湖南省长沙市第21高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

长沙市第21高中2021-2022学年高一上学期期中考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一.单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．设（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.向量，，则 (　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.已知向量，，若，则锐角为 (　　)
A.30° B.60° C.45° D.75°
4. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是 （ ）
A．1 B．
C． D．
5．若复数是纯虚数，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
6．在中，，，，则 （ ）
A． B． C． D．
7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为 （ ） （ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
8．在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为
A．4 B． C． D．
二、多项选择题(本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9．已知向量，，若，则 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10. 已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是异面直线
B．若，则直线平行于平面内的无数条直线
C．若，则
D．若，则与一定相交.
11．在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（ ）
A．若是上的动点，则与异面 B．平面
C．若该三棱柱有内切球，则 D．
12．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形 D．存在满足
三．填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是_______.
14已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是______
15.已知为单位向量，若，则_______．
16．在中，内角,,所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为_______，周长的取值范围为___________．
四．解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.(本小题10分)
已知复数
（1）当实数为何值时，为实数；
（2）当实数为何值时，为纯虚数.
18、(本小题12分)
如图所示，已知直角梯形，，，，，.求：
（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.
19. (本小题12分)
如图，在菱形中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求．
20.(本小题满分12分)
如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）上是否存在一点F，使得平面平面，若存在请说明理由.
21.(本小题满分12分)
在中，角,,所对的边分别为,,，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求．
22.(本小题满分12分)
已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
答案
1A2C3A4D5A6D7B8A9AC10BC11BC12ABC
13.
14平行或异面15．【答案】
16．【答案】，
17【答案】（1）或；（2）.
【详解】
（1） 若z为实数，则，………………………3分
解得或； ………………………5分
（2） 若z为纯虚数，则，………………………8分
解得. ………………………10分
18【详解】
解：（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，
其上底面半径是，下底面半径是，
高，母线，………………………3分
∴该几何体的表面积为
. ………………………6分
（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，
其中圆锥的高为，圆锥的母线，
圆柱的母线，圆锥和圆柱底面半径，………………………9分
故该组合体体积为.………………………12分
19【解析】（1）因为，，
所以，………………………3分
所以，，
故． ………………………6分
（2）∵，
∴，
∵为菱形，∴， ………………………9分
∴，
即． ………………………12分
20【详解】
解：（1）连结交于O，连结.
∵因为为正方体，底面为正方形，
对角线 交于O点，所以O为的中点，
又因为E为的中点，在中
∴是的中位线
∴； ………………………3分
又为平面，平面，
所以平面. ………………………6分
（2）证明：上的中点F即满足平面平面 …………………7分
因为F为的中点，E为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面； ………………………10分
由（1）知平面，
又因为，所以平面平面. ………………12分
21【详解】
解：（Ⅰ）由正弦定理得
， ………………………1分
所以可化为
， ………………………3分
得． 因为，所以． ………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理可将化为．………………7分
设，，
根据余弦定理得，
整理得， ………………………9分
解得，
所以，………………………11分
解得，所以． ………………………12分
22【解析】
（1）由题意，，…………………2分
记向量与的夹角为，又，
则， …………………4分
当时，，，
当时，，． …………………6分
（2）
，…………8分
由得，
∵，∴， …………………9分
∴，解得或． …………………12分