黑龙江省八校2021-2022学年高二上学期期中联合考试数学试卷（PDF版，含答案）

2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试
高二数学试题
本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题(本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.)
1. 已知空间向量a (2,1, 1),b (x, 2,2)，且a∥b ，则 x ( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
2. m 4是直线mx (3m 4)y 3 0与直线2x my 3 0平行的 ( )
A. 充要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
3. 已知 F1, F2 是椭圆 1的两焦点,过点 F 的直线交椭圆于点A、B，若 | AB | 82 ，
25 16
则 AF1 BF1 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 16
x2 3y24. 方程 3 x 4 0表示的曲线是 ( )
A. 一个椭圆和一条直线 B. 一个椭圆和一条射线
C.一条直线 D. 一个椭圆
过点 1,3 作圆 x2 25. y 10的切线，则切线方程为 ( )
A. x 3y 10 0 B. x 1或3x y 10 0
C. 3x y 10 0 D. y 3或 x 3y 10 0
6. 如图所示的三棱锥 P ABC 中， D 是棱 PB 的中点，已知 PA 底面 ABC ，
PA BC 2，AB 4 , AB BC，则异面直线PC ，AD所成角的正弦值为 ( )
30 30
A. B.
6 10
6 70
C. D.
6 10
x2 y2
7. 已知F 是椭圆 1（a b 0）的左焦点，A 为右顶点， P 是椭圆上一点，
a2 b2
1
PF x 轴，若 PF AF ，则该椭圆的离心率是 ( )
4
1 3 1 3
A. B. C. D.
4 2 2 4
8. 设m R，过定点 A 的动直线 x my 1 0和过定点 B 的动直线mx y 2m 3 0
交于点P x, y ，则 PA PB 的最大值为 ( )
A. 2 5 B. 6 C. 3 D. 3 2
二、多项选择题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 5 分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.)
9. 下列说法正确的是 ( )
y y x x
A. 过 (x1, y
1 1
1) ， (x2 , y2)两点的直线方程为 y2 y1 x2 x1
B. 点 (1,3)关于直线 x y 1 0的对称点为 (2,2)
C. 直线2x y 4 0与两坐标轴围成的三角形的面积是4
D. 经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x y 2 0
10. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，点 E,O分别是 A1B1 ，A1C1的中点，P 在
1 3 2
正方体内部且满足 AP AB AD AA ，则下列说法正确的是 ( )1
2 4 3
10 2
A. BE 与平面 ABC1D1所成角的正弦值是 B. 点O到平面 ABC1D1的距离是
5 2
3 5
C. 平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 D. 点 P 到直线 AD的距离为
3 6
11. 以下四个命题表述正确的是 ( )
2 2 2
A. 圆 x y 2上有且仅有3个点到直线 l : x y 1 0的距离都等于
2
已知圆C : x2 y2B. 2，P 为直线 x y 2 3 0 上一动点，过点 P 向圆C 引一条切
线 PA，其中 A为切点，则 PA 的最小值为2
2
C. 曲线C1 : x y
2 +2x 0 C : x2与曲线 2 y
2 4x 8y m 0 ，恰有四条公切线，则
实数m 的取值范围为m 4
D. 圆 x2 y2 10x 10y 0与圆 x2 y2 6x 2y 40 0 的公共弦所在的直线方程
为 x 3y+10 0
x2 y2
12. 已知椭圆C1 ： 1 a b 0 与圆C
2 2 2
2 ： x y b ，若在椭圆C2 2 1 上存在a b
点 P ，使得由点 P 所作的圆C2 的两条切线相互垂直，则椭圆C1 的离心率可以是 ( )
3 2 1 4
A. B. C. D.
2 3 2 5
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.16题第一空 2分，第二空 3分)
13. 已知 | a | 2 ， | b | 1， a,b ，则 | a 2b | ________.
14. 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m 米.现有一船，宽10m，若该船能从桥下通过，
则该船水面以上的高度不得超过________ m .
15. 直线 y k(x 2) 4 与曲线 y 1 4 x2 仅有一个公共点，则实数的 k 的取值范围
是________.
x2 y2
16. 已知椭圆C1 : 1(a b 0) ，F1 为左焦点，A2 2 1，
A2 为左、右顶点，P 是椭
a b
3
圆C1 上任意一点，PF1的最大值为3，直线PA1和PA2满足 k CPA k1 PA ，则椭圆 1 的2 4
方程为__________，过 P 作圆C
2 2
2 : x (y 3 3) 3的两条切线 PM 、 PN ，切点分
别为M 、 N 则C M C 的最小值为__________.2 2N
四、解答题(本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10分)
已知向量a ( 2, 1,3)，b ( 1,1,2)，c (x,2,2) .
（1）当 | c | 2 2 时，若向量 ka b与 c 垂直，求实数 x 和 k 的值；
（2）若向量 c 与向量a ，b 共面，求实数 x 的值.
18. (本小题满分 12分)
已知圆 C 经过点 A 3, 2 和 B 1,0 ，且圆心在直线 x y 1 0上.
（1）求圆 C 的方程；
（2）若直线 l：kx y k 3 0与圆 C 交于不同的两点 A， B ，求实数 k 的取值范围.
19. (本小题满分 12分)
已知直线 l 经过直线2x y 1 0与直线 x 2y 7 0的交点 P .
（1）若两定点 A(6, 6)、B(2,4)到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆Q : (x 1)2 (y 2)2 9相交于C, D 两点，求弦长的最小值及此时直
线 l 的方程.
20. (本小题满分 12分)
已知动点 P 与平面上点 A 1,0 ， B 1,0 的距离之和等于2 2 .
(1)试求动点 P 的轨迹方程C ；
8 2
(2)设直线 l : y kx 3 与曲线C 交于M 、N 两点，当 MN 时，求直线 l 的方程.
7
21. (本小题满分 12分)
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，D 是 AB 中点，顶点 A1在底面 ABC 上的射
影恰为点 B，且 AB＝AC＝A1B＝2.
(1) 求证：BC1∥平面 A1DC；
(2) 在棱B1C1上确定一点P，使 AP 14 ，并求出平面PAB与平面 A1AB 夹角的余弦值．
C1 A1
B1
A
C
D
22. (本小题满分 12分) B
x2 y2 1 1
设椭圆M : 1(a b 0) 的左顶点为A 、中心为O，若椭圆M 过点P , ，
a2

b2 2 2
且 AP PO ．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）过点 A作两条斜率分别为 k1 ， k2 的直线交椭圆M 于 D ，E 两点，且 k1k2 1，
求证：直线DE 恒过一个定点．
4
高二数学期中试卷参考答案 所以实数 x 的值为 .-------10 分
5
(答案仅供参考,其它解法请酌情给分) 18. 解:（1）因为圆心C 在直线 x y 1 0上，所以设圆心C(a, 1 a) ，
一. 选择题答案
因为点 A, B是圆上两点，所以 CA CB ，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
根据两点间距离公式，有
B A C C A D D A BC ACD AB AD (a 3)2 ( 1 a 2)2 (a 1)2 ( 1 a)2 ，
解得a 1.
二. 填空
所以，圆心C(1, 2) -------------4 分
3 5 x2 y2 21
13. 2 14. 5 3 6 15. , 16. 1；
4 12 4 3 8 圆的半径 r AC (1 3)2 ( 2 2)2 2 -------5 分
三 .解答题
所以,所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 4 .-------6 分
17. 解：(1)因为 | c | 2 2 ,所以 x2 22 22 2 2 x 0 -------2 分
（2）因为直线 l：kx y k 3 0与圆O交于不同的两点 A, B，
且 ka b ( 2k 1,1 k,3k 2) .
k 3
因为向量 ka b与 c 垂直, 所以，圆心O到直线 l 的距离
d 1，-------9 分
k 2 1
所以 (ka b) c 0. 即 k 3 k 2 1 ，
3
即4k 6 0， k -------4 分
2 4 解得 k -------11 分
3 3
所以,实数 x 和 k 的值分别为 0 和 .-------5 分
2 4
所以实数 k 的取值范围是 ( , ) -------12 分
(2)因为向量 c 与向量a ，b 共面,所以设 c a b（ , R）. -------7 分 3
2x y 1 0
因为 (x,2,2) ( 2, 1,3) ( 1,1,2) , 19. 解:（1） ，解得P(1,3) -------1 分
x 2y 7 0
4
x , 4 6 5 当直线 l 与直线 AB 平行时， k
x 2 , 5 AB 2 6 2
2
2 , 所以 , -------9 分
5 5 2 3 2 , 方程为 y 3 x 1 ，即5x 2y 11 0；-------3 分 8 2
.
5
1 / 3
3 1 4 2
当直线 l 经过线段 AB 中点 (4, 1)， k ， MN 1 k 2
2 48k 16
l x1 x2 4x1x2 1 k
2
1 4 3 2 1 2k 2 1 2k
2
4
方程为 y 3 x 1 ，即4x 3y 13 0 .-------5 分 4 (1 k 2 )(k 2 1) 8 2
3 ------------9 分
1 2k 2 7
所以，直线 l 方程为5x 2y 11 0或4x 3y 13 0 .-------6 分
17k4 32k2 57 0, k 3 -------11 分
（2）当弦 CD与 PQ垂直时，弦长最小，-------8 分
2 3 1 直线 l 的方程为： y 3x 3 -------12 分
此时 kPQ ，故 kCD 2，
1 1 2
21.（1）证明：连接 AC1交 A1C 于点 E ,连接DE
此时直线 l 方程为2x y 5 0 .----------10 分
在三棱柱 ABC－A1B1C1中
| 2( 1) 2 5 |
圆心到直线距离d 5 ，
22 12 侧面 AA1C1C 是平行四边形
弦长CD 2 r2 d 2 2 9 5 4 .-------11 分 E 是 AC1的中点
所以，弦长最小值为 4，直线 l 方程为2x y 5 0 .-------12 分 D 是 AB 中点
DE / /BC
20. 解: （1）设点 P 的坐标为 (x, y) 1
DE 平面 A DC ， BC 平面 A DC
PA PB 2 2 2 AB 1 1 1
BC1 / / 平面 A1DC -------------4 分 由椭圆定义可知点 P 轨迹是以 A, B为焦点的椭圆-------3 分 z
（2）以 A为坐标原点，以 AC ， AB 所在直线分别为 x 轴， C1 A1
a 2 ， c 1 b
2 a2 c2 1
B1
y 轴，过点 A作 B1A的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz
x2
动点 P 的轨迹方程C 为： y2 1 -------5 分
2 A(0,0,0) , B(0,2,0)，C(2,0,0)， A1(0,2,2) , B1(0,4,2)
x
A
2 2 C
（2）将直线 l : y kx 3 代入椭圆方程得: 1 2k x 4 3kx 4 0, AB (0,2,0) , B1C1 BC (2, 2,0) ，BB1 (0,2,2) D
B
2
4 3k 4 4 (1 2k 2) 0 ,即 , 设 B P B C (2 , 2 ,0)， (0 )1 1 1 -------------5 分 y
4 3k 4 AP AB BB1 B1P (2 ,4 2 ,2) (或 AP AB AA1 B1P (2 ,4 2 ,2) ) 设M x1, y1 ， N x2 , y2 x x ， x1x2 -------7 分 1 2 2
1 2k 2 1 2k
AP 4 2 (4 2 )2 4 14
2 / 3
2
1 2 2 2 2 3k 1
解得 ，即 P 为 B1C1中点-------6 分 可得 3k1 1 x 6k 11 x 3k1 1 0，所以 xA xD ，2 -------5 分
2 3k1 1
设n (x, y, z)
2
为平面PAB的一个法向量， 1 3k 1 1 3k
2 2k
x 1 x 1 1又因为 A ，故 D ， yD k1 1 ，
1 3k 2
1 3k
2
1 1 3k
2
1 1
AB (0,2,0)， AP (1,3,2) ，
1 3k 2 2k2
同理可得 xE
2 ， y
2 E 2
，------------6 分 n·AB 2y 0 1 3k 1 3k
，令 z 1，∴x 2， n1 2,0,1 ，-------8 分 2 2
n·AP x 3y 2z 0
1
又 k k 1且k k ，可得 k 且k 1，
因为 x
2
轴 平面 A AB
1 2 1 2 1
1 , k1
n (1,0,0) A AB 2设 2 为平面 1 的一个法向量-------9 分 k1 3 2k1
所以 x y E ，2 E k 2
，
k 3 1 31
n1·n2 2 1 2 5
cos cos n1,n2 ，-------11 分
n ·n 5 1 5 2k 2k1 2 1 1
y 2E yD k1 3 1 3k
2
1 2k1
所以 kDE 2 2 ，------8 分 2
2 5 x x k 3 1 3k 3 k 1
所以， P 为 B C 中点，平面 PAB与平面 A AB 夹角的余弦值为 ．-------12 分 E D 1 1 1 1 1 1
k 2 3 1 3k 25 1 1
2
22. 解:（1）由 AP OP，可知 kAP kOP 1， 2k1 2k 1 3k 1
直线DE 的方程为 y x
1
2 2 2 ，-------9 分 1 3k1 3 k1 1 1 3k1
1 1
2 2
又由A 点坐标为 ( a, 0)，故 1， 1 3k 2 3 k 21 1 1 1 令 y 0 ，可得 x 1 2．-------11 分 a 2 2
2 2 1 3k1 1 3k1
解得 a 1-----------2 分 所以，直线DE 过定点 2,0 -------12分
1 1
因为椭圆M 过 P 点，故 1，
4 4b2
1
解得b
2 -------3 分
3
2 y
2
x 1
所以，椭圆M 的方程为 1 ．-------4 分
3
（2）由点 A( 1,0)，则直线 AD方程为 y k1(x 1) ，代入 x
2 3y2 1，
3 / 3