黑龙江省八校2022届高三上学期期中联合考试数学（文）试卷（PDF版，含答案）

2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试
高三数学(文科)试题
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分。）
1.已知集合 A x y ln x 1 ,B x x2 x 6 0 ,则 A∩B＝
A. (－2，3] B. (－1，3] C. (－3，2] D. (－1，3)
2.命题“ x 2，都有 x2 3 0”的否定是（ ）
A． x 2，使得 x2 3 0 B． x 2，都有 x2 3 0
C． x 2，使得 x2 3 0 D． x 2，都有 x2 3 0
2
3．已知 p：x－x<0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是( )
A．01 2 1
C. 2 3 2
4．下列函数式偶函数，且在 ，0 上单调递减的是（ ）
A. y 1 B. y 1 x2 C. y 1 2x D. y x
x

5．已知向量a 3,0 ，b x, 2 ，且a a 2b ，则a b （ ）
3 3
A． 2 3 B．2 3 C． 2 D． 2
π 1
6.将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函
6 4
数为（ ）
π π
A．y=2sin(2x+ ) B．y=2sin(2x+ )
4 3
π π
C．y=2sin(2x– ) D．y=2sin(2x– )
4 3
tan 1 2sin cos 7.已知 ，则 ＝（ ）
cos sin
1 1
A．﹣4 B． C．5 D．
2 3
8．在等差数列 an 中，已知a3 a5 a7 18，则该数列前 9项的和为（ ）
A． 54 B． 63 C． 66 D． 72
9.已知定义域为 R 的函数 的图象关于原点对称，且 时，
f x 2 4 f x ，当 x 0,2 时， f x log x 3 2 ，则 f 8 f 4 ( )
2
A.－60 B.－8 C.12 D.68
ex e x
10.函数 的部分图象大致为
ln x
11.已知 f x e x ln x 2x，若 x0是函数 f x 的一个零点，则 x0 ln x0的值
为（）
1
A.0 B. 1 C.1 D. e 1
e
12．已知 f x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数，且 x 0时
xf x 2 f x 0，又 f 1 0，则 f x 0的解集为（ ）
A． , 1 U 1, B． 1,0 U 0,1
C． 1,0 1, D． , 1 0,1
第 II卷 非选择题部分
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。）

13、 a,b的夹角为 120°， a b 4,则b 2a b .
14．点 P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点 P 到直线 y x 2的最小距离
为 .
tan( )cos(2 )sin( a 3 )
2
15．化简： cos( a )sin( a) 的值为 .
16.已知函数 f x 1 2 ln x ，若对 x 1,3 ，不等式1 x
f ax ln x 1 f ax ln x 1 2 f 1 恒成立，则实数a的取值范围 .
三、解答题（共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分 10 分）已知向量a，b的夹角为60 ，且 a (1,0)．

（1）若 | b | 2，求b的坐标；

（2）若 (a b) (a

b) ，求 | a 2b |的值．
18．（本小题满分 12分）设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，

c 3 sin C 已知 ，且 cosC
1
.
6 4
（1）求角 C 的大小；

（2）若向量m 1,sin A 与n 2,sin B 共线，求 ABC的面积.

n 0, πm 2,sin cos , 1 19．（本小题满分 12分）已知向量 ， ，其中 ，
2

且m n.
（1）求 sin2 和cos2 的值;
10 0, π （2）若 sin ，且 ，求角 .
10 2
20.（本小题满分 12分）在数列 an 中，a1 4,nan n 1 a 2n 2n 2n.
a
（1）求证：数列 n 是等差数列；
n
1
（2）求数列 的前 n 项和 S .
a
n
n
21.（本小题满分 12分）设 a sin x, cos x ,b cos x, cos x , x R，函数

f x a a b
（1）求函数 f x 的最小正周期及最大值；
（2）求 f (x)的单调递增区间．
22.（本小题满分 12分）已知函数 f (x) x2 ax 3a2 ln x(a 0)．
（1）若 f (x)的极小值为2a2，求实数 a的值；
（2）若a 2，求证： f (x) (x 6) ln x 8．
2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试

高三数学(文科)试题参考答案 所以 2C 2k ,k Z，所以C k ,k Z6 2 3 —4分

（仅供参考，不当之处，敬请谅解。） 因为C是 ABC的内角，所以C 3 —6分

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）因为向量m 1,sin A 与 n 2,sin B 共线
B C B D D D B A A C A D 所以sin B 2sin A 0，即b 2a 0 —8分
13.0 由余弦定理可得 c2 a2 b2
1
2ab cosC ，即9 a2 4a2 4a2 2
14. 2 解得 a 3,b 2 3 —10分
3 3
15.-1 所以 ABC的面积为 —12分2

1 2 ln 3 19．解：（1）∵m n，∴2cos sin 0，即sin 2cos .16. , e 3
代入 cos2 sin
2 1，得5cos2 1，
17.解：（1）向量a，b的夹角为60 ，且 a (1,0)，设b (x, y)，
又

0,
π
，则cos
5
， sin
2 5
. —4分
a b x 2 5 5
若 | b | 2，则 cos60 ， x 1．| a | | b | 1 2
则 sin2 2sin cos 2
5 2 5 4
.
5 5 5
| b | x 2 y 2 2 ， y 3，故b (1, 3)． —5分
cos2 2cos2 1 1 3 2 1
5 5 . —6 分
（2）因为 (a

b) (a b) ，
0, π π π π(2)∵ ， 0, ，∴

,

.
(a
2 2 2 2
b) (a b) a2

b 2 0，
又 sin 10 ，∴cos 3 10 . —8 分
10 10 a (1,0)， | b | 1．
sin sin
| a 2b | (a 2b) 2 a
∴ = sin cos cos sin
2 4a b 4b 2 1 1 4 4 3
2 . —10 分 2 5 3 10 5 10 2
= .
1 3 1 1 5 10 5 10 2
18.解：（1）因为sin C 6
cosC ，所以 sinC cosC cosC
4 2 2 4 由

0,
π π
2 ，得

4 . —12 分
3
所以 sin 2C
1 1
cos 2C 1 ，所以 sin
2C 1 —2 分
4 4 4 4 6 20.解：（1）
1
nan 1 n 1 an 2n2 2n的两边同除以n n 1 , 2 3（2）由（1）知，函数 f x sin(2x ) ，2 4 2

a a —3分 令 2k 2x

2k , k Z ，
得 n 1 n 2, 2 4 2
n 1 n 3 k x 解得 k ,k Za1 8 8
，
又 4,
1
所以函数 f x
3
的单调递增区间为[ k , k ],k Z8 8 . —12 分
an 所以数列 是首项为4，公差为2的等差数列.
n 22.解：（1）由题意， f (x) x 2 ax 3a 2 ln x 的定义域为 (0, )，
—6 分 2f (x) 2x a 3a 2x
2 ax 3a2 (x a)(2x 3a)
且 1 ，(x 0) ， —2分x x x
（2）
由 1 a得 n a1 2 n 1 ,n 由 f (x) 0得0 x a，由 f (x) 0得 x a，
a —8 分 f x n 2 ∴ 在区间 0,a 上单调递减，在区间 a, 上单调递增，即 2n 2,所以an 2n 2n,n
∴ f x 的极小值为 f (a) a2 a2 3a2 ln a 2a2 3a2 ln a ，
1 1 1 1 1 —10分
故 2 ,a 2n 2n 2 n n 1 令 2a
2 3a2 ln a 2a2，得3a2 ln a 0，
n
所以S 1 1 1 1 1 1 a 0 ln a 0 a 1n 1
∵ ，∴ ，解得 ． —4 分
2 2 2 3 n n 1


（2）当a 2时， f (x) x 2 2x 12ln x，
1 1 n —12分 1 .
2 n 1 2 n 1 设 g(x) f (x) (x 6) ln x，

21.解：（1）由题意，向量 a sin x, cos x ,b cos x, cos x , x R， 则 g(x) x2 2x 12ln x (x 6) ln x x2 2x 6ln x x ln x ，

2

可得函数 f x a (a b) a a b sin2 x cos2 x sin xcos x cos2 x 2g (x) 2x 2 6 ln x 1 2x x x ln x 6则 (x 0) ， —6分
x x
1 1 sin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x 1 cos 2x 3 2 3 sin(2x ) ，
2 2 2 2 2 2 4 2
设 h(x) 2x 2 x x ln x 6(x 0) ，
所以函数 f (x)
2
的最小正周期为T 2 ， —4 分
则 h (x) 4x 1 (ln x 1) 4x ln x，
2x 2k ,k Z x 当 时，即 k ,k Z4 2 8 ，
设m(x) 4x ln x，则m (x) 4
1 4x 1
(x 0) ，
3 2 x x
函数取得最大值，最大值为 . —6 分
2
由m
1 1
(x) 0可得0 x ，由m (x) 04 可得
x
4，
2
m x 0, 1 1 即 在 4 上单调递减，在 , 上单调递增， 4
∴m(x) m
1 1
1 ln 1 2ln 2 0，即h x 0
4 4
，

∴ h x 在 0, 上单调递增． —8分
∵ h(1) 3 0， h(2) 4 2 ln 2 0，∴h x 存在唯一的零点 x0，且 x0 (1, 2)．
h x 2x2由 0 0 x0 x0 ln x0 6 0，得 ln x0 2x
6
0 1x ，0
当 x 0, x0 时，h(x) 0 ，即 g (x) 0，
当 x x0 , 时，h x 0 ，即 g (x) 0，
∴ g(x) g x x20 0 2x0 6ln x0 x0 ln x0
6
x2 2x 6 x 2x 1 x20 0 0 0 0 11x
36
0 x ， 0 x0
36
易得 g x 在区间(1,2)上单调递减，故 g x 220 11 2 82 ，
∴ g(x) f (x) (x 6) ln x 8，即 f (x) (x 6) ln x 8． —12分
3