期中综合复习模拟测试题 2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学第一学期期中综合复习模拟测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90° C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC
2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（　　）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
3．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（　　）
A．5＜AC＜15 B．3＜AC＜15 C．3＜AC＜17 D．5＜AC＜17
4．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下列说法中，正确的有（　　）个．
①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴；
④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
7．如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（　　）
A．34° B．36° C．44° D．46°
8．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（　　）
A．12cm B．cm C．cm D．cm
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝20，则S2＝（　　）
A．14 B． C．26 D．
10．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．25°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，S△ABC＝8cm2，则△ACF的面积是为 　 　cm2．
12．在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA＝75°，则∠DAE的度数为 　 　．
13．如图，在△ABC中，过点A作∠BAC的角平分线交BC于P，CM⊥AP于N．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BPM＝　 　．
14．如图△ABC中，AB、BC的中垂线交于点P，若∠DPE＝70°，则∠PAC度数为 　 　．
15．如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝120°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN周长最小时，∠MAN＝　 　．
16．如图，点D、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，△AGE的周长为16，BC＝10，则EG＝　 　．
17．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是 　 　cm．
18．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为 　 　．
19．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 　 　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在Rt△EBD中，∠EBD＝90°，AB＝EB，∠BCA＝∠BDE
（1）求证：CA＝DE；
（2）连接EC，连接AD，交BC于F，若F恰好是AD的中点，求证：BF＝EC．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
24．已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）如图1，过点A作AE∥CD交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为D′，求证：∠BDC＝2∠ABD′．
25．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）①当点P在CB上时，CP的长为　 　．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　 　．
（3）在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；
D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：如图，延长BE、CD并交于点F，连接AF．
由题可知：∠EAD＝∠EFD．
∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠ADC+∠AFD，
∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠ADC+∠AFD．
∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．
∴∠1+∠2＝2∠EAD．
故选：B．
3．解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17．
故选：C．
4．解：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACP＝∠NCP，
在△ACP和△MCP中，
，
∴△ACP≌△MCP（ASA），
∴AP＝MP，①结论正确；
∵△ACP≌△MCP，
∴CM＝AC＝5，
同理可得：BN＝AB＝6，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；
∵∠BAC＝110°，
∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，③结论错误；
④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，
∵AB＝6≠AC＝5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④结论错误；
故选：C．
5．解：①等腰三角形的底角一定是锐角，说法正确；
②等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，故原说法错误；
③等边三角形是轴对称图形，三条高所在直线是其对称轴，故原说法错误；
④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，说法正确．
∴正确的有①④，共2个．
故选：B．
6．解：连接AM，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
7．解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
8．解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC于D，
∴BD＝DC，
∵BC＝10，
∴BD＝DC＝5，
在Rt△ABD中，AD＝＝12，
由于BC AD＝AC BE
∴BE＝，
故选：C．
9．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝20﹣6＝14，
则S2＝AC2＝14，
故选：A．
10．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵D点为BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABC＝×8＝4（cm2），
∵E点为AD的中点，
∴S△AEC＝S△ADC＝×4＝2（cm2），
∵F点为EC的中点，
∴S△ACF＝S△AEC＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
12．解：当∠C为锐角时，如图，
∵∠B＝35°，∠DCA＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°；
当∠C为钝角时，如图，
∵∠DCA＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣75°＝105°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣105°﹣35°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝20°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣20°＝35°．
故答案为20°或35°．
13．解：∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠MAP＝∠CAP＝∠CAB＝30°＝15°，
∵CM⊥AP，
∴∠ANC＝∠ANM＝90°，
∴∠ACN＝∠AMN＝90°﹣15°＝75°，
∵∠B＝55°，
∴∠MCB＝∠AMN﹣∠B＝75°﹣55°＝20°，
在△ACN和△AMN中，
，
∴△ACN≌△AMN（ASA），
∴CN＝MN，
∴PC＝PM，
∴∠PMC＝∠PCM＝20°，
∴∠BPM＝∠PMC+∠PCM＝40°．
故答案为：40°．
14．解：连接PB、PC，
∵AB、BC的中垂线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
∵PA＝PB，PD⊥AB，
∴∠APD＝∠BPD，
同理可得：∠BPE＝∠CPE，
∴∠APC＝2∠DPE＝140°，
∴∠PAC＝∠PCA＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20°．
15．解：作A点关于CD的对称点E，作A点关于BC的对称点F，连接EF，交CD于点N，BC于点M，
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴EN＝AN，AM＝MF，
∴AN+AM+MN＝EN+MN+MF≥EF，
∴当E、N、M、F共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAD＝120°，
∴∠E+∠F＝60°，
∵∠E＝∠NAE，∠F＝∠MAF，
∴∠MAN＝60°，
故答案为：60°．
16．解：∵△AGE的周长为16，
∴AG+AE+GE＝16，
∵点D、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴GC+EB+GE＝16，即BC+2GE＝16，
∵BC＝10，
∴2GE＝6，
∴GE＝3，
故答案为：3．
17．解：由题意可得，展开图中AB＝24cm，BC＝18cm，
则在Rt△ABC中，AC＝＝＝30（cm）．
∴这段葛藤的长是30cm．
故答案为30．
18．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝4，
∴EF＝8，
由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64．
19．解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：
在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，
即h2+32＝（h+1）2，
解得：h＝4（m），
∴h+1＝5（m），
∴荷叶的高度为5m，
故答案为：5m．
20．解：如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，ED⊥AC，
∴EF＝DE，∠ADE＝∠AFE＝90°，
在Rt△AEF和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），
∴AF＝AD＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设EF＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EF＝3，
∴S△ABE＝＝15．
故答案为：15．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∴∠CAE＝40°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°；
②证明：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E＝70°，
∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，
在△ACP和△ACE中，
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP＝CE．
22．（1）证明：在△ACB和△EDB中，
，
∴△ACB≌△EDB（AAS），
∴CA＝DE；
（2）证明：如图，过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠DGB＝∠ABC＝90°，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFG中，
，
∴△AFB≌△DFG（AAS），
∴BF＝GF，
∴BF＝BG，
∵△ACB≌△EDB，
∴AB＝DG，
∵AB＝EB，
∴EB＝DG，
∵△ACB≌△EDB，
∴CB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠DBG，
∵∠GDB＝90°﹣∠DBG，
∴∠EBC＝∠GDB，
在△EBC和△GDB中，
，
∴△EBC≌△GDB（SAS），
∴EC＝GB，
∴BF＝EC．
23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC DH＝8×4＝16．
24．（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）证明：由（1）知，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE，
∴∠CDO＝2∠ABE，
即∠BDC＝2∠ABD，
∵∠ABD＝∠ABD′，
∴∠BDC＝2∠ABD′．
25．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
26．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵AB h＝AC BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：
∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t＝．
故答案为：．
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB CH＝AC BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝0.5×BC＝，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝2.5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，
∴2t＝9.5，
∴t＝4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．