A级 基础巩固
1.已知数列{an}满足2an=an-1+(n≥2,且n∈N*),若a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:因为2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),所以数列{an}是等差数列.
由等差数列性质,得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3+a4=3+4=7.
答案:B
2.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中是真命题的为 ( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C.p2,p3 D.p1,p4
解析:设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,因为d>0,所以p1是真命题;因为an+3nd=4dn+a1-d,4d>0,所以{an+3nd}是递增数列,p4是真命题.
答案:D
3.将给定的9个数排成如图所示的数表,若每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,每列的 3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,且a22=2,则表中所有数之和为 ( )
A.2 B.18 C.20 D.512
解析:因为每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,所以a11+a12+a13=3a12,a21+a22+a23=3a22,a31+a32+a33=3a32.因为每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,所以a12+a22+a32=3a22,所以表中所有数之和为9a22=9×2=18.
答案:B
4.已知数列{an}为等差数列,若a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为-.
解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=,所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.
5.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2.
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2.
6.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=21,a1a2a3=231.
(1)求该数列中a2的值;
(2)求该数列的通项公式an.
解:(1)由等差数列的性质,得a1+a2+a3=3a2=21,
所以a2=7.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=7(7-d)(7+d)=7(49-d2)=231,解得d=±4.当d=4时,an=a2+(n-2)d=4n-1,当d=-4时,an=a2+(n-2)d=-4n+15.
B级 拓展提高
7.我国古代有一道数学问题:今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重几何 意思是:现有一根金锤,长5尺,头部1尺,质量为4斤,尾部1尺,质量为2斤,且从头到尾,每一尺的质量构成等差数列(注:尺、斤为我国古代计量单位,1米=3尺,1千克=2斤),则中间三尺的质量一共为( )
A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤
解析:原问题等价于等差数列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.
由等差数列的性质,可知a2+a4=a1+a5=6,a3==3,所以a2+a3+a4=9,即中间三尺的质量一共为9斤.
答案:D
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5(p,q∈N*),则ap-aq=( )
A.5 B.20 C.-20 D.-5
解析:因为数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n(n∈N*),
所以S1=a1=2+3=5.
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2+3(n-1)=2n2-n-1.
由an=Sn-Sn-1,代入可得an=(2n2+3n)-(2n2-n-1)=4n+1.
当n=1时,也满足an=4n+1,
所以an=4n+1(n∈N*),
所以ap=4p+1,aq=4q+1.
又因为p-q=5(p,q∈N*),
所以ap-aq=(4p+1)-(4q+1)=4(p-q)=20.
答案:B
9.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=18.
解析:因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.因为a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,所以 a9=7,所以d=,所以ak-a9=(k-9)d=(k-9)=6,解得k=18.
10.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
所以解得或
所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
11.设Tn为数列{an}的前n项的积,即Tn=a1·a2·…·an.
(1)若Tn=n2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足Tn=(1-an)(n∈N*),证明数列为等差数列,并求{an}的通项公式.
解:(1)当n=1时,a1=T1=1.
当n≥2时,an==,n=1不符合此式.
所以an=
(2)当n=1时,a1=T1=(1-a1),所以a1=,
当n≥2时,2Tn=1-an=1-,
所以-=2,所以数列为等差数列,
所以=3+2(n-1)=2n+1,所以Tn=,
所以an=1-2Tn=.
C级 挑战创新
12.多空题若关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0(m>n)的四个根组成一个首项为的等差数列,则m=,n=.
解析:由题意,设原方程的四个根分别为,+d,+2d,+3d,则+++=2+2,解得d=,
所以这四个根依次为,,,.又因为m>n,所以n=×=,m=×=.
13.多空题已知f(x)=x2-4x+2,若数列{an}是递减的等差数列,a1=f(a+1),a2=0,a3=f(a-1),则数列{an}的公差为-2,数列{an}的通项公式为an=4-2n.
解析:因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,所以f(a-1)+f(a+1)=0,即(a-1)2-4(a-1)+2+(a+1)2-4(a+1)+2=0,解得a=1或a=3.又因为数列{an}是递减的等差数列,所以当a=1时,a1=f(2)=-2,公差为a2-a1=2,不符合题意,舍去.
当a=3时,a1=2,公差为a2-a1=-2,所以数列{an}的通项公式为an=2-2(n-1)=4-2n.
14.多空题若数列{an},{bn}满足a1=1,且an+1,1+an是函数f(x)=x2-bnx+an的两个零点,则a2=.当bn>时,n的最大值为5.
解析:由已知可得
所以a2==,-=1,
所以是等差数列,
所以=+(n-2)×1=n,所以an=.
因为bn=an+1+an+1=++1>,
所以n2-5n-3<0,
解得0
第四章 数列
【思考】
【知识梳理 】
a1-d
am+an=ap+aq
am+an=2ak
an-1
an-2
d
二、由等差数列衍生的新数列
【知识梳理 】
数列 名称
{a2n},{a2n-1} 公差为 的等差数列
{ak+(n-1)m} 公差为 的等差数列(k,m∈N*)
{c+an} 公差为 的等差数列(c为任意常数)
{can} 公差为 的等差数列(c为任意常数)
{an+an+k} 公差为 的等差数列(k∈N*)
{pan+qbn} 公差为 '的等差数列(p,q为常数)
2d
md
d
cd
2d
pd+qd
【思考】
【基础测试】
-3
7
6
10
【跟踪训练】
4
156
8
探索点二 等差数列的设法与求解
【解题模型示范】
【跟踪训练】
探索点三 等差数列的实际应用
【跟踪训练】
【课堂评价】
15
-82
课堂建构
素养发展
课程学习情境——等差数列的综合应用
【问题情境】
答案:
2n-1
【能力发展】
【迁移应用】
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
读已知三个数组成等差数列及两个等量关系
想要这二个数,需默利用方程思想,先表示出各个数,
设这三个数分别为x-d,x,x+d.根据题意得到方程
(x-d)(x+d)=5x
x=0
组
解得
或
x+x+d=8(x-d),
算
d=0,d=6,
故这三个数分别为0,0,0或3,9,15
(1)利用等差数列的定义巧设未知数的常见类型及解法
①当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间
项为a,并根据公差为d向两边分别设项:…,a-2d
a-d,a,a+d,a+2d,…;
②当等差数列{an的项数为偶数项时,可设中间两
项为a-d,a+d,并根据公差为2a向两边分别设
项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
(2)易错提示:利用等差数列的定义巧设未知量易忽略
公差的取值范围而出错
等差数列的等距性
知识
利用“性质”求解有关数列问题
等差数列的对称性
方法
等差数列的图象利用“通项公式”求解实际问题
函数与方程思想数学运算逻辑推理
素养或思想(共37张PPT)
第四章 数列
【思考】
【知识梳理 】
同一个
2
公差
d
等差中项
【思考】
【知识梳理 】
二、等差数列的通项公式
a1+(n-1)d
(n-m)
【思考】
【基础测试】
12
19
24
【跟踪训练】
探索点二 等差中项及其应用
2
8
【跟踪训练】
等边三角形
【跟踪训练】
【课堂评价】
50
课堂建构
素养发展
探索创新情境——古代数学中的等差数列
【问题情境】
【能力发展】
【迁移应用】
节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水
(霜降)
晷影 长/寸 135 125. 115.1 105.2 95.3
节气 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏
(立秋)
晷影 长/寸 85.4 75.5 65.5 55.6 45.7
节气 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 —— ——
晷影 长/寸 35.8 25.9 16.0 —— ——
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
预习导学思维动
重点探究认知发展
等差数列的定义
等差数列的判定方法
知识等差中项
方法
等差数列的通项公式通项公式的推导方法
数学抽象
数学运算
素养或思想
小寒
大寒
立春
雨水
节气冬至
大雪
小雪
立冬
霜降
晷影
4
长
惊螯
春分
立夏
(寒露)(秋分)
处暑
秋)
晷影
长/寸
节
夏
(大暑)(小暑)
晷影
g
长/寸A级 基础巩固
1.若数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0,则数列{an}的通项公式为an= ( )
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
解析:因为-an=-1,所以数列{an}是等差数列,公差为-1,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×(-1)=3-n.
答案:D
2.若一个等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则= ( )
A. B.
C. D.
解析:因为a,x,b,2x成等差数列,所以x为a与b的等差中项,b为x与2x的等差中项,
所以所以所以=.
答案:C
3.已知数列{an}是等差数列,若a7-2a4=6,a3=2,则公差d= ( )
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:因为在等差数列{an}中,a7-2a4=6,a3=2,所以解得
答案:B
4.在等差数列{an}中,若a3=7,a5=a2+6,则a6=13.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则a5-a2=3d=6.因为a3=7,所以a6=a3+3d=7+6=13.
5.若首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是.
解析:设an=-24+(n-1)d,
由题意,可得解得6.多空题若数列{an}满足a1=3,an+1=an+3(n∈N*),则a3=9, 通项公式an=3n.
解析:因为数列{an}满足a1=3,an+1=an+3(n∈N*),
所以数列{an}是首项a1=3,公差d=an+1-an=3的等差数列,所以a3=a1+2d=3+6=9,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n.
7.已知在等差数列{an}中,公差为d.
(1)a1=8,a9=-2,求d与a14.
(2)a3+a5=18,a4+a8=24,求d.
解:(1)因为a1=8,a9=a1+8d=-2,
所以d=-,
所以a14=a1+13d=8+13×=-.
(2)因为(a4+a8)-(a3+a5)=4d=6,所以d=.
B级 拓展提高
8.在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项公式为 ( )
A.an= B.an=
C.an= D.an=
解析:因为=+(n∈N*),
所以数列是等差数列.
又因为-=2-1=1,
所以=1+(n-1)=n,所以 an=.
答案:A
9.设数列{an},{}(n∈N*)都是等差数列,若a1=2,则+++= ( )
A.60 B.62 C.63 D.66
解析:由题意可知,数列{an},{}都是等差数列,且2=+,a1=2.设数列{an}的公差为d,则2×(2+d)2=22+(2+2d)2,
解得d=0,所以an=2,
所以+++=4+8+16+32=60.
答案:A
10.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,若由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列,则这个新数列的项数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
解析:因为等差数列2,6,10,…,190的公差为4,
等差数列2,8,14,…,200的公差为6,
所以由这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成的新数列的公差为12,首项为2,
所以通项公式为an=12n-10.
由题意,可得12n-10≤190,解得n≤.
因为n∈N*,所以n的最大值为16,
即新数列的项数为16.
答案:B
11.下表记录了一次实验中某种昆虫爬行的时间和距离:
时间t/s 1 2 3 … … 60
距离s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …
(1)你能建立一个等差数列的模型,表示这种昆虫的爬行距离s和时间t之间的关系吗
(2)利用建立的模型计算这种昆虫1 min能爬多远 爬行49 cm需要多长时间
解:(1)由题目表中数据可知,该数列(爬行距离)从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.8,所以这是一个等差数列模型.因为a1=9.8,d=9.8,所以这种昆虫的爬行距离s与时间t的关系是s=9.8t.
(2)当t=1 min=60 s时,s=9.8 t=9.8×60=588(cm).当s=49 cm时,t===5(s).
12.已知数列{an}满足=an+1(n∈N*),且a1=1.
(1)证明数列为等差数列;
证明:因为a1=1,an+1=,所以an≠0,所以=,所以-=-=+-=,即-=为常数.
又因为=1,
所以数列是以1为首项,为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式;
解:由(1)可得=1+(n-1)×=,
所以an=.
(3)若记bn为满足不等式解:由2n-1≤k<2n+1-1.
又因为k∈N*,所以bn=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,
所以Tn=1--=1--.
当n为奇数时,Tn=1+-,Tn递减,0当n为偶数时,Tn=1--,Tn递增,-=T2≤Tn<0.
综上,数列{Tn}的最大项为T1=,最小项为T2=-.
C级 挑战创新
13.多选题若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0),则下列数列中为等差数列的是 ( )
A.{λan}(λ为常数) B.{an+bn}
C.{-} D.{anbn}
解析:因为数列{an}和{bn}是公差均为d(d≠0)的等差数列,所以可得an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)d,所以an-bn=a1-b1.
对于A选项,λan+1-λan=λ(an+1-an)=λd,所以数列{λan}(λ为常数)是等差数列;
对于B选项,(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=2d,所以数列{an+bn}是等差数列;
对于C选项,(-)-(-)=(-)-(-)=(an+1-an)(an+1+an)-
(bn+1-bn)·(bn+1+bn)=d(an+1-bn+1+an-bn)=2d(a1-b1),
所以数列{-}是等差数列;
对于D选项,an+1bn+1-anbn=(an+d)(bn+d)-anbn=d2+d(an+bn),不是常数,所以数列{anbn}不是等差数列.
答案:ABC
14.多空题如果数列{an}满足a1=2,an+1=,那么a2=,an=.
解析:令n=1,则a2==.
因为an+1=,所以==+2,所以-=2,所以数列为等差数列,所以=+(n-1)d=+2(n-1)=,
所以an=.