3.5探索与表达规律 同步练习2021-2022学年北师大版数学七年级上册（word版含答案）

探索与表达规律
一、单选题
1．用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2020个图形的需要围棋子（ ）枚．
A．6054 B．6056 C．6060 D．6062
2．，，，，，，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，拉面馆的师傅把一根很粗的面条的两头捏合在一起，拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，若要拉出64根细面条，则需要这样捏合的次数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第8个图形中，黑点的个数有（ ）
A．53 B．66 C．76 D．83
6．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2013的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．观察下列算式：，，，，，，，，…，则的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
8．观察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
……
猜想13+23+33+…+103＝（　　）
A．502 B．552 C．562 D．602
9．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数1005应标在（　　）
A．第252个正方形的左上角 B．第252个正方形的右下角
C．第251个正方形的左上角 D．第251个正方形的右下角
10．观察下列等式的特点：① 1＋2＝3；② 4＋5＋6＝7＋8；③ 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④ 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24，……，则第⑦个等式中的第三个数字是（ ）
A．63 B．51 C．47 D．46
11．如图所示，第一个图形共6个小圆圈，第二个图形共12个小圆圈，第三个图形共20个小圆圈，则按此规律，第8个图形共（　 　）个小圆圈．
A．56 B．72 C．64 D．90
12．观察并找出图形变化的规律， 则第 2020 个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．2020 B．3030 C．2021 D．3031
13．已知数列满足条件：，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
14．根据下表中提供的四个数的变化规律，则的值为（ ）
1 4 2 6 3 8 4 10 20
2 9 3 20 4 35 5 54 … m x
第1个 第2个 第3个 第4个 第个
A．252 B．209 C．170 D．135
二、填空题
15．如图，按图中结构规律的第n个图形中三角形的个数是 ___．
16．观察下列关于x的单项式，探究其规律x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2016个单项式是_______．
17．三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4（n为整数），则最大的一个偶数为______．
18．观察给出的一列数：，，，，，，…，根据这列数的排列规律，这列数的第个数是______．
19．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
三、解答题
20．仔细观察下列三组数：
第一组：1， 4，9， 16，25，…；
第二组：0， 5，8， 17，24，…；
第三组：0，10， 16，34， 48，…；
解答下列问题：
（1）每一组的第6个数分别是 ， ， ；
（2）分别写出第二组和第三组的数与第一组对应数的关系；
（3）取每组数的第10个数，计算它们的和．
21．观察下列算式：
，，，，，
（1）请按上述规律填写：写出第6个式子：_________________；
（2）写出第个式子，_________________．
（3）计算：
22．把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
… … … … … …
（1）30在第______行第______列；
（2）第n行第2列的数是_________；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个大于5的数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的对吗？如果对请说明理由；若不对请举出反例．
23．将连续的奇数1，3，5，7，9， 排成如图所示的数表．
（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
（2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
（4）十字形框中的五数之和能为2012吗？能为2015吗？
参考答案
1．D
解：∵第1个图形需要围棋子的枚数=5，
第2个图形需要围棋子的枚数=5+3，
第3个图形需要围棋子的枚数=5+3×2，
第4个图形需要围棋子的枚数=5+3×3，
…，
∴第n个图形需要围棋子的枚数=5+3（n-1）=3n+2，
∴第2020个图形需要围棋子的枚数=3×2020+2=6062，
故选：D．
2．C
解：第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，
，
即，
解得，，，，，，
由上可得到，题目中的数列以4，5，6依次循环出现，
，
第2019个数的值是6，
故选：C．
3．C
解：第一次捏合后可拉出1根面条，第二次捏合后可拉出2根面条，第三次捏合后可拉出3根面条……以此类推，第n次捏合后可拉出根面条，
∴令，
∴，
可得，
故选C．
4．B
解：∵1米长的小棒，第一次截去，
∴第一次还剩1－=（米）；
∴第二次截取×（米），
∴第二次还剩-×=（米）；
.....
∴第五次后剩下的小棒的长度是米，
故选B．
5．B
解：第①个图形中点的个数为3；
第②个图形中点的个数为3+3；
第③个图形中点的个数为3+3+5；
第④个图形中点的个数为3+3+5+7；
…
第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．
n＝8时，n2+2＝82+2＝66
故选：B．
6．C
解：∵-1-2013=-2014，
2014÷4=503…2，
∴数轴上表示数2013的点与圆周上表示数字2重合．
故选：C．
7．B
解：由已知得的末位数字为2，，，四个一循环，，
∵，
∴，
∴的末位数字是，
故选：B．
8．B
解：13＝12，
13+23＝32=(1+2)2，
13+23+33＝62=(1+2+3) ，
13+23+33+43＝102=(1+2+3+4) ，
……
所以13+23+33+…+103＝(1+2+3+…+10)2＝552，
故选：B．
9．B
解：观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，四个数循环一次，在正方形的四个角上的数字从小到大逆时针排列，最小数在正方形的右下角上，
∵1005=251×4+1，
∴1005应该在第252个正方形的右下角上，
故选B．
10．B
解：∵①1+2=3；
②4+5+6=7+8；
③9+10+11+12=13+14+15；
④16+17+18+19+20=21+22+23+24，…，
首项分别是1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…
∴第n项首项为：1+3+5+7+…（2n-1），
∴第⑦个等式中的第一个数字为：1+3+5+7+9+11+13=49，
∴第⑦个等式中的第三个数字是49+2=51，
故选：B．
11．D
解：第一个图形有：个，
第二个图形有：个，
第三个图形有：个，
第八个图形有：个，
故选：D
12．B
解：图形（1）中有2个黑正方形，图形（2）中有3个黑正方形，图形（3）中有5个黑正方形，图形（4）中有6个黑正方形，图形（5）中有8个黑正方形，图形（6）中有9个黑正方形，
奇数图形与偶数图形规律不同，
奇数位图形：2=1+1=1+，5=3+2=3+，8=5+3=5+，…，
偶数位图形：3=2+1=2+，6=4+2=4+，9=6+3=6+，…，
∵当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为n+个，
当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为n+个；
∴当n=2020时,黑色正方形的个数为2020+=2020+1010=3030(个)；
故选B.
13．D
解：，
，，，
，
以重复出现，
，
，
故选：D．
14．B
解：观察可知：
表格中左上的数为从1开始的连续自然数，
左下的数为从2开始的连续自然数，
右上的数为左下的数的2倍，
右下角的数等于右上角与左下角的两个数的积与左上角数的和，
∴n=20÷2-1=9，m=20÷2=10，
∴x=20m+n=209，
故选B．
15．个个
解：根据题意可知：第1个图形中三角形的个数是1个；
第2个图形中三角形的个数是（个；
第3个图形中三角形的个数是（个；
……
第个图形中三角形的个数是个．
故答案为：个．
16．4031x2016
解：根据分析的规律可知，第2016个单项式是：，
即4031；
故答案为：4031．
17．2n+8
解：三个连续偶数中，最小的偶数为，则其他偶数分别为：，．
故答案为：．
18．
解：由题意可得：第n各数为，
∴这列数的第个数是，
故答案为：．
19．
解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，
∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），
∴M=m（n+1），
∴M=11×(12+1)=143．
故答案为：143．
20．（1）-36，-37，74；（2）第二组的数是第一组对应数减1的差；第三组的数是第一组对应数减1的差的-2倍；（3）1．
解：（1）第一组：∵1=（-1）1+1×12，
-4=（-1）1+2×22，
9=（-1）1+3×32，
-16=（-1）1+4×42，
25=（-1）1+5×52，
…，
∴第n个数为：（-1）n+1n2；
第二组：0=1-1，-5=-4-1，8=9-1，…，
则第n个数为：（-1）n+1n2-1；
第三组：0=0×（-2），10=-5×（-2），-16=8×（-2），…，
则第n个数为：-2×[（-1）n+1n2-1]；
∴第一组的第6个数为：（-1）6+1×62=-36，
第二组的第6个数为：-36-1=-37，
第三组的第8个数为：-37×（-2）=74，
故答案为：-36，-37，74；
（2）由（1）得：第二组的第n个数为：（-1）n+1n2-1；
第三组的第n个数为：-2×[（-1）n+1n2-1]；
故第二组的数比第一组对应数减1的差；
第三组的数是第一组对应数减1的差的-2倍；
（3）第一组第10个数为：（-1）10+1×102=-100，
第二组第10个数为：-100-1=-101，
第三组第10个数为：-101×（-2）=202，
∴其和为：-100+（-101）+202=1．
21．（1）；（2）第个式子为：；（3）
解：（1）第1个式子为：
第2个式子为：
第3个式子为：
第4个式子为：
∴第6个式子为：，
故填：；
（2）由题意得，第个式子为：，
故填：；
（3）原式＝
＝
＝
＝．
22．（1）6，5；（2）5n﹣3；（3）嘉嘉说的不对，反例见解析
解：（1）根据表格中数据可知，第1行第5列数是15，
第2行第5列数是210，
第3行第5列数是315，
∴每行数最后一个数都是5的倍数，
∵，
∴30在第6行第5列，
故答案为：6，5；
（2）由（1）可知，第n行第5列数是5n，
∴第n行第2列的数是5n﹣3，
答案为：5n﹣3；
（3）嘉嘉说的不对：
反例：，根据计算6应为第1行第1列的数，但6为第2行第1列的数，
∴当x>5时，则为第（a+1）行第b列数．
23．（1）十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍；（2）十字框中的五个数之和为；（3）有；（4）十字形框中的五数之和不能为2012，十字形框中的五数之和能为2015．
解：（1），
则十字框中的五个数之和与中间数15的5倍；
（2）若中间的数为a，由（1）的结论可得：十字框中五个数之和为5a，
（3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可得则其余4个数为：b-10，b+10，b-2，b+2，
则，
所以若将十字框上下左右移动，框住的另外五个数还有上述规律；
（4）∵，
∴2012不是5的倍数，
所以十字框中的五数之和不能为2012，
∵，
∴2015是5的倍数，且403在第二列，
所以十字框中的五数之和能为2015．