福建省龙岩一中2011-2012高二第四学段（模块）考试数学理

龙岩一中2011—2012学年第四学段（模块）考试
高二数学（理科）
时间120分钟 满分150分
命题人：马洪亮 审题人：庄炯林
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有一个项是符合题目要求的，把正确的代号填在答题卡指定的位置上。
1．已知全集，，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
3.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )
A．62 B．63
C．64 D．65
4.设函数 若是奇函数，
则的值是 （ ）
A. B. C. D. 4
5．下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
6. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 （ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像大致是（ ）
( )
4 9
p 0.5 0.2 b
A.5 B. 6 C.7 D. 8
9. 下列说法中正确的是 （ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“”与“ ”不等价
C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
10. 若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11.已知函数，则 .
12.已知随机变量，若，则
13. 一枚伍分硬币连掷3次，只有1次出现正面的概率为_________
14. 甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队员参与．若事件A发生的概率P＜，则n的最小值是_____________．
15．设奇函数上是单调函数，且若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。
16．（本小题满分13分）
已知矩阵对应的线性变换把点变成点，求矩阵的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量。
17．（本小题满分13分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为对数），求曲线截直线所得的弦长。
18． (本小题满分13分)解不等式
19．(本小题满分13分)
为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额，为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企业。一下图表给出了有关数据（将频率看做概率）
任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率；
对照标准，企业进行了整改。整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列。要使所属企业获得贷款的平均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？
20．（本题满分14分）已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
21．（本题满分14分） 已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）＝x3－x2＋ax．
（Ⅰ）当a＝2时，求f （x）的极小值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝x3＋bx2－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．求证：g（x）的极大值小于等于．
龙岩一中2011—2012学年第四学段（模块）考试
高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题：（共50分）
1. D 2.C 3. C 4. A 5.D 6.D 7.B 8 B 9.D． 10. C
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11. 2 12. 0.36 13. 14. 20 15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。
16. （本小题满分13分）解：由，得
矩阵的特征多项式为
令，得矩阵的特征值
对于特征值，解相应的线性方程组 得一个非零解
因此，=是矩阵的属于特征值的一个特征向量 …………13分
注：写出的特征向量只要满足，即可
17. （本小题满分13分）解：由可化为直角坐标方程
参数方程为（为对数）可化为直角坐标方程
联立（1）（2）得两曲线的交点为
所求的弦长 …………13分
18 (本小题满分13分)解不等式
解：当时，原不等式可化为
，解得或
当时，原不等式可化为
，解得或
当时，原不等式可化为
，解得
综上所述，原不等式的解集为 …………13分
19. (本小题满分13分)
解：（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p1、p2、p3、p4
则根据频率分布直方图可知：
(2) 设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为
,
…………13分
20．（本题满分14分）
解：由，得，
或.
由，得. 或
是的必要不充分条件， …………14分
21．（本题满分14分）
（Ⅰ） 解: 当a＝2时，f ′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）．
列表如下：
x （－，1） 1 （1，2） 2 （2，＋）
f ′（x） ＋ 0 － 0 ＋
f （x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，f （x）极小值为f （2）＝． …………………………………5分
（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．
g ′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝．
令p（x）＝3x2＋（2b＋3）x－1，
（1） 当 1＜a≤2时，
f （x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，
即3a2＋（2b＋3）a－1＝0，
即b＝，
此时g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b
＝－3＋ ＝．
由于1＜a≤2，
故 ≤2－－＝．………………………………10分
（2） 当0＜a＜1时，f （x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，
由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，
即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．
此时g（x）的极大值点x＝x1，
有 g（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1
＝（x12－2x1）b－4x1＋1　 （x12－2x1＜0）
＜－（x12－2x1）－4x1＋1
＝－x12＋x1＋1＝－（x1－）2＋1＋ （0＜x1＜1）≤＜．
综上所述，g（x）的极大值小于等于． ……………………14分
x
y
O
D．
x
y
O
B．
x
y
O
A．
x
y
O
C．