【人教九上数学最新教学课件】24.3 正多边形和圆（共26张PPT）

(共26张PPT)
24.3 正多边形和圆
随堂演练
获取新知
例题讲解
第二十四章 圆
课堂小结
情景导入
情景导入
生活中的正多边形图案
获取新知
知识点一：圆的内接正多边形
1. 你还记得什么样的图形是正多边形吗？
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形（同时满足）
2.正多边形有哪些性质？
正多边形的各边相等
正多边形的各角相等
思考
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的一些弧,顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.（作法）
下面以圆内接正五边形为例进行证明作法的正确性
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，
依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA,
∴AB=BC=CD=DE=EA, BCE=3AB=CDA.
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
⊙O是正五边形 ABCDE的外接圆.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
弧相等
弦相等 多边形的边相等
圆周角相等 多边形的角相等
多边形是正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
例题讲解
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所 以它的中心角等于 =60°，△OBC是等边三角形，
从而正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= =2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r=
亭子地基的面积S=
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
获取新知
知识点二：正多边形的作图
已知⊙O的半径为R，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为R的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60
相等
R
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与⊙O
交于点E，A和D，B；
(3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便
得到正六边形ABCDEF即为所求.
. O
F
C
A
B
D
E
你能说明这么作图的依据吗？连续的在圆上截取半径为R的弦有什么问题吗？
用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.
这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
用尺规等分圆：
用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．
例题讲解
例2 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD内接于⊙O.
你能简单说明下如何用尺规做出两条垂直的直径吗？
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
随堂演练
1.下列说法中，不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
2.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(　　)
A．12 mm B．12 mm
C．6 mm D．6 mm
A
3. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
C
4、(1)若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．　
60
1
120°
中心
(2)正多边形一定是______对称图形,一个正n边形共有______条对称轴,每条对称轴都通过_______;如果一个正n边形是中心对称图形,n一定是_______数.
轴
n
偶
5.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它们的周长之比为_______,面积之比为_______.
2﹕3
4﹕9
6. 如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC = 4, OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC= ×4=2,
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
7.用尺规作图(不要求写作法和证明,但要保留作图痕迹).
(1)如图,已知正五边形ABCDE,求作它的中心O.
(2)如图,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.
解:(1)如图①,点O即为所求.
(2)如图②,八边形ABCDEFGH即为所求.
课堂小结
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正n边形各顶点等分其外接圆.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php