5.4 多边形的内角和与外角和（20张ppt）
文档属性
| 名称 | 5.4 多边形的内角和与外角和（20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 660.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-06 23:35:14 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
第五章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
知识点一 多边形的内角和定理
内容 n边形的内角和等于（n-2）·180°
要点解读 （1）多边形内角和公式的推导方法多种多样（如图），但都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决.
（2）n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边，其内角和增加180°.
（3）任意多边形的内角和都是180°的整数倍
特别提醒 正n边形每个内角的度数是
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
解析 （1）∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
∴十边形的内角和为（10-2）×180°＝1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180＝1800，解得n＝12，
故这个多边形的边数为12.
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
解析 （1）∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
∴十边形的内角和为（10-2）×180°＝1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180＝1800，解得n＝12，
故这个多边形的边数为12.
方法归纳 （1）运用多边形内角和定理可以求出任意边数的多边形的内角和（2）已知多边形的内角和，根据多边形内角和定理列方程，求出边数.
知识点二 多边形外角的定义、外角和定理
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角.
2.多边形的外角和定理
内容 证明过程 应用
多边形 的外角 和定理 多边形的外角和等于360° 多边形的每个内角与和它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和等于n·180°，外角和等于n·180°-（n-2）×180°＝360° （1）已知外角度数求正多边形的边数.
（2）已知正多边形的边数求外角度数
温馨提示 （1）n边形的外角和与边数无关，总是等于360° （2）正n边形的每个内角都相等，为，则每个外角都相等，因为其外角和为360°，所以正n边形的每个外角的度数为 例2（1）一个多边形的每个外角都是45°，求它的边数；
（2）某多边形的内角和与外角和之和为1080°，求该多边形的边数.
例2（1）一个多边形的每个外角都是45°，求它的边数；
（2）某多边形的内角和与外角和之和为1080°，求该多边形的边数.
分析 （1）根据多边形外角和定理列一元一次方程即可求解；
（2）由任意多边形的外角和等于360°，可求出多边形的内角和，再根据多边形内角和定理可求出边数.
解析 （1）设这个多边形的边数为n，由多边形外角和定理得45°·n＝360°，解得n＝8，所以这个多边形的边数为8.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°＋360°＝1080°，即（n-2）·180°＝720°，所以n-2＝4，所以n＝6.所以这个多边形的边数为6.
解析 （1）设这个多边形的边数为n，由多边形外角和定理得45°·n＝360°，解得n＝8，所以这个多边形的边数为8.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°＋360°＝1080°，即（n-2）·180°＝720°，所以n-2＝4，所以n＝6.所以这个多边形的边数为6.
方法归纳 当已知一个正多边形的一个外角的度数求多边形的边数时，通常根据多边形的外角和定理来解答，并且与多边形内角和与外角和有关的问题，通常借助方程思想来解答.
经典例题
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
解析 设原多边形的边数为n，则增加一条边后的边数为n＋1.由题意得（n＋1-2）×180＝1440°，解得n＝9.
故原多边形的边数为9.
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
解析 设原多边形的边数为n，则增加一条边后的边数为n＋1.由题意得（n＋1-2）×180＝1440°，解得n＝9.
故原多边形的边数为9.
点拨 本题也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180°这一规律来解答，即原多边形的内角和为1440°180°，若设原多边形的边数为n，则可得方程（n-2）×180°＝1440°-180°，解得n＝9.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
解析 设此多边形的边数为n，∠A的度数为a，
则（n-2）·180°＝2190°＋a，即（n-2）·180°＝12×180°＋30°＋a，
∴n-2＝13，30°＋a＝180°,则n＝15，a＝150°.
故这个多边形的边数是15，∠A的度数是150°.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
解析 设此多边形的边数为n，∠A的度数为a，
则（n-2）·180°＝2190°＋a，即（n-2）·180°＝12×180°＋30°＋a，
∴n-2＝13，30°＋a＝180°,则n＝15，a＝150°.
故这个多边形的边数是15，∠A的度数是150°.
点拨 解此类问题时，要注意多边形的内角和为180°的整数倍.
第五章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
知识点一 多边形的内角和定理
内容 n边形的内角和等于（n-2）·180°
要点解读 （1）多边形内角和公式的推导方法多种多样（如图），但都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决.
（2）n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边，其内角和增加180°.
（3）任意多边形的内角和都是180°的整数倍
特别提醒 正n边形每个内角的度数是
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
解析 （1）∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
∴十边形的内角和为（10-2）×180°＝1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180＝1800，解得n＝12，
故这个多边形的边数为12.
例1 （1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是________.
解析 （1）∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
∴十边形的内角和为（10-2）×180°＝1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180＝1800，解得n＝12，
故这个多边形的边数为12.
方法归纳 （1）运用多边形内角和定理可以求出任意边数的多边形的内角和（2）已知多边形的内角和，根据多边形内角和定理列方程，求出边数.
知识点二 多边形外角的定义、外角和定理
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角.
2.多边形的外角和定理
内容 证明过程 应用
多边形 的外角 和定理 多边形的外角和等于360° 多边形的每个内角与和它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和等于n·180°，外角和等于n·180°-（n-2）×180°＝360° （1）已知外角度数求正多边形的边数.
（2）已知正多边形的边数求外角度数
温馨提示 （1）n边形的外角和与边数无关，总是等于360° （2）正n边形的每个内角都相等，为，则每个外角都相等，因为其外角和为360°，所以正n边形的每个外角的度数为 例2（1）一个多边形的每个外角都是45°，求它的边数；
（2）某多边形的内角和与外角和之和为1080°，求该多边形的边数.
例2（1）一个多边形的每个外角都是45°，求它的边数；
（2）某多边形的内角和与外角和之和为1080°，求该多边形的边数.
分析 （1）根据多边形外角和定理列一元一次方程即可求解；
（2）由任意多边形的外角和等于360°，可求出多边形的内角和，再根据多边形内角和定理可求出边数.
解析 （1）设这个多边形的边数为n，由多边形外角和定理得45°·n＝360°，解得n＝8，所以这个多边形的边数为8.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°＋360°＝1080°，即（n-2）·180°＝720°，所以n-2＝4，所以n＝6.所以这个多边形的边数为6.
解析 （1）设这个多边形的边数为n，由多边形外角和定理得45°·n＝360°，解得n＝8，所以这个多边形的边数为8.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°＋360°＝1080°，即（n-2）·180°＝720°，所以n-2＝4，所以n＝6.所以这个多边形的边数为6.
方法归纳 当已知一个正多边形的一个外角的度数求多边形的边数时，通常根据多边形的外角和定理来解答，并且与多边形内角和与外角和有关的问题，通常借助方程思想来解答.
经典例题
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
解析 设原多边形的边数为n，则增加一条边后的边数为n＋1.由题意得（n＋1-2）×180＝1440°，解得n＝9.
故原多边形的边数为9.
题型一 应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.
解析 设原多边形的边数为n，则增加一条边后的边数为n＋1.由题意得（n＋1-2）×180＝1440°，解得n＝9.
故原多边形的边数为9.
点拨 本题也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180°这一规律来解答，即原多边形的内角和为1440°180°，若设原多边形的边数为n，则可得方程（n-2）×180°＝1440°-180°，解得n＝9.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
解析 设此多边形的边数为n，∠A的度数为a，
则（n-2）·180°＝2190°＋a，即（n-2）·180°＝12×180°＋30°＋a，
∴n-2＝13，30°＋a＝180°,则n＝15，a＝150°.
故这个多边形的边数是15，∠A的度数是150°.
题型二 求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，求出这个多边形的边数及∠A的度数.
解析 设此多边形的边数为n，∠A的度数为a，
则（n-2）·180°＝2190°＋a，即（n-2）·180°＝12×180°＋30°＋a，
∴n-2＝13，30°＋a＝180°,则n＝15，a＝150°.
故这个多边形的边数是15，∠A的度数是150°.
点拨 解此类问题时，要注意多边形的内角和为180°的整数倍.