福建省龙岩一中2011-2012学年高二第四学段（期末）考试数学（文）试题

龙岩一中2011-2012学年高二第四学段（期末）考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
1. 已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 如果，，那么“”是“”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
5. 右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7. 奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8. 设已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
9．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
．　　　 ．　　　 ．　　　　 ．
10. 函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为，则函数图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
11. 将的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是（ ）
A．esin= cos B．sin= ecos C．esin=l D．ecos=1
12. 若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素
B．没有最大元素，也没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．有一个最大元素，没有最小元素
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
13.已知函数，则 .
14. 已知、为互相垂直的单位向量，非零向量，若向量与向量、的夹角分别为、，则
15.已知三次函数的图象如图所示，
则　 　．
16. 定义在R上的函数，其图象是连续不断的，如果存在非零常数（∈R，使得对任意的xR，都有f（x+）=f（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．
①若函数是倍增系数=-2的倍增函数，则至少有1个零点；
②函数是倍增函数，且倍增系数=1；
③函数是倍增函数，且倍增系数∈（0，1）；
④若函数是倍增函数，则
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)
17（本题12分）. 已知中，，为斜边上靠近顶点的三等分点.
（I）设，求；
（II）若，求在方向上的投影.
18（本题12分）. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在ABC中，已知， ，，求角A.
经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案是唯一确定的，试将条件补充完整，并说明理由.
19（本题12分）. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①；②；③．（以上三式中、均为常数，且）
（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
（II）若，，求出所选函数的解析式（注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此类推）；
（III）在（II）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．
20（本题12分）.
已知函数（）的部分图像， 是这部分图象与轴的交点（按图所示），函数图象上的点满足：.
（Ⅰ）求函数的周期；
（Ⅱ）若的横坐标为1，试求函数的解析式，并求的值.
21（本题12分）
已知函数．
（I）判断的奇偶性；
（Ⅱ）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
（Ⅲ）若，证明：方程有两个不同的正数解．
22（本题14分）. 已知函数（），．
（Ⅰ）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；
（Ⅲ）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由．
龙岩一中2011—2012学年第四学段考试
高二数学（文科）答案
时间120分钟 满分150分
命题人：连亮曦 审题人：许元琰
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B B D A C B D C D B C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
（II）过C作于，则由射影定理得 ∴
又因为在方向上的投影为负，故在方向上的投影为…………12分
18（本题12分）
（1），-------5分
检验：又，且，
----------------10分
检验：又，且，所以--12分
19（本题12分）.
又,在上单调递增，在上单调递减.-------11分
所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. -------12分
20（本题12分）.
解（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：，
（Ⅱ），， ……….7分
又函数过点，， …………8分
.
，， ， ， . …..10分
，
则. …….12分
21（本题12分）.
当，即时，函数在上是增函数，所以；
当，即时，函数在上是减函数，在上是增函数，
所以；……（5分）
综上， ．……（7分）
（III）证法一：
若，则时，，方程可化为，
即．……（8分）
令，，在同一直角坐标系中作出函数 在时的图像．…………（9分）
因为，，所以，即当时
函数图像上的点在函数图像点的上方．……（11分）
所以函数与的图像在第一象限有两个不同交点．
函数图像点的上方．…………（11分）
所以函数与的图像在第四象限有两个不同交点．
所以方程有两个不同的正数解．…………（12分）
22（本题14分）
解：（Ⅰ），，
∴， --------------------------2分
依题意得 ，∴． --------------------------3分
设， -------------------4分
则，
令，得， ---------------------------------------6分
列表得
递减 极小 递增
∴时，取极小值也是最小值，且，
∵，，由得，，
即，∴，--------------9分
∵的定义域为，
当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；---10分
∴，即，----------------------------11分
下面研究满足此等式的值的个数：
（方法一）由得 ，
设函数，，
令得，当时，递增；
(方法二)设，则，且，方程化为，
分别画出和的图象，因为时，，
由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点（且均符合），
所以方程有且只有两个解．
O
x
y
2