北师大版九年级上册相似图形培优习题（2）（Word版，附答案）

北师大版九上数学相似图形培优习题（2）
一、填空题
1.如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，连接 ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ，则 的长为 .
2.如图，矩形ABCD中，AD AB ， 点E在BC边上，且AE=AD ， DF⊥AE于点F ， 连接DE ， BF ， BF的延长线交DE于点O ， 交CD于点G ． 以下结论：①AF=DC ， ②OF：BF=CE：CG ， ③S△BCG S△DFG ， ④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ．
3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的一点，EF＝BE＋DF，在△AEF内部有一点P，且∠APE＝∠APF＝120°，PA＝2 ＋2，PE＝4，则PF2＝ .
4.如图，在 中， .点D为 边上一点，将 沿 翻折得到 交 于点E.已知 平分 ，则 .
5.如图，在矩形 中， ， 为边 上两点，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 上的 处，且 ，再将矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的 处，折痕交 于点 ，将矩形 再沿 折叠， 与 恰好重合，已知 ，则 ．
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC ， 点F在线段BE上．BF＝3 ．过点F作FG⊥DF交BC边于点G ， 交BD边于点H ， 则GH＝ ．
7.如图，在矩形 中， ，E为 上一点，将 沿 折叠，使点C正好落在 边上的F处，作 的平分线交 于N，交 的延长线于M，若 ，则 的长为 ．
8.已知矩形 ， 是 边上一点且 是 边的中点，连接 相交于 两点，则 的面积是 .
9.如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿 折叠使点 落在 点，连接 并延长交 于点 ，连接 .若 是以 为腰的等腰三角形，则 的长为 .
10.如图，在 中， ，点D是 的中点，连结 ，过点B作 ，分别交 于点 ，与过点A且垂直于 的直线相交于点G，连结 ，给出以下几个结论：① ；② ；③点F是 的中点；④ .其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）.
11.如图，矩形纸片 ，点E在边 上，连接 ，点F在线段 上，且 ，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为 ，若 ，则折痕 的长为 ．
12.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形（ ……）有一条腰在同一直线上，设 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，……，则：
（1） ________；
（2） ________．（用含n的代数式表示）
13.如图，在边长为8的正方形 中，点E、F分别是 、 的中点， 、 交于点G， 的中点为H，连接 、 .给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE ， 使点B落在点F处，连接AF ， 则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是 ．
15.如图， 为 的 边上的点、且 ，中线 被 截得的三线段为 ，则 ________
16.如图，在边长为4正方形 中，以 为腰向正方形内部作等腰 ，点 在 上，且 ．连接 并延长，与 交于点 ，与 延长线交于点 ．连接 交 于点 ．若 ，则 ________．
17.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰 和等腰 ，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：① ；②CD= BE；③MP MD=MA ME；④2CB2=CP CM.其中正确的是________（请填上序号）.
二、解答题
18.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点 M 为 AB 边的中点，点 N 为射线 AC 上一点，连接 BN，过点 C 作 CD⊥BN 于点 D，连接 MD，作∠BNE＝∠BNA，边 EN 交射线 MD 于点 E，若 AB＝20 ，MD＝14 ，求则 NE 的长
19.如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
20.如图
问题背景如图（1），已知 ，求证： ；
尝试应用如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 ，点 在 边上， ，求 的值（提示；连接 ）；
拓展创新如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长．
21.如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
22.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
23.已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ．
（1）如图1， ， 分别是 ， 上的点， 与 的延长线相交于点 ．若 ，求证： ；
（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ，
①求证： ；
②当 时，求 的长．
24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 ， 旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1 ， AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1 ．
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1 ． 判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1 ， 设AC1=kBD1 ． 请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
三、综合题
25.如图
（1）.如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F ． 求证：AD=BE；
（2）.如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，直线AD和直线BE交于点F ．
①求证：AD＝ BE；
②若AB＝BC＝3 ， DE＝EC＝ ，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，在图3中画出图形，并求BF的长度．
26.已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是________；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
27.如图，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点 ， 的平分线 交 于点 .
（1）如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是________， ________；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点 作 交 于点 ，连接 ， .
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
（3）如图3，若 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，请直接写出 的值（用含 的式子表示）.
28.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE.
（1）.点F恰好在AD上；
①如图1，若∠FEB＝75°，求出AB：BC的值.
②如图2，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝ BC时，求出AB：BC的值.
（2）.E从C到D的运动过程中.
①如图3，若AB＝5，BC＝8，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离；
②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长.
29. 中， ， ， 、 分别为 、 中点，连接 与 的角平分线 交于点 ，连接 ．
（1）如图，求证： ．
（2）取 中点 ，连接 、 ， 与 交于点 ，如图．

①求证： ；
②求 的值．
30.已知 ， 的顶点A在 上，顶点B在 上，且 ， .连接 ，与 交于点D.
（1）.如图1，若 ，求证： 平分 ；
（2）.如图2，若 与 不垂直， 是否仍平分 请作出结论，并说明理由
（3）.如图3，若 ， ，求 的长.
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】
2.【答案】 ①②
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】 3
9.【答案】 或
10.【答案】 ①②④
11.【答案】
12.【答案】 （1）
（2）
13.【答案】 ①④
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】 ①②③④
二、解答题
18.【答案】 解：连接CM，过点M作MF⊥BD于F
∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点 M 为 AB 边的中点，AB＝20 ，
∴BM= AB=10 ，AC=BC=20，∠CMB=90°，∠BCM= ∠ACB＝45°
∵CD⊥BN
∴∠CDB=90°
∴∠CDB＋∠CMB=180°
∴C、M、B、D四点共圆
∴∠MDB=∠BCM=45°，∠DCB=∠BMD
∴△DMF为等腰直角三角形
∵MD＝14 ，
∴MF=DF=14
在Rt△BMF中，BF=
∴BD=BF＋DF=16
∵cos∠CBN=
即
解得：BN=25
∴DN=BN－BD=9
∵∠BNE＝∠BNA，而∠DCN＋∠BNA=90°
∴∠BNE＋∠DCN=90°
∵∠DCN＋∠DCB=90°
∴∠BNE=∠DCB
∴∠BNE=∠BMD
∵∠NDE=∠MDB
∴△NDE∽△MDB
∴
即
解得：NE=
故答案为： ．
19.【答案】 解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ ，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝ ，AC＝ BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝ ，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT cos30°＝3，AN＝PA cos30°＝ ，PN＝ PA＝ ，PC＝ PA＝ ，
∴BN＝AB﹣AN＝ ，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴ ，
∴ ，
∴CM＝ ，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴ ，
∴AF＝ AC＝ ．
故答案为 ．
20.【答案】 解：问题背景
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
尝试应用
解：如图1，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
,
又∠BDC=∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
=
∵AC=2 ，
∴BM=2 × =6，
∴AM= = =2 ,
．
21.【答案】 （1）解：PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM= BD，PN= AE，
∴PM=PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN.
（2）解：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PM∥BD；
PN= AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN
（3）解：PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴ =k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PN= AE．
∴PM=kPN．
22.【答案】 （1）解：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴ ．
∴△BMN是等腰直角三角形
（2）解：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC， ．
∵AC＝BD，
∴ ，即 ．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
23.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC⊥BD,OD=OC.
∴∠DOG=∠COE=90°.
∴∠OEC+∠OCE=90°.
∵DF⊥CE.
∴∠OEC+∠ODG=90°.
∴∠ODG=∠OCE.
∴△DOG≌△COE（ASA）.
∴OE=OG.
（2）①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°.
又OE=OG.
∴△DOG≌△COE（SAS）.
∴∠ODG=∠OCE.
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1
∴BH=1-x
∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°
∵EH⊥BC
∴∠BEH=∠EBH=45°
∴EH=BH=1-x
∵∠ODG=∠OCE
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE
∴∠HDC=∠ECH
∵EH⊥BC
∴∠EHC=∠HCD=90°
∴△CHE∽△DCH
∴ =.
∴HC2=EH·CD
得x2+x-1=0
解得x1=,x2= （舍去）.
∴HC=.
24.【答案】 解：（1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 ， ∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， ∴OC1=OD1 ， ∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1 ， 在△AOC1和△BOD1中， ∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；②AC1⊥BD1；（2）AC1⊥BD1 ． 理由如下：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 ， ∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， ∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1 ， ∴= ， ∴△AOC1∽△BOD1 ， ∴∠OAC1=∠OBD1 ， 又∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，∴∠APB=90°∴AC1⊥BD1；∵△AOC1∽△BOD1 ， ∴==== ， ∴k=；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1 ， ∴=== ， ∴k=；∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 ， ∴OD1=OD，而OD=OB，∴OD1=OB=OD，∴△BDD1为直角三角形，在Rt△BDD1中，BD12+DD12=BD2=100，∴（2AC1）2+DD12=100，∴AC12+（kDD1）2=25．
三、综合题
25.【答案】 （1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECD+∠DCB，
∴∴∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：①∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°， ， ， ，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵
∴△ACD∽△BCE，
∴ ，
∴ ；
②当点D落在线段BC上时，
如图所示
则由①得 ， ．
过点E作EH⊥BC于点H，
∴ （三线合一定理）
∴ （直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ．
∴ ．
同①原理可得∠ACD＝∠BCE＝45°， ，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠BFD＝∠ACD＝45°．
∴∠BFD＝∠BCE＝45°．
又∵∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△BEC．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
26.【答案】 （1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
27.【答案】 （1）ED=BD；
（2）解：①正方形，理由如下：
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴四边形 为正方形；
②显然，在正方形 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由（1）得： 则 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：同（2）中①理， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为菱形，
∵ 为等边三角形，
∴ ，菱形的边长也为2，
由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，
如图，作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴
28.【答案】 （1）解：①如图1中，设 .
∵四边形 是矩形，
∴
由翻折的性质可知，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴ .
②过点N作NG⊥BF于点G，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2 ，
∴ ，
解得 .
∴ .
∴
（2）解：①如图3﹣1中，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠BAD＝∠ABD＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，
∵MH⊥AB，MK⊥AD，
∴∠H＝∠HAK＝∠AKM＝90°，
∴四边形AKMH是矩形，
∴AH＝MK，
∵BM平分∠ABF，
∴∠MBH＝∠MBF，
∵∠H＝∠AFM＝90°，BM＝BM，
∴△BMH≌△BMF（AAS），
∴BH＝BF，
∵BF＝BC＝8，
∴BH＝BC＝8，
∴MK＝AH＝BH﹣AB＝8﹣5＝3，
∴M到AD的距离为3.
②如图3﹣2中，当点E与D重合时，
∵△BMH≌△BMF，
∴MH＝MF，
设MH＝MF＝m，
∵四边形AHGD是矩形，
∴AH＝DG＝3，GH＝AD＝8，∠G＝90°，
∵CD＝DF＝5，GM＝GH﹣HM＝8﹣m，
在Rt△DGM中，则有 ，
解得m＝ ，
∴GM＝8﹣ ＝ ，
观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG，
∴点M的运动的路径的长为
29.【答案】 （1）∵ ， ，
∴ =45°，
∵BF平分 ，
∴ ，
∵ 、 为 、 中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴∠BGD=22.5°，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①作 交 于点 ，
∵H为BC中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠AHB=90°，AH=BH，
由（1）得∠AGB=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ =22.5°，
∵∠AHG+∠AHM=∠GHM=90°，∠BHM+∠AHM=∠AHB=90°，
∴∠AHG=∠BHM，
在△AHG和△BHM中， ，
∴△AHG≌△BHM，
∴ ，GH=MH，
∴△GHM是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
②如图，过点F作FN⊥BC于N，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点H为BC中点，
∴AH=BH，AH⊥BC，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AB= BH，BC=2BH，
∵DE为△ABC中位线，
∴DE= ，△ADE为等腰直角三角形，
∴AE= ，
∵BF为∠ABC的角平分线，FN⊥BC，∠BAC=90°，
∴FN=AF，∠ABF=∠HBP，
∵AH⊥BC，
∴∠BAF=∠BHP=90°，
∴△ABF∽△HBP，
∴ ，即PH= ，
∵S△ABC= AF·AB+ BC·FN= AB2 ，
∴ BH·AF+2BH·AF=2BH2 ，
∴AF=（2- ）BH，
∴EF=AE-AF= ，
．
30.【答案】 （1）证明： ， ， ，
，
，
.
又 ， ，
平分
（2）解： 仍平分 .
理由如下：如图1，作 ， .
，
.
又 ，
.
又 ，
.
.
又 ， ，
平分 .
（3）解：如图2，作 ，垂足为H.
由（2）知， 平分 ，
.
， ，
.
.
又 ，
.
.
，
设 ，则 ，
， .
.
在 中， .
， ，
， .
在 中， .