数学人教A版选择性必修第一册第三单元圆锥曲线的方程 检测卷 B卷（Word含解析）

选择性必修第一册第三单元达标检测卷
圆锥曲线的方程（B）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若椭圆的一个焦点是，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
4．若双曲线（，）的一条渐近线方程为，
则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知离心率为的双曲线（，）与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为，则下列说法正确的有（ ）
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．小于 D．的内切圆半径为
10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
11．为椭圆上的动点，过作切线交圆于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离小，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹曲线是一条线段
B．点的轨迹与直线是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点在双曲线（）上，则双曲线的离心率是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标是 ．
15．设点是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点的坐标为，则的最小值为________．
16．抛物线上一点到焦点的距离等于，则 ；点的坐标为 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）等轴双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求该双曲线的离心率和焦点坐标．
18．（12分）已知双曲线．
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
19．（12分）已知椭圆（）的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
20．（12分）已知椭圆（）的离心率为，焦距为．直线与椭圆有两个不同的交点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线方程为，先用表示，然后求其最大值．
21．（12分）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．
（1）求的长轴长；
（2）设直线与交于，两点（在的右侧），为原点，求．
22．（12分）已知抛物线（）上的点到原点的距离和到该抛物线准线的距离均为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与坐标轴交于点，点（异于点）是准线上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求证：．
达标检测卷
圆锥曲线的方程（B）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由，得，
又椭圆的一个焦点为，故，解得，故选B．
2．【答案】D
【解析】∵椭圆的焦点在轴上，∴，，
∵焦距为，∴，即，
在椭圆中：，即，解得，
故选D．
3．【答案】C
【解析】∵表示焦点在轴上的椭圆，
∴，解得，故选C．
4．【答案】A
【解析】由题得，所以，，
∴，，所以，所以，
所以，，，
所以双曲线的离心率，故选A．
5．【答案】C
【解析】∵双曲线（，）与椭圆有公共焦点，
由椭圆，可得，∴，
∵双曲线离心率，
∴，，
∴双曲线的方程为，故选C．
6．【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，
而渐近线方程为，故，
故双曲线的方程为，故，，
所以离心率，故选A．
7．【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，
因此，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，
故选C．
8．【答案】A
【解析】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABCD
【解析】因为双曲线，所以，
又因为，所以，
将其代入，得，即，所以选项A正确；
所以的坐标为，
由对称性可知，
由双曲线定义可知，
所以，所以选项B正确；
因为，所以，即，
所以，所以选项C正确；
因为，所以，所以选项D正确，
故选ABCD．
10．【答案】BCD
【解析】易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确；
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别做准线的垂直线，，，
垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确，
故选BCD．
11．【答案】AC
【解析】根据题意，作图如下：
不妨设点的坐标为，点坐标为，
故切点所在直线方程为，
又点为椭圆上的一点，
故切线方程所在直线方程为；
故可得，．即，，
不妨设直线交于点，故，
设直线方程为，故，
又，
故可得三角形的面积
，
当且仅当，且时，即，时取得最大值．
因为点在椭圆上，故，
又，，故可得，整理得．
故动点的轨迹方程为，
故选AC．
12．【答案】BCD
【解析】由题意可得，点到点的距离比到直线的距离小，
即等价于“点到点的距离等于到直线的距离”，
故点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
其方程是，故A错误；
点的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确；
要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，消去并整理得，
因为，无解，
所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，消去并整理得，
因为，有解，
所以是“最远距离直线”，故D正确，
故选BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由题意可得，解得，所以，
故双曲线的离心率是，
故答案为．
14．【答案】
【解析】抛物线的方程为，故且焦点为，
设，则到焦点的距离，故，
故答案为．
15．【答案】
【解析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，
所以，要求取得最小值，即求取得最小，
当、、三点共线时最小为，
故答案为．
16．【答案】，
【解析】因为焦点，所以，
设点，根据抛物线的定义得，解得，
所以点的坐标为，
故答案为；．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2），，．
【解析】（1）设双曲线方程为（），
因为等轴双曲线过点，
所以将代入（）得，
所以等轴双曲线的标准方程为．
（2）因为该双曲线是等轴双曲线，所以，
∵，，
因为等轴双曲线焦点在轴上，所以焦点坐标为，．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）当时，双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为．
（2）因为，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
19．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由，，，解得，，
所以，椭圆的方程为．
（2）设过的直线方程为，
代入椭圆的方程，化简得，显然．
设，，则，，
从而，
所以，解得，
所以直线的方程为或．
20．【答案】（1）；（2），最大值为．
【解析】（1）由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
由，得，
由直线与椭圆交于两点，故可得，解得，
又，，
所以
．
故当，即直线过原点时，最大，最大值为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得设椭圆的标准方程为（），
则，，
所以，则的长轴长为．
（2）由，得，解得，，
则，，故．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设抛物线的焦点为，
由抛物线上的点到原点的距离和到准线的距离均为，得，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由题意知，设点，切线方程为（）．
将其与联立消得，
所以，
化简得．
所以切点横坐标为，
又，（），
所以切点坐标为．
设两切线的斜率分别为，，则，，
且，．
所以，
即．