黑龙江省八校2022届高三上学期期中联合考试数学（理）试卷（PDF版，含答案）

2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试
高三理科数学试题
第Ⅰ卷 (共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．sin 600°＋tan 240°的值为（ ）
A 3 3． B 3． C 3 D 3 3． ．
2 2 2 2
2．已知集合 A x 1 x 2 ，集合 B x x m ，若 A RB ，则m的取值范围为（ ）
A． ,1 B． , 2 C． 1, D． 2,
3．在等差数列 an 中，已知a3 a5 a7 18，则该数列前 9项的和为（ ）
A．54 B．63 C．66 D．72
4. 已知命题 p : x R,sin x 1；命题 q : x R ， e|x| 1 ,则下列命题中为真命题的是
（ ）
A. p q B. p q C. p q D. p q
5 C 5．在 ABC中， cos ， BC 1， AC 5，则 AB等于（ ）
2 5
A．4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5
6．已知数列 an a
1 2 1
满足 1 2， a2 1，且 an 2 a a a ，则 a4 a5 （ ）n 1 n n 1
A 11 7
9 2
． B． C． D．
15 6 10 5

7．在 ABC中，若 AB (AB 2AC), AC (AC 2AB)，则 ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．已知函数 f (x) x | x | 2x，则下列结论正确的是（ ）
A． f (x)是偶函数，递增区间是 ( ，0)B． f (x)是偶函数，递减区间是 ( ，1)
C． f (x)是奇函数，递减区间是 ( 1，1)D． f (x)是奇函数，递增区间是 (0， )
9.函数 f x A sin x （ 0 π， ）的部分图象如
2
图所示，则 （ ）
π
A π． B π． 3 C． 6 D
π
．
3 6
10．设等差数列 an 的前n项和为 Sn，公差为 d．已知 a3 12
S10 0，a6 0，则选项不正确的是（ ）
Sn 24A．数列 的最小项为第6项 B． d 4
an 5
C．a5 0 D． Sn 0时，n的最大值为5
11.已知 f x e x ln x 2x，若 x0是函数 f x 的一个零点，则 x0 ln x0的值为（）
1
A.0 B. 1 C.1 D. e 1
e
a e0.05 b ln1.112. 已知 ， 1， c 1.1，则（ ）
2
A. a b c B. c b a C.b a c D. a c b
第Ⅱ卷（共 90 分）
第 13 题～第 22 题为必考题，每个试题考生都必须做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．

13.在 ABC中， AE 3EC，D是 BE上的点，若

AD xAB 2

AC，则实数 x的值为_______________.
3
14 tan( )cos(2 )sin( a
3 )
．化简： 2 的值为________________.
cos( a )sin( a)
15．已知函数 f x 2sin2 x

3 cos 2x．若关于 x的方程 f x m 2 x
在 ,

上
4 4 2
有解，则实数 m的取值范围是____________.
16．已知 ABC中，D、E分别是线段 BC、AC的中点，AD与 BE交于点O，且 BOC 90°，
若 BC 2，则 ABC周长的最大值为__________.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．(本小题 10分) a 已知向量 ，b的夹角为60 ，且 a (1,0)．

（1）若 | b | 2，求b 的坐标；

（2）若 (a b) (a b)，求 | a 2b |的值．
18．(本小题 12分)设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c 3，且
sin C 1 cosC
6 4
.
（1）求角 C的大小；

（2）若向量m 1,sin A 与 n 2,sin B 共线，求 ABC的面积

19．(本小题 12分)已知向量m 2,sin ，n cos , 1 ，其中 0,
π
2
，且m n .

（1）求 sin2 和cos2 的值;
10 π
（2）若 sin ，且 0, ，求角 .
10 2
r r
20．(本小题 12分)设 a sin x, cos x ,b cos x, cos x x R ，函数 f x a a b
（1）求函数 f x 的最小正周期及最大值；
（2）求 f (x)的单调递增区间．
21．(本小题 12分)已知各项为正数的数列 an 的前n项和为 Sn，且
2 Sn an a1 n N* .
（1）求a1的值，并求 an 1的解析式（用含 an的式子表示）；
（2）若对于一切正整数n，有 Sn an 3恒成立，求实数 的取值范围.
22．(本小题 12分)已知函数 f x ln x 1 k x 1 1（ k R）.
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）若 f x 0在定义域内恒成立，求实数 k的取值范围；
3 ln 2 ln 3 ln 4 ln n n
2 n
（ ）证明： （ n 2， n N *）.
3 4 5 n 1 4
2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试参考答案理数 3所以 sin 2C 1 1 1 cos 2C ，所以 sin 2C 6 1 ---------4 分4 4 4 4
（仅供参考！不当之处，请您谅解。）
所以 2C 2k ,k Z，所以C k ,k Z
1．【答案】C 2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C 6 2 3

7．【答案】C8．【答案】C9.【答案】B10．【答案】D11.【答案】A12.【答案】D 因为C是 ABC的内角，所以C ----------6 分3
1
13. （2）因为向量m 1,sin A 与 n 2,sin B 共线
9
14． 1 所以 sin B 2sin A 0，即b 2a 0 --------8 分
15． 0,1 由余弦定理可得 c2 a2 b2 2ab cosC 9 a2 4a2 4a2 1 ，即
2
16． 2 2 10 解得 a 3,b 2 3 ---------10 分
三、解答题(共 90分)
所以 ABC
3 3
的面积为 ---------12 分
17．已知向量 a，b 的夹角为60 ，且 a (1,0)． 2
19 m 2,sin n cos , 1 0, π （1）若 | b | 2，求b 的坐标；（2）若 (a b) (a b) ，求 | a 2b |的值． ．已知向量 ， ，其中 ，且 . 2 m n

解（1）向量 a，b 的夹角为60 ，且 a (1,0)，设b (x, y)，若 | b | 2， （1）求 sin2 和 cos2 的值;

cos60 a b则
x
x 1 10
π
， ．
| a | | b | 1 2
（2）若
sin ，且 0, ，求角 .10 2

| b | x 2 y 2 2 ， y 3 ，故 b (1, 3)．---------6 分 解:（1）∵m n，∴ 2cos sin 0，即 sin 2cos .
2 代入 cos
2 sin2 1，得5cos2 1，
（ ）因为 (a b) (a b) ，
π
5 2 5(a b) (a b) a2 b 2 0， 又 0, ，则2 cos
， sin .
5 5
a (1,0)， | b | 1．
sin2 5 2 5 4则 2sin cos 2 .-----------4 分
| a 2b | (a 2b) 2 a 2 4a b 4b 2 1 4 1 4 3 .--------12 5 5 5分
2
2 1 3
ABC c 3 sin C


1 cos2 2cos 1 2 1 .----------6 分
18．设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，且 cosC . 5 5
6 4
π
（1）求角 C 的大小； (2)∵ 0, ，
0, π π π
2 2
，∴ , .
2 2

（2）若向量m 1,sin A 与 n 2,sin B 共线，求 ABC的面积
sin 10 cos 3 10又 ，∴ .-----------8 分
10 10
sin C

cosC 1 3 sinC 1

解:（1）因为 ，所以 cosC cosC
1

6 4 2 2 4 ∴ sin sin = sin cos cos sin
试卷第 1页，共 3页
= 2 5 3 10 5 10 2 .------------10 4S a2分 n 1 n 1 2an 1 1 .
5 10 5 10 2
π 0, π
2 2
由 ，得 .---------12
4Sn 1 4Sn 4a分 n 1 an 1 an 2an 1 2an ，
2 4
r r 2 2
20．设 a sin x, cos x ,b cos x, cos x x R，函数 f x a a b 即 an 1 an 2an 1 2an 0，-------4 分
1 f x 即 a a a a 2 a a 0（ ）求函数 的最小正周期及最大值； n 1 n n 1 n n 1 n
2 a a 2 a a 0， a 0 ，（ ）求 f (x) 的单调递增区间． n 1 n n 1 n n
r r
解:由题意，向量 a sin x, cos x ,b cos x, cos x x R an 1 an 2， .
*
可得函数 f x 2 a (a b) a a b sin2 x cos2 x sin xcos x cos2 x an 1 an 2 n N .---------6 分
1 a
1 sin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x 1 3 2 3 cos 2x sin(2x ) （2）由（1）可知，数列 n 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，，
2 2 2 2 2 2 4 2
2 a a (n 1)d 2n 1 n N* ，
所以函数 f (x) 的最小正周期为T ，----------6 分 n 1
2
a1 an n 2
当 2x 2k ,k Z

时，即 x k ,k Z 3 2 分，函数取得最大值，最大值为 . Sn n .--------8
4 2 8 2 2
2 3 S a 3 2 4 2n 4 22 1 f x sin(2x ) 由 n n ，得 n 2n 1 3 ，即 2 2 对一切正整数 n恒成立（ ）由（ ）知，函数 ， .
2 4 2 n n n
2k 2x 2k , k Z 3
4 2
令 ，解得 k

x k ,k Z ，
2 4 2 8 8 n
2 n .-------10 分 min
2
所以函数 f x 3 的单调递增区间为[ k , k ],k Z .-------12 分 t 4 2 4 2 1 1 18 8 令 2 ，则 t 2 4 n N
* .
n n n n n 4 4
21．已知各项为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn，且 2 Sn an a1 n N * .
1当 n 4时， tmin .4
（1）求 a1的值，并求 an 1的解析式（用含 an 的式子表示）； 1
.---------12 分
4
（2）若对于一切正整数 n，有 Sn an 3恒成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数 f x ln x 1 k x 1 1（ k R）.
解:（1） an 0
*
， 2 Sn an a1 n N ，
（1）求函数 f x 的单调区间；
当 n 1时， 2 S1 a1 a1 S1 a1 ，解得 a1 1 .
（2）若 f x 0在定义域内恒成立，求实数 k的取值范围；
由 2 Sn an a
2
1，得 4Sn an 2an 1.
3 ln 2 ln 3 ln 4 ln n n
2 n
（ ）证明： （ n 2， n N * ）.
3 4 5 n 1 4
试卷第 2页，共 3页
解：（1）因为 f x ln x 1 k x 1 1（ k R），
所以 f x 1的定义域为 1, ， f x k .
x 1
若 k 0 ，则 f x 0， f x 在 1, 上为增函数；
k 0 k
k 1
若 ，则
x
f x 1 ， k k
x 1 x 1
1 x 1当 1时， f x 0 1，当 x 1时， f x 0 .
k k
综上，当 k 0时， f x 的单调递增区间为 1, ；
k 0 f x 1, 1 1 1当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 1,

.-------3 分
k k
（2）由（1）知 k 0 时， f (x) 在 (1, )上是增函数，
而 f （2） 1 k 0， f (x) 0不成立，故 k 0，
1
又由（1）知 f (x) 的最大值为 f ( 1) ，要使 f (x) 0k 恒成立，
f (1则 1) 0k 即可，即 lnk 0 ，得 k 1；---------6 分
（3）证明：当 k 1时，有 f (x) 0在 (0, )恒成立，
且 f (x) 在 (2, ) 上是减函数， f （2） 0，
即 ln(x 1) x 1 1在 x (2, )上恒成立，
令 x 1 n2，则 lnn2 n2 1，
即 2lnn (n 1)(n 1) ，
lnn n 1 (n N*且 n 1)，
n 1 2
ln 2 ln 3 ln 4 lnn 1 2 3 n 1 n
2 n
，
3 4 5 n 1 2 2 2 2 4
ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 n
即： （ n 2， n N * ）成立．---------12 分
3 4 5 n 1 4
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