数学人教A版选择性必修第一册第一单元空间向量与立体几何 检测卷 A卷（Word含解析）

选择性必修第一册第一单元达标检测卷
空间向量与立体几何（A）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．空间四边形中，若向量，，点，分别为线段，的中点，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．若向量，，，则为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在三棱柱中，侧棱底面，，点，分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为的正方体中，点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在长方体中，，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．在平行六面体中，
C．若与，与都是共面向量，则与也是共面向量
D．对任意两个非零空间向量，，若存在实数使得，则
11．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
12．在棱长为的正方体中，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，点为线段上一动点，则到平面距离的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设平面，的法向量分别是，，且平面，所成锐二面角的余弦值为，则 ．
14．已知，，，若，，三向量共面，则 ．
15．已知直线的方向向量为，为直线上一点，若点为直线外一点，则 ，到直线上的距离为 ．
16．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①，②平面，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，并加以解答．
如图，在三棱锥中，已知__________，且平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（12分）已知在正方体中，，，分别是，和的中点，利用向量法证明：
（1）平面；
（2）平面平面．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）在平面内求一点，使平面，并证明你的结论．
20．（12分）如图，在长方体中，已知，，．
求：（1）点到直线的距离；
（2）点到平面的距离；
（3）直线到平面的距离；
（4）平面与平面之间的距离；
（5）直线与直线之间的距离．
21．（12分）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线与所成角等于．
（1）求直线与平面所成角的正弦值的大小？
（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由．
22．（12分）如图已知是矩形，，分别为边，的中点，与交于点，沿将矩形折起，设，，二面角的大小为．
（1）当时，求的值；
（2）当时，点是线段上一点，直线与平面所成的角为．若，求线段的长．
达标检测卷
空间向量与立体几何（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】
．
2．【答案】B
【解析】取中点，连接，，
则，，
从而．
3．【答案】D
【解析】由，化简得，
解得或．
4．【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
5．【答案】B
【解析】要判断点是否在平面内，
只需要判断向量与平面的法向量是否垂直，即是否为，
因此，要对每个选项进行检验．
对于选项A，，，故排除A；
对于选项B，，则，故B正确；
同理可排除C，D，故选B．
6．【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选A．
7．【答案】C
【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，∴，，
设平面的一个法向量为，则，∴，
∴，
而，∴，∴点到平面的距离为．
8．【答案】B
【解析】由三角形的中位线可证平面，
而由是直三棱柱，且，
故以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，则有，
∴，取，得，
又，直线与平面的距离为．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】CD
【解析】，∴C正确；
，∴D正确．
10．【答案】BC
【解析】在平行六面体中，，∴B错误；
在正方体中，若，，，满足与，与都是共面向量，但与不是共面向量，∴C错误，
故选BC．
11．【答案】BC
【解析】根据空间向量基本定理可知，，即，∴B正确；
又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴C正确．
12．【答案】AB
【解析】由题意可知，，，，
设，∴，，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，
又，∴到平面距离为，故选AB．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】，所以，
所以．
14．【答案】
【解析】∵与不共线，∴与可取作此平面的一个基向量，
∵，，三向量共面，∴存在实数，使得，
∴，解得，
故答案为．
15．【答案】，
【解析】由已知得，，
∴在上的投影长度为，
∴点到直线的距离为．
16．【答案】
【解析】设，
∵在菱形中，，折起后，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．
∵在原菱形中，，，∴，，
∴，，，，∴，，
设，令，则，
令，则，，∴，
又∵，∴与间的距离．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）若选②：如图，作于点，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
又平面，∴，矛盾．
所以②必不选，故选①③．
下面证明：．
作，交的延长线于点，连结．
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
又∵平面，∴，，
在中，……①，
在中，……②，
联立①②可得，，
在中，，
∵，∴，即，
又平面，且，∴平面，
∵平面，∴．
（2）由（1）问可知两两互相垂直，则以为原点，分别为轴建立空间直线坐标系，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为，
则，，，，．
（1）由正方体的性质知平面，
∴为平面的一个法向量，
由于，则又平面，，∴，∴平面．
（2）由于，，，即．
由于平面，∴平面，
又由（1），知平面，，
∴由两个平面平行的判定定理，知平面平面．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）点为的中点，证明见解析．
【解析】（1）证明：以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），
设，则，，，，，，∴，，
∴，∴．
（2）∵平面，设，∴．
由（1）知，，
由题意，要使平面，
只需，，
∴，，∴点的坐标为，即点为的中点．
20．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【解析】以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由于，，，
则得下列各点的坐标，，，，，，．
（1）过作直线的垂线，垂足为，则．
由前可得，，
设，则，
∵，∴，∴，解得．
∴，
∴．
（2）设平面的一个法向量为，
∵，，∴，即，
令，则得平面的一个法向量为，
又，∴点到平面的距离．
∵平面平面，∴（3）（4）（5）的结论都是．
21．【答案】（1）；（2）存在这样的点，为棱上靠近点的三等分点．
【解析】（1）由题以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，
则，，，
则由可得，即．
又异面直线与所成角等于，则，
设平面的一个法向量为，
，取，则，
又∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
（2）假设存在这样的点，
设，且，即，，
设平面的一个法向量为，
，得，
又平面的法向量为，，
解得或（不合题意，舍去），
∴存在这样的点，为棱上靠近点的三等分点．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，的中点分别为，，连接，，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，
∴，，∴．
（2）取得中点，连接，如图，分别以，所在的直线为轴，轴，过作垂直于平面的垂线，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，得，，，，
∴，，，，
设，
则，∴．
设平面的一个法向量为，
∵，∴，取，得，
则是平面的一个法向量，
由题意，得，即，∴或（舍去），
∴．