14.1.4 整式的乘法（含解析）
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课时14.1.4 整式的乘法
一.典例和变式
典例1．（2021·温州市期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．（2021·广东八年级期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．5a3 3a2＝15a6 B．2x2 5x2＝10x4
C．3x2 2x2＝6x2 D．5y3 3y5＝15y15
变式1-2．（2021·福建八年级期末）下列代数式中，可以用表示的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1-3．（2021·山东德州市·八年级期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
典例2．（2019·石家庄市八年级期中）若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式2-1．（2020·南靖县八年级月考）若，则的值分别为（ ）
A．3 2 B．2，3 C．3，3 D．2，2
变式2-2．（2020·河南八年级月考）若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C．－15 D．15
变式2-3．（2020·南阳市期末）若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
典例3．（2020·武汉市八年级月考）一个三角形的底边为2m，高为m＋4n，它的面积为( )
A．m2＋4mn B．2m2＋8mn C．m2＋8mn D．
变式3-1．（2020·南通市八年级月考）（﹣3x+1）（﹣2x）2等于（ ）
A．﹣6x3﹣2x2 B．6x3﹣2x2 C．6x3+2x2 D．﹣12x3+4x2
变式3-2．（2020·云南昭通市·八年级期末）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-3．（2020·四川八年级期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )
A．3xy B．-3xy C．-1 D．1
变式3-4．（2020·山东八年级期中）如图，长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则ab（a+b）的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
典例4 要使x(x+a)+3x-2b=x2+5x+4恒成立,则a,b的值分别是( )
A．a=-2,b=-2 B．a=2,b=2 C．a=2,b=-2 D．a=-2,b=2
变式4-1．若a3(3an-2am+4ak)与3a6-2a9+4a4的值永远相等,则m、n、k分别为( )
A．6、3、1 B．3、6、1 C．2、1、3 D．2、3、1
典例5．（2020·大庆市八年级期中）计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
变式5-1．（2020·福建八年级期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式5-2．（2020·山西八年级期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2020·山西八年级期中）把分解因式得，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．1
典例6．（2020·福建八年级期中）若的结果不含的一次项，则，应满足（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2020·北京海淀区八年级期中）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
变式6-2．（2020·湖北八年级期中）若且，则代数式的值等于（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
变式6-3．（2020·河南八年级期中）如果的结果不含项，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
变式6-4．（2020·鄂尔多斯市八年级期中）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
变式6-5．（2020·重庆市八年级期中）若展开式中，不含xy项，则a的值是（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
典例7．（2020·中山市八年级期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ）
①（2a＋b）（m＋n）；
②2a（m＋n）＋b（m＋n）；
③m（2a＋b）＋n（2a＋b）；
④2am＋2an＋bm＋bn．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
变式7-1．（2020·河南周口市·八年级期中）如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（ ）
A． B．
C． D．
变式7-2．（2020·山东八年级期末）小明想用一长方形的硬纸片折叠成一个无盖长方体收纳盒，硬纸片长为a+1，宽为a-1，如图，在硬纸片的四角剪裁出4个边长为1的正方形，沿着图中虚线折叠，这个收纳盒的体积是（ ）
A．a2 -1 B．a2-2a C．a2-1 D．a2-4a+3
二.综合题
1．（2021·河北八年级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6
2．（2021·山东八年级期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3．（2021·河南八年级期末）计算2a2·3a4的结果是（ ）
A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8
4．（2021·四川绵阳市·八年级期末）若计算关于的代数式得的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖北八年级期末）若，则的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．（2021·河南八年级期末）一个长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北八年级期末）如果（x＋m）与（x＋1）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
8．（2021·河北保定市·八年级期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2021·辽宁八年级期末）若，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．（2021·四川八年级期末）下列算式计算结果为的是
A． B． C． D．
11．（2021·内蒙古八年级期末）如果的乘积中不含项,则m为__________.
12．（2021·河南八年级期末）已知，，化简的结果是__________．
13．（2021·四川眉山市·八年级期末）如果的乘积中不含项，则m的值为____．
14．（2021·河南八年级期末）若的积不含x的一次项和二次项，则a+b=______________．
15．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）计算：（a+2b）（2a﹣4b）=______．
16．（2021·吉林八年级期末）计算：（ab2－2ab）ab．
17．（2021·北京市八年级期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若是的一个因式，求、的值.
答案
一.典例和变式
典例1．【答案】C 变式1-1．【答案】B 变式1-2．【答案】A 变式1-3．【答案】B
典例2．【答案】C 变式2-1．【答案】B 变式2-2．【答案】D 变式2-3．【答案】D
典例3．【答案】A 变式3-1．【答案】D 变式3-2．【答案】D 变式3-3．【答案】A
变式3-4．【答案】B
典例4 【答案】C 变式4-1．【答案】A
典例5．【答案】A 变式5-1．【答案】A 变式5-2．【答案】A 变式5-3．【答案】B
典例6．【答案】C 变式6-1．【答案】B 变式6-2．【答案】A 变式6-3．【答案】C
变式6-4．【答案】C 变式6-5．【答案】D
典例7．【答案】D 变式7-1．【答案】B 变式7-2．【答案】D
二.综合题
1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B
5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C
9．【答案】C 10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】．
14．【答案】10
15．【答案】2a2﹣8b2．
16．【答案】a2b3－a2b2
【详解】
解：原式＝ab2ab－2abab
＝a2b3－a2b2．
17．【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．
【详解】
解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为19；
（2）所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为1；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
解得：
故答案为a= -6，b= -3．
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课时14.1.4 整式的乘法
一.典例和变式
典例1．（2021·温州市期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．（2021·广东八年级期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．5a3 3a2＝15a6 B．2x2 5x2＝10x4
C．3x2 2x2＝6x2 D．5y3 3y5＝15y15
变式1-2．（2021·福建八年级期末）下列代数式中，可以用表示的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1-3．（2021·山东德州市·八年级期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
典例2．（2019·石家庄市八年级期中）若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式2-1．（2020·南靖县八年级月考）若，则的值分别为（ ）
A．3 2 B．2，3 C．3，3 D．2，2
变式2-2．（2020·河南八年级月考）若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C．－15 D．15
变式2-3．（2020·南阳市期末）若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
典例3．（2020·武汉市八年级月考）一个三角形的底边为2m，高为m＋4n，它的面积为( )
A．m2＋4mn B．2m2＋8mn C．m2＋8mn D．
变式3-1．（2020·南通市八年级月考）（﹣3x+1）（﹣2x）2等于（ ）
A．﹣6x3﹣2x2 B．6x3﹣2x2 C．6x3+2x2 D．﹣12x3+4x2
变式3-2．（2020·云南昭通市·八年级期末）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-3．（2020·四川八年级期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )
A．3xy B．-3xy C．-1 D．1
变式3-4．（2020·山东八年级期中）如图，长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则ab（a+b）的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
典例4 要使x(x+a)+3x-2b=x2+5x+4恒成立,则a,b的值分别是( )
A．a=-2,b=-2 B．a=2,b=2 C．a=2,b=-2 D．a=-2,b=2
变式4-1．若a3(3an-2am+4ak)与3a6-2a9+4a4的值永远相等,则m、n、k分别为( )
A．6、3、1 B．3、6、1 C．2、1、3 D．2、3、1
典例5．（2020·大庆市八年级期中）计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
变式5-1．（2020·福建八年级期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式5-2．（2020·山西八年级期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2020·山西八年级期中）把分解因式得，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．1
典例6．（2020·福建八年级期中）若的结果不含的一次项，则，应满足（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2020·北京海淀区八年级期中）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
变式6-2．（2020·湖北八年级期中）若且，则代数式的值等于（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
变式6-3．（2020·河南八年级期中）如果的结果不含项，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
变式6-4．（2020·鄂尔多斯市八年级期中）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
变式6-5．（2020·重庆市八年级期中）若展开式中，不含xy项，则a的值是（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
典例7．（2020·中山市八年级期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ）
①（2a＋b）（m＋n）；
②2a（m＋n）＋b（m＋n）；
③m（2a＋b）＋n（2a＋b）；
④2am＋2an＋bm＋bn．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
变式7-1．（2020·河南周口市·八年级期中）如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（ ）
A． B．
C． D．
变式7-2．（2020·山东八年级期末）小明想用一长方形的硬纸片折叠成一个无盖长方体收纳盒，硬纸片长为a+1，宽为a-1，如图，在硬纸片的四角剪裁出4个边长为1的正方形，沿着图中虚线折叠，这个收纳盒的体积是（ ）
A．a2 -1 B．a2-2a C．a2-1 D．a2-4a+3
二.综合题
1．（2021·河北八年级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6
2．（2021·山东八年级期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3．（2021·河南八年级期末）计算2a2·3a4的结果是（ ）
A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8
4．（2021·四川绵阳市·八年级期末）若计算关于的代数式得的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖北八年级期末）若，则的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．（2021·河南八年级期末）一个长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北八年级期末）如果（x＋m）与（x＋1）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
8．（2021·河北保定市·八年级期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2021·辽宁八年级期末）若，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．（2021·四川八年级期末）下列算式计算结果为的是
A． B． C． D．
11．（2021·内蒙古八年级期末）如果的乘积中不含项,则m为__________.
12．（2021·河南八年级期末）已知，，化简的结果是__________．
13．（2021·四川眉山市·八年级期末）如果的乘积中不含项，则m的值为____．
14．（2021·河南八年级期末）若的积不含x的一次项和二次项，则a+b=______________．
15．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）计算：（a+2b）（2a﹣4b）=______．
16．（2021·吉林八年级期末）计算：（ab2－2ab）ab．
17．（2021·北京市八年级期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若是的一个因式，求、的值.
答案
一.典例和变式
典例1．【答案】C 变式1-1．【答案】B 变式1-2．【答案】A 变式1-3．【答案】B
典例2．【答案】C 变式2-1．【答案】B 变式2-2．【答案】D 变式2-3．【答案】D
典例3．【答案】A 变式3-1．【答案】D 变式3-2．【答案】D 变式3-3．【答案】A
变式3-4．【答案】B
典例4 【答案】C 变式4-1．【答案】A
典例5．【答案】A 变式5-1．【答案】A 变式5-2．【答案】A 变式5-3．【答案】B
典例6．【答案】C 变式6-1．【答案】B 变式6-2．【答案】A 变式6-3．【答案】C
变式6-4．【答案】C 变式6-5．【答案】D
典例7．【答案】D 变式7-1．【答案】B 变式7-2．【答案】D
二.综合题
1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B
5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C
9．【答案】C 10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】．
14．【答案】10
15．【答案】2a2﹣8b2．
16．【答案】a2b3－a2b2
【详解】
解：原式＝ab2ab－2abab
＝a2b3－a2b2．
17．【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．
【详解】
解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为19；
（2）所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为1；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
解得：
故答案为a= -6，b= -3．
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