A级 基础巩固
1.在各项都为正数的等比数列{an}中,若首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5= ( )
A.84 B.52 C.26 D.13
解析:在各项都为正数的等比数列{an}中,设公比为q(q>0),由首项a1=3,前三项和为21,得3+3q+3q2=21,所以q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×22=84.
答案:A
2.已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ( )
A.10 B.20 C.100 D.200
解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+==100.
答案:C
3.在正项等比数列{an}中, a510a511=,则lg a1+lg a2+…+lg a1 020= ( )
A.1 019 B.1 020
C.-1 019 D.-1 020
解析:由正项等比数列{an}的性质可知a1a1 020=a2a1 019=…=a510a511=,
则lg a1+lg a2+…+lg a1 020=lg(a1a2·…·a1 020)=lg=-1 020.
答案:D
4.若等比数列{an}中的a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,则a2a6a10=8.
解析:在等比数列{an}中,a4a8=a2a10=.因为a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,所以a4a8=4,a4+a8=10,所以a4>0,a8>0,所以a6=a4q2>0.因为=4,所以a6=2,所以a2a6a10==8.
5.若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1+a2 019=π,b1b2 019=2,函数f(x)=sin x,则f=.
解析:因为{an}是等差数列,所以a1 009+a1 011=a1+a2 019=π.因为{bn}是等比数列,所以b1 009b1 011=b1b2 019=2,所以==,所以f=f=sin=.
6.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
解:(1)由题意,可知-4an≥0,且α+β=,αβ=.又因为6α-2αβ+6β=3,即6(α+β)-2αβ=3,所以-=3,即an+1=an+.
(2)因为an+1=an+,
所以an+1-=.
又因为a1-=,故是首项为,公比为的等比数列,所以an-=,所以数列{an}的通项公式为an=+.
B级 拓展提高
7.已知数列{an}为等比数列,若a4+a7=2,+=20,则a1a10的值为 ( )
A.16 B.8 C.-8 D.-16
解析:因为a4+a7=2,+=20,
所以20=-2a4a7,解得a4a7=-8,
所以a1a10=a4a7=-8.
答案:C
8.已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来的以下,则至少需要重叠玻璃板的块数为(参考数据:lg 2≈0.301 0) ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:设经过n块玻璃板后,光线的强度为an,
则数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
则an=.
由题意可得<,
两边同时取对数,得nlg<-lg 4,
所以n>=≈6.2,
则n的最小值为7.
故选D.
答案:D
9.在等比数列{an}中,an>0,若a1+a2+…+a8=9,a1a2·…·a8=81,则++…+的值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.27
解析:++…+=+++. ①
又因为a8a1=a7a2=a6a3=a5a4,所以①式可变形为=.
因为a1a2·…·a8=81,得=81,所以a4a5=3(负值舍去).
所以==3,即++…+=3.
答案:A
10.在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.
解析:因为数列{an}是正项等比数列,所以a3a4a5==3π.
因为a1a2·…·a7===,
所以log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2·…·a7)=log3=,
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin=sin=.
11.已知在数列{an}中,Sn=4an-1+1(n≥2),且a1=1.
(1)若bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若cn=,求证:数列{cn}是等差数列.
证明:(1)当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn=4an+1-(4an-1+1)=4(an-an-1),所以an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1.
因为S2=4a1+1=5,且a1=1,所以a2=4,b1=a2-2a1=2.
所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知bn=2n,所以an+1=2n+2an.
所以cn===+=+cn-1.
即cn-cn-1=.
又因为c1==,
所以{cn}是以为首项,为公差的等差数列.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,是否存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列 若存在,求出所有符合条件的m,k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d.
由已知,得
即解得
所以an=a1+(n-1)d=n(n∈N*).
(2)假设存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列,则=b1bk.
因为bn==,
所以b1=,bm=,bk=,
所以=·.
整理得k=.
因为k∈N*,所以-m2+2m+1>0.
解得1-
因为m≥2,且m∈N*,所以m=2,此时k=8.
故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列.
C级 挑战创新
13.多空题 设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)=-;若b5b6+b4b7=4,则b1b2·…·b10=32.
解析:因为数列{an}为等差数列,a1+a5+a9=π,所以3a5=π,得a5=,所以cos(a2+a8)=cos(2a5)=cos=-.因为数列{bn}为等比数列,且b5b6+b4b7=4,所以2b5b6=4,得b5b6=2,所以b1b2·…·b10==25=32.
14.多空题若数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1(n∈N*),则数列{an}是递增数列(填“递增”或“递减”),其通项公式an=2n-1+1.
解析:根据题意,知数列{an}满足an+1=2an-1,即an+1-1=2(an-1).又由a1=2,得a1-1=1.所以数列{an-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,则an-1=1×2n-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以数列{an}是递增数列.(共35张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
同一个常数
等比中项
【知识梳理 】
二、等比数列的通项公式
a1qn-1
qn-m
q=
【跟踪训练】
探索点二 等比中项及其应用
【跟踪训练】
【解题模型示范】
【跟踪训练】
【课堂评价】
6
-2
课堂建构
素养发展
课程学习情境——函数在等比数列中的应用
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
-32
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
读已知数列首项及递推公式,证明等比数列及求通项公式
(1)根据等比数列的定义证明
想
(2)利用第(1)题的结论求解.
(1)因为an+1
an+(n∈N*),所以
n+1
23
32
C
C
C
算
23,所以数列飞)是以为首
3又因为a,11
2
项,为公比的等比数列
(2)由(1)可知数列{an-2
是以一为首项,。为公
比的等比数列,所以an11
n-1
23
,因此
i a==+
(1)规律方法:判定一个数列是否为等比数列的常用方法
a
①定义法:若数列{an}满足
n
q(q是不为零的常
思_数)或
a
=q(n为不小于2的正整数,且q是不为零
n
的常数),则数列{an}为等比数列
②通项公式法:若数列{an}的通项公式为an
a1qn=1(a1≠0,q≠0),则数列{an}为等比数列
③等比中项法:若数列{(an}满足a2+1=anan+2(n∈
N,且an≠0),则数列{an}为等比数列
(2)易错提醒:当判断一个数列是否为等比数列时,易
忽略判断首项是否为零.
等比数列的定义定义法判定等比数列
等比数列的通项公式通项公式法判定等比数列方法
知识
等比中项
等比中项法判定等比数列
等比数列与指数函数的关系函数与方程思想逻辑推理数学运算
素养或思想(共33张PPT)
第四章 数列
【知识梳理 】
aman=akal
aman
an-1
an-2
等比
二、由等比数列衍生的新数列
【知识梳理 】
数列 性质
{a2n},{a2n-1} 公比为 的等比数列
{ak+(n-1)m} (k,m∈N*) 公比为 的等比数列
{can}(c为常 数,且c≠0) 公比为 的等比数列
公比为 的等比数列
{|an|} 公比为 的等比数列
{anbn} 公比为 的等比数列
公比为 的等比数列
{}(an>0) 公比为 的等比数列
q2
qm
q
qq'
【基础测试】
9
探索点一 等比数列性质的应用
【跟踪训练】
8192
探索点二 等比数列的综合问题
【跟踪训练】
【跟踪训练】
【课堂评价】
课堂建构
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
应用
知识等比数列的性质利用“性质”求解问题方法
数学建模数学运算
素养或思想A级 基础巩固
1.已知在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为 ( )
A.16 B.27 C.36 D.81
解析:由a1+a2=1,a3+a4=q2(a1+a2)=9,可得q2=9.所以q=3(q=-3舍去),所以a4+a5=(a3+a4)q=27.
答案:B
2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项为 ( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
解析:由(3x+3)2=x(6x+6),得x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3.
当x=-1时,前三项为-1,0,0,不能构成等比数列,舍去.
当x=-3时,前三项为-3,-6,-12,符合题意.
故公比为2,所以第四项为-24.
答案:A
3.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:在等比数列{an}中,因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=q10=q10.
因为am=a1qm-1=qm-1,所以m-1=10,所以m=11.
答案:C
4.朱载堉(1536年—1611年)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文学家,他的著作《律学新说》确立了最早的十二平均律,亦称十二等程律.十二平均律是世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=.
解析:设第一个音的频率为a,相邻两个音之间的频率之比为q,那么an=aqn-1.根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,即a13=2a=aq12,可得q=,所以==q4=.
5.若数列-1,a1,a2,-4成等差数列,数列-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则的值是.
解析:因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,所以a2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1.
因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
设公比为q,则b2=-q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以==.
6.已知等比数列{an}的各项均为正数,a2=8,a3+a4=48.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log4an,证明数列{bn}为等差数列,并求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意,知q>0.由a2=8,a3+a4=48,得8q+8q2=48,解得q=2(q=-3舍去).故an=8×2n-2=2n+1 .
(2)由(1)得bn=log4an=log42n+1=.故bn-bn-1=,所以{bn}是首项为1,公差为的等差数列,
所以Sn=n×1+×=.
B级 拓展提高
7.若a,b,c成等比数列,m是a,b的等差中项,n是b,c的等差中项,则+= ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由题意,知b2=ac,m=,n=,
所以+=+===2.
答案:C
8.若{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:设等比数列{an}的公比为q,则由a10,解得或此时数列{an}不一定是递增数列.若数列{an}为递增数列,可得a1答案:B
9.定义在N*上的函数f(x),对任意的正整数n1,n2,都有f(n1+n2)=1+f(n1)+f(n2),且f(1)=1,若对任意的正整数n,有an=f(2n)+1,则an=2n+1.
解析:令n1=n2=1,得f(2)=1+f(1)+f(1),则f(2)=3,a1=f(2)+1=4.
令n1=n2=2,得f(4)=1+f(2)+f(2),则f(4)=7,a2=f(4)+1=8,
令n1=n2=2n,得f(2n+2n)=1+f(2n)+f(2n),即f(2n+1)=1+2f(2n),
则f(2n+1)+1=2[1+f(2n)],即 an+1=2an,
所以数列{an}是等比数列,首项a1=4,公比q=2.
所以an=4×2n-1=2n+1.
10.已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项,求数列{an}的通项公式.
解:设等比数列{an}的公比为q.
依题意,得2(a3+2)=a2+a4. ①
a2+a3+a4=28, ②
将①代入②,得a3=8,所以a2+a4=20,
所以解得或
又因为{an}为递增数列,
所以a1=2,q=2,所以an=2n.
11.已知数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,并写出an+1与an的关系;
(2)证明数列{an-2}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
解:(1)由已知可得,
当n=1时,S1=2-a1=a1,得a1=1.
当n=2时,S2=4-a2=a1+a2,得a2=.
当n=3时,S3=6-a3=a1+a2+a3,得a3=.
由Sn=2n-an(n∈N*), ①
得Sn+1=2(n+1)-an+1, ②
②-①,得an+1=2-an+1+an,
即2an+1=an+2.
(2)由(1)得2(an+1-2)=an-2,且a1-2=-1,
所以=,
所以数列{an-2}是等比数列,首项为-1,公比为,所以an-2=-1×=-,
所以an=-+2.
C级 挑战创新
12.多选题如果数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是 ( )
A.{kan} B.
C.{an+bn} D.{anbn}
解析:设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则an=a1,bn=b1.
当k=0时,{kan}显然不是等比数列,故A项不符合题意;
因为==,
所以数列是一个以为首项,为公比的等比数列,故B项符合题意;
当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C项不符合题意;
因为anbn=a1b1,
所以数列{anbn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D项符合题意.
答案:BD
13.多空题若数列{an}满足n∈N*,则a4=-13,an=3-2n.
解析:由n∈N*,
得a2=2a1-3=-1,a3=2a2-3=-5,a4=2a3-3=-13.
由an+1=2an-3,得an+1-3=2(an-3),
所以数列{an-3}是以-2为首项,2为公比的等比数列,
所以an-3=-2×2n-1,所以an=3-2n.