数学人教A版选择性必修第二册第五单元一元函数的导数及其应用 检测卷 A卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版选择性必修第二册第五单元一元函数的导数及其应用 检测卷 A卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 653.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-08 20:47:04 | ||
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文档简介
选择性必修第二册第五单元达标检测卷
一元函数的导数及其应用（A）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．有一块边长为的正三角形铁皮，从它的三个角剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，如下图示，则这个容器最大容积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知可导函数满足，则当时，和大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变化成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯的衰变过程中，其含量(单位：太贝克)与时间(单位：年)满足函数关系：，其中为时铯的含量．已知时，铯含量的变化率是(太贝克/年)，则
=（ ）
A．太贝克 B．太贝克
C．太贝克 D．太贝克
5．已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，（为常数）则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的极大值为，极小值为，则的值（ ）
A．与有关，且与有关 B．与无关，且与有关
C．与无关，且与无关 D．与有关，且与无关
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线斜率为
B．在处的切线方程为
C．在处的切线斜率为
D．在处的切线方程为
10．已知函数，关于函数单调性说法正确的有（ ）
A．函数在单调递减 B．函数在单调递减
C．函数在单调递增 D．函数在单调递增
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线斜率为
B．在处的切线方程为
C．在处的切线斜率为
D．在处的切线斜率倾斜角为
12．若定义在上的函数满足，其导函数满足
，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数，则由变到时，函数的增量为__________，平均变化率为__________．
14．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为__________．
15．已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为__________．
16．已知函数，，若当时，存在，，使得成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
18．（12分）设函数．
（1）求及的定义域；
（2）若，试判断与的大小．
19．（12分）如图，某广场中间有一块边长为百米的菱形状绿化区，其中是半径为百米的扇形，．管理部门欲在该地从到修建一条小路：在弧上选一点(异于、两点)，过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路弧与及的总长最小？并说明理由．
20．（12分）已知函数，若函数有两个不同的零点，．
（1）求的范围；
（2）是否存在，使得，若存在，求，(写出一组即可)，若不存在请提供证明．
21．（12分）已知函数（，，）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，关于的方程有唯一解，求的值．
22．（12分）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数．，其中为自然对数的底数．
（1）求，的解析式，并证明：当时，，；
（2）设，，证明：当时，．
达标检测卷
一元函数的导数及其应用（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】∵函数，∴，
∵，∴，即，故选B．
2．【答案】C
【解析】根据题意，设正三棱柱容器的底面边长为，由于铁皮是边长为的正三角形铁皮，
那么从三个角剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，
可知容器高为，
箱子的容积为，
令，得，
∴，；，，
故可知函数在时取得最大值为．
3．【答案】B
【解析】，∴，∴，
∴，
所以函数为增函数，
∵，∴，∴，∴．
4．【答案】D
【解析】，
由题意，解得，
那么．
5．【答案】D
【解析】由题意可知的两个不同解都在区间内．
因为，所以根据导函数图象可得，
又，解得．
6．【答案】D
【解析】的导函数为．
7．【答案】C
【解析】∵，∴在恒成立，
即在恒成立．
令，则，
令，得；令，得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴实数的取值范围为．
8．【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，当时，；当时，；
当时，，
因此当时，取极大值；当时，取极小值，
∴，故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】因为，故有，，
又，在处的切线方程为，
，，在处的切线方程为．
10．【答案】AD
【解析】由题意可得，
，即：，解得，函数的单调递增区间为，
，即：，解得，
函数的单调递减区间为和．
11．【答案】ABC
【解析】因为，故有，，
又，在处的切线方程为；，
又，故．
12．【答案】AC
【解析】设，则，
故函数在上单调递增，且，，
故，∴，而，∴，
故A正确，B错误；
，故，
所以，，故C正确，D错误．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】，
【解析】，．
14．【答案】
【解析】当时，，则，
又因为为偶函数，所以，所以，
则切线斜率为，所以切线方程为，即．
15．【答案】
【解析】显然，由，得，
由，得，则．
令，由，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
∴，因此的最小值为．
16．【答案】
【解析】由题意：存在，，使得成立，
等价于，
因为，，所以当时，，
因为，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
又，所以或．
故实数的取值范围是，故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）．
（2）
．
（3）
．
18．【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1），则定义域．
（2）解法一：．
由复合函数单调性知在上单调递增，而，
由，知，故当时，，；
当时，，；
当时，．
解法二：．
由复合函数单调性知在上单调递增，，
故，
由在上单调递增，，
知时，；当时，；
当时，．
19．【答案】当时，总路径最短．
【解析】连接，过作垂足为，过作垂足为，
设，，
若，在中，，，
若，则，，
若，则，，
∴，
在中，，，，，
所以总路径长，，，
令，．
当时，；当时，，
所以当时，总路径最短，
答：当时，总路径最短．
20．【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．
【解析】（1），令，即与有两个交点，
∵，∴时，，递减；时，，递增，
∴，时，；时，，
∴时，函数有两个不同的零点．
（2）不妨令，要证，只要证，
又，∴只要证，
又，令，∴，，
∴只要证，只要证，
令，即证，
∵，∴在递增，∴，∴不存在．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由已知得且，
当是奇数时，，则在上是增函数；
当是偶数时，则，
所以当时，；当时，，
故当是偶数时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）若，则，
记，
则，
若方程有唯一解，即有唯一解．
令，得，
因为，，所以(舍去)，．
当时，，在是单调递减函数；
当时，，在上是单调递增函数，
所以当时，．
因为有唯一解，所以，
则，即，
两式相减得，
因为，所以(*)．设函数，
因为在时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程(*)的解为，从而解得．
22．【答案】（1），，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，，的奇偶性及①，
得②．
联立①②解得，．
当时，，，故③．
又由基本不等式，有，即④；
（2）由（1）得⑤，⑥，
当时，等价于⑦，
等价于⑧．
设函数．
由⑤⑥，有．
当时，（i）若，
由③④，得，故在上为增函数，从而，
即，所以⑦式成立．
（ii）若，由③④，得，
故在上为减函数，从而，
即，所以⑧式成立．
综合⑦⑧，得．
一元函数的导数及其应用（A）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．有一块边长为的正三角形铁皮，从它的三个角剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，如下图示，则这个容器最大容积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知可导函数满足，则当时，和大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变化成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯的衰变过程中，其含量(单位：太贝克)与时间(单位：年)满足函数关系：，其中为时铯的含量．已知时，铯含量的变化率是(太贝克/年)，则
=（ ）
A．太贝克 B．太贝克
C．太贝克 D．太贝克
5．已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，（为常数）则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的极大值为，极小值为，则的值（ ）
A．与有关，且与有关 B．与无关，且与有关
C．与无关，且与无关 D．与有关，且与无关
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线斜率为
B．在处的切线方程为
C．在处的切线斜率为
D．在处的切线方程为
10．已知函数，关于函数单调性说法正确的有（ ）
A．函数在单调递减 B．函数在单调递减
C．函数在单调递增 D．函数在单调递增
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线斜率为
B．在处的切线方程为
C．在处的切线斜率为
D．在处的切线斜率倾斜角为
12．若定义在上的函数满足，其导函数满足
，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数，则由变到时，函数的增量为__________，平均变化率为__________．
14．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为__________．
15．已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为__________．
16．已知函数，，若当时，存在，，使得成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
18．（12分）设函数．
（1）求及的定义域；
（2）若，试判断与的大小．
19．（12分）如图，某广场中间有一块边长为百米的菱形状绿化区，其中是半径为百米的扇形，．管理部门欲在该地从到修建一条小路：在弧上选一点(异于、两点)，过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路弧与及的总长最小？并说明理由．
20．（12分）已知函数，若函数有两个不同的零点，．
（1）求的范围；
（2）是否存在，使得，若存在，求，(写出一组即可)，若不存在请提供证明．
21．（12分）已知函数（，，）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，关于的方程有唯一解，求的值．
22．（12分）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数．，其中为自然对数的底数．
（1）求，的解析式，并证明：当时，，；
（2）设，，证明：当时，．
达标检测卷
一元函数的导数及其应用（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】∵函数，∴，
∵，∴，即，故选B．
2．【答案】C
【解析】根据题意，设正三棱柱容器的底面边长为，由于铁皮是边长为的正三角形铁皮，
那么从三个角剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，
可知容器高为，
箱子的容积为，
令，得，
∴，；，，
故可知函数在时取得最大值为．
3．【答案】B
【解析】，∴，∴，
∴，
所以函数为增函数，
∵，∴，∴，∴．
4．【答案】D
【解析】，
由题意，解得，
那么．
5．【答案】D
【解析】由题意可知的两个不同解都在区间内．
因为，所以根据导函数图象可得，
又，解得．
6．【答案】D
【解析】的导函数为．
7．【答案】C
【解析】∵，∴在恒成立，
即在恒成立．
令，则，
令，得；令，得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴实数的取值范围为．
8．【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，当时，；当时，；
当时，，
因此当时，取极大值；当时，取极小值，
∴，故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】因为，故有，，
又，在处的切线方程为，
，，在处的切线方程为．
10．【答案】AD
【解析】由题意可得，
，即：，解得，函数的单调递增区间为，
，即：，解得，
函数的单调递减区间为和．
11．【答案】ABC
【解析】因为，故有，，
又，在处的切线方程为；，
又，故．
12．【答案】AC
【解析】设，则，
故函数在上单调递增，且，，
故，∴，而，∴，
故A正确，B错误；
，故，
所以，，故C正确，D错误．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】，
【解析】，．
14．【答案】
【解析】当时，，则，
又因为为偶函数，所以，所以，
则切线斜率为，所以切线方程为，即．
15．【答案】
【解析】显然，由，得，
由，得，则．
令，由，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
∴，因此的最小值为．
16．【答案】
【解析】由题意：存在，，使得成立，
等价于，
因为，，所以当时，，
因为，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
又，所以或．
故实数的取值范围是，故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）．
（2）
．
（3）
．
18．【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1），则定义域．
（2）解法一：．
由复合函数单调性知在上单调递增，而，
由，知，故当时，，；
当时，，；
当时，．
解法二：．
由复合函数单调性知在上单调递增，，
故，
由在上单调递增，，
知时，；当时，；
当时，．
19．【答案】当时，总路径最短．
【解析】连接，过作垂足为，过作垂足为，
设，，
若，在中，，，
若，则，，
若，则，，
∴，
在中，，，，，
所以总路径长，，，
令，．
当时，；当时，，
所以当时，总路径最短，
答：当时，总路径最短．
20．【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．
【解析】（1），令，即与有两个交点，
∵，∴时，，递减；时，，递增，
∴，时，；时，，
∴时，函数有两个不同的零点．
（2）不妨令，要证，只要证，
又，∴只要证，
又，令，∴，，
∴只要证，只要证，
令，即证，
∵，∴在递增，∴，∴不存在．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由已知得且，
当是奇数时，，则在上是增函数；
当是偶数时，则，
所以当时，；当时，，
故当是偶数时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）若，则，
记，
则，
若方程有唯一解，即有唯一解．
令，得，
因为，，所以(舍去)，．
当时，，在是单调递减函数；
当时，，在上是单调递增函数，
所以当时，．
因为有唯一解，所以，
则，即，
两式相减得，
因为，所以(*)．设函数，
因为在时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程(*)的解为，从而解得．
22．【答案】（1），，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，，的奇偶性及①，
得②．
联立①②解得，．
当时，，，故③．
又由基本不等式，有，即④；
（2）由（1）得⑤，⑥，
当时，等价于⑦，
等价于⑧．
设函数．
由⑤⑥，有．
当时，（i）若，
由③④，得，故在上为增函数，从而，
即，所以⑦式成立．
（ii）若，由③④，得，
故在上为减函数，从而，
即，所以⑧式成立．
综合⑦⑧，得．