数学人教A版选择性必修第一册第三单元圆锥曲线的方程 检测卷 A卷（Word含解析）

选择性必修第一册第三单元达标检测卷
圆锥曲线的方程（A）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若三角形的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
6．抛物线焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有个不同的点
，，，，…组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为 B．的最小值为
C．的值可以为 D．的值可以为
10．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为
D．的面积为
11．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．抛物线的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是__________．
14．已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为_________．
15．焦点为的抛物线的准线与坐标轴交于点，点在抛物线上，则的最大值为 ．
16．已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹的方程是___________．若点为轨迹的焦点，是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，则_____．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①，②过，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中；已知椭圆的右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．
18．（12分）设椭圆与两坐标轴的交点分别为，（），点为坐标原点，点满足，所在直线的斜率为．
（1）试求椭圆的离心率；
（2）设点的坐标为，为线段的中点，证明：．
19．（12分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程．
20．（12分）已知抛物线，，是抛物线上的两点，是坐标原点，且．
（1）若，求的面积；
（2）设是线段上一点，若与的面积相等，求的轨迹方程．
21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，当的面积最大时，求直线的方程．
22．（12分）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点．
（1）求，求直线的方程；
（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．
达标检测卷
圆锥曲线的方程（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】，表示一个圆．
2．【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
由题意可得，解得．
3．【答案】B
【解析】双曲线的顶点为，，渐近线方程为，由双曲线的对称性可知，任一顶点到任一渐近线的距离相等，
不妨求点到渐近线的距离．
4．【答案】D
【解析】∵的外接圆与抛物线的准线相切，
∴的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
∵圆面积为，∴圆的半径为，
又∵圆心在的垂直平分线上，，∴，，故选D．
5．【答案】B
【解析】对于A，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，
焦距，A错误；
对于B，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
则，，∴离心率，B正确；
对于C，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，
∴不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，C错误；
对于D，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，
则圆的圆心到渐近线的距离，
∴双曲线渐近线与圆不相切，D错误．
6．【答案】B
【解析】设，则由，得，即，
则，则，
则，解得，
即抛物线的方程为．
7．【答案】A
【解析】由到直线的距离为，得直线的倾斜角为，
∴，即，解得，故选A．
8．【答案】A
【解析】∵，∴，根据双曲线的定义可得，
，即，
∵，∴，
∴，即，解得．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABC
【解析】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，故的最小值为，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，
则，，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误．
10．【答案】ACD
【解析】由双曲线方程，知，，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；
，以为直径的圆的方程是，B错；
由，得或，由对称性知点横坐标是，
C正确；
，D正确．
11．【答案】BCD
【解析】易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确；
抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别做准线的垂直线，，，垂足分别为，，，
所以，，所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
12．【答案】BC
【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率为，
则，则，，
故渐近线方程为，
取的中点，连接，利用点到直线的距离公式可得，
则，
所以，则．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】设弦的两个端点为，，
分别代入抛物线方程，得，
①②，得，即，
又因为被点平分，所以，
则，即弦所在的直线的斜率，
所以这条线所在的直线方程为，即．
14．【答案】
【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点的坐标为，
∵的垂直平分线交于点，∴，
又，∴，
依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
且，，∴，
故椭圆方程为．
15．【答案】
【解析】根据题意，过做与准线垂直，垂足为，如图：
设，则，
若取得最大值，必有取得最小值，
则取得最大值，此时与抛物线相切，
设直线的方程为，联立，
消去，得，即，
由，解得或（舍去），
由，，知，
所以的最大值为．
16．【答案】，
【解析】设，∵，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，
∴，
整理，得点的轨迹的方程是．
∵点为轨迹的焦点，∴，
是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，
作轴于点，作轴于点，
则，∴，∴，
∴．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）选①条件，由题意可知，离心率，所以，
所以，所以椭圆的方程为．
选②条件，由题意可知，过，则，，
所以椭圆的方程为．
选③条件，由题意可知，，
又，则，，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可以设直线的方程为，
由，得，，
设，，所以，，
所以的面积
，
因为的面积为，所以，解得，
所以直线的方程为或．
18．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，（），，知，
由，知，所以，，
所以．
（2）证明：由是的中点知，点，所以，
又，所以，
由（1）知，即，所以，即．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线距离为（其中是双曲线的半焦距），
所以由题意知，
又因为，解得，
故所求双曲线的渐近线方程是．
（2）因为，
由余弦定理得，
即，
又由双曲线的定义得，
平方得，
相减得，
根据三角形的面积公式得，
得，
再由上小题结论得，故所求双曲线方程是．
20．【答案】（1）16；（2）．
【解析】设，，
（1）因为，又由抛物线的对称性可知，关于轴对称，
所以，，
因为，所以，故，则，
又，解得或（舍），
所以，
于是的面积为．
（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入，得，
，且，，
因为，所以，故，
则，所以或（舍），
因为与的面积相等，所以为的中点，
则点的横坐标为，纵坐标为，
故点的轨迹方程为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得抛物线的焦点为，
故可设椭圆方程为．
将点代入方程得，
整理得，解得或（舍去），
故所求椭圆方程为．
（2）设直线的方程为，，的坐标分别为，，
由，得，
则，所以．
由，，
得．
又点到的距离为，
故，
当且仅当，即时取等号．
当时，满足．
故直线的方程为．
22．【答案】（1）或；（2）证明见解析．
【解析】（1）由条件可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，
则，
由，有，所以，，
由在椭圆上，则，解得，
此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，
故所求直线方程为或．
（2）设，，，
直线的方程为．
由，得，
由，解得，
，，
当时，，
故直线恒过定点．