一元二次方程导学案
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文档简介
22.1.1 《 一元二次方程 （1）》学案
学习内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
学习目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
学习过程：
一、自主学习：
（一）、根据题意列方程：
（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .
（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？
（二）、探索新知：
（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？
① ；② ；③ 。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有 ___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数， ）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 ，为 ，为 。
（三）、注意点：
(1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？
（四）、自我尝试：
1、下列列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
（1） （2） （3）
（4） （5）
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，P25页到27页，反思自主学习情况。
二、巩固练习：课本27页练习1、2题
三、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习: 方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
四、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
五、布置作业
1．教材P28 习题22．1 1、(2)(4)(6) 2
2．选用作业设计．补充:若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
4．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
：
22.1.2 《一元二次方程（2）》学案
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程：
一、自主学习：
（一）复习引入：
1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)
2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得________ ． 整理，得_____ _ __．
（二）探索新知：
1．下面哪些数是上述方程的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 _____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：
(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)
(2)
4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) (2) (3)
（三）、注意点：使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
（四）、自我尝试：
1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
2、已知方程的一个根是1，则m的值是______
（五）阅读课本，27页到28页，反思自主学习情况。
六、应用拓展
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
作业设计
一、填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
三、综合提高题
如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在
（）2-2x+1=0，令 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．
22.2.1 《用直接开平方法解一元二次方程》学案
学习内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
学习目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
学习过程：
一、自主学习
（一）、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2－8x+______=（x－______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的 面积等于8cm2？
（二）探索新知：
1、36的平方根是________,的平方根是____________。
2、若，则=______________；若，则=__________。
（三）、归纳概括：
1、形如或的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，
或。
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化
为两个一元一次方程。
（四）、自我尝试
解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
（五）阅读课本，30页到31页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P31 练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
五、归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
六、选用作业设计
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．
A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．（x-）2=1，x1=，x2=-
3．如果a、b为实数，满足 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
4．解关于x的方程（x+m）2=n．
5．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
22.2.1 《用配方法解一元二次方程》学案
学习内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
学习目标
1、 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤”．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
学习过程：
一、自主学习
（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：
(1) +____ = (2) ____ = (___)
(3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2
由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
（二）探索新知：请阅读教材第31页，解方程，
（三）、归纳总结：
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，31页到34页，自做例题1，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P34 练习1 2．（1）、（2）．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握： 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
1．教材P42 复习巩固2．3(1)(2)
2．选用作业设计．
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
三、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x2-4x+y2+6y+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy）z的值．
3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
22.2.2 配方法(2)
学习内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
学习目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
学习过程
一、复习引入
解下列方程：
（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0
二、探索新知
讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
三、巩固练习
教材P34 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．
四、应用拓展
例2求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.
五、布置作业
教材P42 复习巩固3．（3）（4）
1、补充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值
（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
2.作业设计
一、选择题
1．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
2．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
22.2.2《公式法》学案
学习内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
学习过程：
一、自主学习：
(一)复习提问
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
3、你能用配方法解方程吗？请尝试解
（二）归纳总结：
1、一元二次方程的根由方程的_________确定。当__________时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。
2、一元二次方程：
当 ____时，方程有实数根______________________________；
当___________时，方程有实数根______________________________；
当___________时，方程没有实数根。
（三）、注意点：
1、公式法是解一元二次方程的一般方法.
2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。
3、一元二次方程
当 时，方程有实数根:
；
当 时,方程有实数根：；
当时，方程没有实数根。
（四）、自我尝试：
1、一元二次方程的求根公式是_______________。
2、用公式法解方程：
(1) (2)
3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，34页到37页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P37练习1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P42 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
判别一元二次方程根的情况学案
学习内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
学习目标
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
学习过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
二、探索新知
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-2x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 x-=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
五、归纳小结
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
六、布置作业
1．教材P43 复习巩固6 、8、9
选用课时作业设计．
一、选择题
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
二、填空题
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．
三、综合提高题
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ）x++4=0
2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2010年投入新产品开发研究资金为4000万元，2012年销售总额为7.2亿元，求该集团2010年到2012年的年销售总额的平均增长率．
22.2.3 《因式分解法》学案
学习内容
用因式分解法解一元二次方程．
学习目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
学习过程：
自主学习
（一）创设情境，提出问题
背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9 x2。
设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s）
设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？
（二）探索新知：
对于方程10x－4.9 x2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得
=0； 于是得 或 。
所以：x1 = ，x2≈
设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？
设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？
（三）归纳总结：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，
再使________________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
2、如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
（四）、注意点：
1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
2、因式分解法的根据是：如果，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。
（五）、自我尝试：
1、说出下列方程的根：（1） （2）
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，38页到39页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习 教材P40 练习1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、布置作业 教材P43 复习巩固5 综合运用6、10 、11
第8课时作业设计
一、选择题
1．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
三、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4、培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
学习重点 根与系数的关系及其推导
学习难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
学习过程
一、复习引入
1.已知方程 x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。
2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？
3．有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=.观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b 2-4ac与-b-√b 2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程 x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结:1.根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p, x1. x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
（可以利用求根公式给出证明）
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
例2：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例3：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.
例4. 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
三、巩固练习
1.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
2.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
3.已知方程的两个根为，求的值.
22..3《实际问题与一元二次方程(1)》学案
学习内容：平均增长率问题
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
学习过程:
一、自主学习：
（一）复习巩固
1、解下列方程：
(1) (2)
2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
（二）自主探究
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
（三）归纳总结：
1、
2、平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。
（四）、自我尝试：
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
（五）阅读课本，45页到46页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、课堂检测：
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A. 720 B.
C. D.
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
22.3《实际问题与一元二次方程(2)》学案
学习内容：利润问题
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、自主学习:
（一）复习巩固：
1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。
2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。
（二）、归纳总结：
1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期 本息和=本金+利息
2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价
（2）利润率= （3） 售价=进价（1+利润率）
（三）、自我尝试：
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
（四）例题选讲
某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
二、课堂检测：
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树
6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
22.3《实际问题与一元二次方程(3)》学案
学习内容：面积问题
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、自主学习:
（一）复习巩固
1.直角三角形的面积=_________, 一般三角形的面积=________
2.正方形的面积=_____, 长方形的面积=____ 3.梯形的面积=_______
4．菱形的面积=____ 5.平行四边形的面积=_____ 6．圆的面积=_____
（二）、注意点：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程
（三）、自我尝试：
另解探究3：如果设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，如何解决此题呢？
（四）例题选讲：
例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生各设计了一种方案(如图22－3－1),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。
二、课堂检测：
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
3．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
4．如图22－3－3，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。
5.如图22－3－4所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
《一元二次方程复习》学案
复习目标：
掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。
一、自主学习:
1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
3、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，这个小组共有（ ）人 （A）7 （B）8 （C）14 （D）4
4、某辆汽车在公路上行驶，它的行驶路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为.那么行驶5km所需的时间为 h.
二、归纳总结：
1、一元二次方程的定义及一般形式
定义 ⑴只含有一个未知数 ⑵整式方程
⑶都可化为的形式
2、一元二次方程的几种解法：配方法 公式法 因式分解法
3、用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次，即降次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
三、课堂检测
1、方程的解是____________________
2、方程的解是____________________
3、填上适当的数，使等式成立。
4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=______
5.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有支队，则可得方程 .
6、已知2是关于X的方程的一个根，则的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
8、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年（2001年－2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、 解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）x(3x+1)=9x+3
10、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
11.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
若方程的二次项系数不是1，咋办？
22-3-1
22-3-3
22-3-4
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40
学习内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
学习目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
学习过程：
一、自主学习：
（一）、根据题意列方程：
（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .
（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？
（二）、探索新知：
（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？
① ；② ；③ 。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有 ___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数， ）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 ，为 ，为 。
（三）、注意点：
(1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？
（四）、自我尝试：
1、下列列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？
（1） （2） （3）
（4） （5）
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，P25页到27页，反思自主学习情况。
二、巩固练习：课本27页练习1、2题
三、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习: 方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
四、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
五、布置作业
1．教材P28 习题22．1 1、(2)(4)(6) 2
2．选用作业设计．补充:若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
4．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
：
22.1.2 《一元二次方程（2）》学案
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程：
一、自主学习：
（一）复习引入：
1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)
2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得________ ． 整理，得_____ _ __．
（二）探索新知：
1．下面哪些数是上述方程的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 _____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：
(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)
(2)
4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) (2) (3)
（三）、注意点：使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
（四）、自我尝试：
1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
2、已知方程的一个根是1，则m的值是______
（五）阅读课本，27页到28页，反思自主学习情况。
六、应用拓展
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
作业设计
一、填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
三、综合提高题
如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在
（）2-2x+1=0，令 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．
22.2.1 《用直接开平方法解一元二次方程》学案
学习内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
学习目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
学习过程：
一、自主学习
（一）、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2－8x+______=（x－______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的 面积等于8cm2？
（二）探索新知：
1、36的平方根是________,的平方根是____________。
2、若，则=______________；若，则=__________。
（三）、归纳概括：
1、形如或的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，
或。
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化
为两个一元一次方程。
（四）、自我尝试
解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
（五）阅读课本，30页到31页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P31 练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
五、归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
六、选用作业设计
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．
A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．（x-）2=1，x1=，x2=-
3．如果a、b为实数，满足 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
4．解关于x的方程（x+m）2=n．
5．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
22.2.1 《用配方法解一元二次方程》学案
学习内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
学习目标
1、 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤”．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
学习过程：
一、自主学习
（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：
(1) +____ = (2) ____ = (___)
(3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2
由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
（二）探索新知：请阅读教材第31页，解方程，
（三）、归纳总结：
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，31页到34页，自做例题1，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P34 练习1 2．（1）、（2）．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握： 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
1．教材P42 复习巩固2．3(1)(2)
2．选用作业设计．
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
三、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x2-4x+y2+6y+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy）z的值．
3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
22.2.2 配方法(2)
学习内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
学习目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
学习过程
一、复习引入
解下列方程：
（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0
二、探索新知
讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
三、巩固练习
教材P34 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．
四、应用拓展
例2求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.
五、布置作业
教材P42 复习巩固3．（3）（4）
1、补充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值
（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
2.作业设计
一、选择题
1．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
2．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
22.2.2《公式法》学案
学习内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
学习过程：
一、自主学习：
(一)复习提问
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
3、你能用配方法解方程吗？请尝试解
（二）归纳总结：
1、一元二次方程的根由方程的_________确定。当__________时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。
2、一元二次方程：
当 ____时，方程有实数根______________________________；
当___________时，方程有实数根______________________________；
当___________时，方程没有实数根。
（三）、注意点：
1、公式法是解一元二次方程的一般方法.
2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。
3、一元二次方程
当 时，方程有实数根:
；
当 时,方程有实数根：；
当时，方程没有实数根。
（四）、自我尝试：
1、一元二次方程的求根公式是_______________。
2、用公式法解方程：
(1) (2)
3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，34页到37页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习
教材P37练习1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P42 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
判别一元二次方程根的情况学案
学习内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
学习目标
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
学习过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
二、探索新知
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-2x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2- HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 x-=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
五、归纳小结
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
六、布置作业
1．教材P43 复习巩固6 、8、9
选用课时作业设计．
一、选择题
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
二、填空题
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．
三、综合提高题
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ）x++4=0
2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2010年投入新产品开发研究资金为4000万元，2012年销售总额为7.2亿元，求该集团2010年到2012年的年销售总额的平均增长率．
22.2.3 《因式分解法》学案
学习内容
用因式分解法解一元二次方程．
学习目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
学习过程：
自主学习
（一）创设情境，提出问题
背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9 x2。
设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s）
设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？
（二）探索新知：
对于方程10x－4.9 x2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得
=0； 于是得 或 。
所以：x1 = ，x2≈
设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？
设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？
（三）归纳总结：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，
再使________________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
2、如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
（四）、注意点：
1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
2、因式分解法的根据是：如果，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。
（五）、自我尝试：
1、说出下列方程的根：（1） （2）
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
（五）阅读课本，38页到39页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、巩固练习 教材P40 练习1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、布置作业 教材P43 复习巩固5 综合运用6、10 、11
第8课时作业设计
一、选择题
1．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
三、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4、培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
学习重点 根与系数的关系及其推导
学习难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
学习过程
一、复习引入
1.已知方程 x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。
2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？
3．有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=.观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b 2-4ac与-b-√b 2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程 x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结:1.根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p, x1. x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
（可以利用求根公式给出证明）
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
例2：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例3：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.
例4. 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
三、巩固练习
1.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
2.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
3.已知方程的两个根为，求的值.
22..3《实际问题与一元二次方程(1)》学案
学习内容：平均增长率问题
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
学习过程:
一、自主学习：
（一）复习巩固
1、解下列方程：
(1) (2)
2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
（二）自主探究
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
（三）归纳总结：
1、
2、平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。
（四）、自我尝试：
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
（五）阅读课本，45页到46页，反思自主学习情况。
二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。
三、课堂检测：
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A. 720 B.
C. D.
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
22.3《实际问题与一元二次方程(2)》学案
学习内容：利润问题
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、自主学习:
（一）复习巩固：
1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。
2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。
（二）、归纳总结：
1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期 本息和=本金+利息
2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价
（2）利润率= （3） 售价=进价（1+利润率）
（三）、自我尝试：
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
（四）例题选讲
某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
二、课堂检测：
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树
6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
22.3《实际问题与一元二次方程(3)》学案
学习内容：面积问题
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、自主学习:
（一）复习巩固
1.直角三角形的面积=_________, 一般三角形的面积=________
2.正方形的面积=_____, 长方形的面积=____ 3.梯形的面积=_______
4．菱形的面积=____ 5.平行四边形的面积=_____ 6．圆的面积=_____
（二）、注意点：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程
（三）、自我尝试：
另解探究3：如果设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，如何解决此题呢？
（四）例题选讲：
例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生各设计了一种方案(如图22－3－1),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。
二、课堂检测：
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
3．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
4．如图22－3－3，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。
5.如图22－3－4所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
《一元二次方程复习》学案
复习目标：
掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。
一、自主学习:
1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、解下列方程：
(1) (2) (3)
3、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，这个小组共有（ ）人 （A）7 （B）8 （C）14 （D）4
4、某辆汽车在公路上行驶，它的行驶路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为.那么行驶5km所需的时间为 h.
二、归纳总结：
1、一元二次方程的定义及一般形式
定义 ⑴只含有一个未知数 ⑵整式方程
⑶都可化为的形式
2、一元二次方程的几种解法：配方法 公式法 因式分解法
3、用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次，即降次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
三、课堂检测
1、方程的解是____________________
2、方程的解是____________________
3、填上适当的数，使等式成立。
4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=______
5.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有支队，则可得方程 .
6、已知2是关于X的方程的一个根，则的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
8、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年（2001年－2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、 解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）x(3x+1)=9x+3
10、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
11.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
若方程的二次项系数不是1，咋办？
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