与二次函数有关的探索性问题

与二次函数有关的探索性问题
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．现以中考题为例，予以说明．
　　一、条件探索型
条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因)．
例1　若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝_________．(只要求写出一个)
分析: 本题答案不唯一，抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，可知一元二次方程x2－4x＋c=0没有实数根，△=16－4c＜0，即c＞4(c为整数)，所以c为大于4的所有整数，如5、6、7……等．
二、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果．
例2　请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．
分析:本题答案不唯一，只要满足a＜0，且对称轴为x=2即可，如等．
三、存在性探索型
存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．
例3　已知抛物线交x轴于A(，0)、B(，0)交y轴的正半轴于C点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）用到的知识点有:二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x轴交点的横坐标为方程的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m的两个值，由＜得到m的取值范围，进而确定m的值，得到函数解析式．
(2)分两种情况:当过点C的直线和抛物线相交时，此直线为y轴;当直线与抛物线相切时，设过C点的直线解析式为y=kx+b，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k值，得到直线解析式．
解析:（1）由条件知AO=||=－，OB=||=，OC=3(m+1)．
∵，，
得：．
∵＜，||＞||， ∴＜=m－2＜0，∴m=1．
∴函数的解析式为．
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线． 则 C点的坐标为（0，6）．
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点， ∴直线．
②设过C点的直线为y=kx+b，与抛物线，只有一个公共点C，y=－x+6
即 只有一个实数解．∴，
∵，∴，∴． ∴．y=－x+6．
∴符合条件的直线的表达式为y=－x+6或．
二次函数探索题巡视
　　探索性试题是近几年数学试题的一种新题型，也是热点题型．探索性试题往往没有明确的条件和结论，没有固定的形式和方法，它要求同学们通过观察、分析、比较、概括得出结论，其覆盖面广，综合性强，能力要求高．本文采撷部分试题加以归类浅析，以展示各种题型所表现出的不同思考策略和解题方法，或许对同学们有所启发．
　　一、条件开放探索型
　　这种类型的试题是给定结论来探求能得出结论的条件，但能得出结论的条件又未必唯一．在解这类题时，要对结论、图形进行归纳、分类，利用有关的性质和定理进行推理、计算，得到相应的条件．
　　例1　已知二次函数，的图象经过点，
　　求证：这个二次函数图象的对称轴是．
　　题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字．
　　（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数关系式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由．
　　（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
　　析解：（1）将结论中的“二次函数图象的对称轴是”作为已知条件．
　　由已知，得解之，得
　　所以，函数图象略．
　　（2）结合二次函数图象的性质以及同一元二次方程的联系来补充条件．
　　可供补充的条件有（选择以下其中的一种情况即可）．
　　①过抛物线的任意一点的坐标；
　　②顶点坐标为；
　　③与y轴的交点坐标为（0，2）；
　　④或．
　　评析：本题是一道补充已知条件的开放型题，别致新颖，使同学们在饶有兴趣的尝试探索中，发展思维的发散性和有序性．这类试题的特征是结论已确定，但条件未知或条件不足．解题时需要执果索因，即应把结论与题设均视为已知，然后分析探求结论成立的充分条件．
　　二、结论开放探索型
　　这种类型的试题是题设中给出明确的条件，需要判断猜想相应的结论．解这类问题，要根据条件，从多角度进行分析、猜想，特别注意的是，准确的图形能提高猜想的准确性．
　　例2　二次函数的图象如图1所示，为该图象的对称轴，根据函数图象，你能得到关于该函数的那些性质和结论？（写出四个即可）
　　析解：认真观察图象信息，可从与坐标轴的交点、增减性、对称轴等几个方面得到性质和结论．
　　如（1）；
　　（2）当时，y随x的增大而减小；
　　（3）当时，，即；
　　（4）当时，y>0，即．
　　评析：这类题的特征是给定条件，但结论不确定，解题时一定要抓住图象结合性质展开联想．
　　三、存在与否探索型
　　这种类型的问题是在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的问题，解这类题的一般思路是：假设对象存在，运用条件进行逻辑推理，若得到相容的，合理的结论，则先前的假设成立，则对象存在；若出现矛盾，则先前的假设不成立．
　　例3　在平面直角坐标系中，给定以下五点A（－2，0），B（1，0），C（4，0），
D（－2，），E（0，－6）从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴．我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图２所示）．
　　（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求函数关系式，请用约定的方法一一表示出来；
　　（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的函数关系式；如果不存在，请说明理由．
　　析解：（1）从五个点中任取三点共有10种情况，通过观察可知，符合条件的抛物线还有5条，分别如下：
　　①抛物线AEC；②抛物线CBE；③抛物线DEB；④抛物线DBC；⑤抛物线DEC．
　　（2）在（1）中存在抛物线DBC，它与直线AE不相交．
　　抛物线DBC所对应的函数关系式为，直线AE对应的函数关系式为．
　　评析：这题的特征是探索命题的结论或结论的某些方面是否存在，解题思路是：假设存在———演绎推理———得出结论，若结论合理，则存在；若结论不合理，产生矛盾，则不存在．
　　综上所述，解探索性试题需要灵活运用基础知识，大胆推理、联想、创新，恰当运用数形结合思想、转化思想和分类讨论等数学思想，多角度、多侧面、多层次思考问题，并考虑问题存在的各种可能性，从而揭示事物的整体性和一般性．
二次函数动点探究题赏析
二次函数是初中数学的重要内容之一，而数学探究又是数学教育改革的新亮点，因此二次函数探究题便成了各地中考命题的热点，命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题用以考查同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力。现仅就中考题有关二次函数动点探究题精选两例解析如下,供同学们鉴赏：
例1如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
分析 (1)过点A作AE∥BC交CD于点E,证△AED为
等边三角形,则AD可求;
(2)将△PDQ的边PD及PD边上的高用含的代数式
表示,则△PDQ的面积可表示为的二次函数,根据二次函数的
极值可求得△PDQ面积的最大值;
(3)先假设四边形PDQM为菱形,则PD=DQ从而求得点Q,过点Q作QM∥DC交BC于点M,则点M为所求,然后再证四边形PDQM为菱形.
解 (1)如图1, 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°. 又 ∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 . ∴ AD=DE=9－4=5 .
（2）如图2, DQ=CP=,h为PD边上的高, ∠D=60°，
则PD=,
△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h =(9－x)·=(9x－x2) =－(x－)2＋ HYPERLINK "http://1230.org" .
由题意，知0≤x≤5 . ∴当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）如图3,假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.则点P为CD的中点.
此时，点P、Q的位置如图3所示，
连QP .∠D=600,则△PDQ为等边三角形.
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，则CP=PD=DQ=CM, ∠C=600,则△CPM也是等边三角形.
∴∠D=∠3 =600. ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又, PD=DQ . ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
例2如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴
交于点C，直线y=－2x－1经过抛物线上一点B(－2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
分析 (1)由点B(－2,m)在直线上,可求得的值及
点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E
作EH∥x轴，交y轴于H，由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；
(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解（1）∵ 点B(－2,m) 在直线上， ∴ m=－2×(－2)－1=3. ∴ B(－2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x－0)(x－4).
将点B(－2,3)代入上式，得3=a(－2－0)(－2－4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=－2x－1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,－1) E(2,－5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则点G坐标为(2,3)
BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5，∴ CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,－5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,－1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE. 即D是BE的中点.
(3)由于PB=PE，∴ 点P必在线段BE的中垂线CD上，
又点P在抛物线上,
∴ 符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将点D(0,－1) C(2,0) 代入，
得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x－1.
解方程组 得
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).
评注 动点探究题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.
解题时可先假设被探究的对象(点)存在,并将其构造出来,再利用题设条件及相关知识将其肯定或否定.有解(合理)即为存在,无解(不合理)即为不存在.
图1
图2
图3