-3,
所以S10====-15.
答案:D
2.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析:因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1.
答案:B
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则当Sn取最大值时n的值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.13
解析:根据S13>0,S14<0,可以确定a1+a13=2a7>0,a1+a14=a7+a8<0,所以a7>0,a8<0,所以Sn取最大值时n的值为7,故选B.
答案:B
4.已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,若前n项和为200,则n=10.
解析:依题意得a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,所以Sn=200=×n=20n,解得n=10.
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和,其首项a1>0,a99+a100>0,a99a100<0,则使Sn>0成立的最大自然数n为198.
解析:因为a99a100<0,所以a99和a100异号.因为a1>0,a99+a100>0,所以a99>0,a100<0,即a1+99d<0,所以d<0,所以2a1+198d<0,即a1+a199<0.
因为a99+a100>0,a99+a100=a1+a198,所以a1+a198>0,
所以S198=>0,
S199=<0,
所以使Sn>0成立的最大自然数n=198.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=-5,S4=-24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=-9+2(n-1)=2n-11.
(2)由(1),知an=2n-11,令an=2n-11≤0,得n≤5.5,所以当n=5时,数列{an}的前n项和Sn取得最小值,即Sn的最小值为S5=5a1+10d=5×(-9)+2×10=-25.
B级 拓展提高
7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额=收入-成本),则n等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:设该设备第n年的运营费用为an万元,
则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n,所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn==n2+n.
设第n年的盈利总额为Sn万元,
则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9,
所以年平均盈利额为万元,
所以当n=3时,年平均盈利额取得最大值.
答案:D
8.已知等差数列{an}的公差为d,若关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前n项和Sn取得最大值的正整数n的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],所以0,9分别是关于x的一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根,且d<0,所以-=9,即2a1+9d=0,所以a1=-.所以an=a1+(n-1)d=d,所以a5=-d>0,a6=d<0.所以使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
答案:B
9.已知正项数列{an}满足递推关系an=(n≥2),且a1=,若数列{bn}满足bn=,则++…+=2n2+6n.
解析:将an=两边取倒数,整理得-=2,所以是一个等差数列.又因为首项=4,公差为2,所以=4+(n-1)×2=2n+2,所以bn==4(n+1)2,所以=4n+4,所以数列是以8为首项,4为公差的等差数列,故++…+=8n+×4=2n2+6n.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S9=-a5.
(1)若a3=-4,求{an}的通项公式;
(2)若a1<0,求使Sn≤an的n的取值范围.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为S9=-a5,
所以9a5=-a5,所以a5=a1+4d=0.
又因为a3=a1+2d=-4,所以
解得
故an=2n-10.
(2)由Sn≤an,得n2+n≤dn+a1-d,
由(1),可知d=-a1,
所以a1n2-a1n+a1≥0.
因为a1<0,
所以n2-n+≤0,解得1≤n≤10,
故使Sn≤an的n的取值范围为[1,10],n∈N*.
11.已知数列{an}满足3a1+5a2+…+(2n+1)an=n·3n+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
解:当n≥2时,3a1+5a2+…+(2n-1)an-1=(n-1)·3n,所以(2n+1)an=n·3n+1-(n-1)·3n,解得an=3n.
当n=1时,3a1=32,即a1=3,满足an=3n,
所以数列{an}的通项公式为an=3n,n∈N*.
(2)设bn=,求证:数列{bn}的前n项和Tn<.
证明:由题意,知bn===,
则Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…++=1+--=-.
因为+>0,
所以-<,即Tn<.
C级 挑战创新
12.多选题设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是 ( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
解析:由S50.因为S6=S7,所以a7=0,所以d<0.当n≤6时,an>0,Sn随n的增大而增大;当n≥8时,an<0,Sn随n的增大而减小,所以S6与S7均为Sn的最大值,a8<0,所以S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=2a8<0,即S9答案:ABD
13.多选题设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3=12,S12>0,a7<0,则 ( )
A.a6>0
B.-C.当Sn<0时,n的最小值为13
D.数列中最小项为第7项
解析:依题意,得a3=a1+2d=12,a1=12-2d.
因为S12=×12=6(a6+a7)>0,a7<0,所以a6>0,A选项正确.
解得-0,所以当Sn<0时,n的最小值为13,C选项正确.由上述分析可知,当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0;当1≤n≤12时,Sn>0,当n≥13时,Sn<0.所以当n∈[1,6]时,>0;当n∈[13,+∞)时,>0;当n∈[7,12]时,an<0,Sn>0,<0,且{|an|}为递增数列,{Sn}为递减数列,所以为递减数列,因为<0,所以随着n的增大,逐渐增大,所以数列中最小项为第7项,故D选项正确.
答案:ABCD
14.多空题设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,S7=28,则an=n,的最大值是.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则
解得
所以an=a1+(n-1)d=n,
Sn==,
所以=.
令t=n+1,则t≥2,且t∈N*,
所以==.
因为函数y=t++7在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,所以当t=3或t=4时,取得最大值为.(共45张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
na1+ ( ) d
【知识梳理 】
二、等差数列前n项和的最值
最小
最大
最大
最小
【基础测试】
54
1
【跟踪训练】
【跟踪训练】
2
17或18
【跟踪训练】
510
【课堂评价】
7
10
课堂建构
素养发展
课程学习情境——函数在等差数列中的应用
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
首尾配对法
等差数列前n项和
公式的推导
分类讨论法方法
知识
倒序相加法
等差数列前n项和
公式的简单应用逻辑推理
数学运算
素养或思想