中考菱形特色题赏析
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中考菱形特色题赏析
众所周知，菱形是一种特殊的平行四边形，是研究几何图形的基础，它的许多重要的特性在处理几何问题中广泛运用，特别是近年来，有关菱形的特色题目频频出现在中考试卷上，让人眼花缭乱.为帮助同学们学习，现以中考试题为例说明如下：
一.规律探索题
例1 如图1所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。
解析: 由题意可知微型机器人每走8米一循环，因为2009÷8=251……1，所以行走2009米停在 B点.
例2 如图2，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．
解析:第1个菱形的边长为1=;
第2个菱形的边长为2=
第3个菱形的边长为2==
……，按此规律所作的第个菱形的边长为.
二.实际应用题
例3 学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图3所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．
⑴若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
⑵当d＝20时，若保持⑴中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
分析:(1)如图1,根据菱形性质可得△AOB为直角三角形,且BO=AB=,∴,∴AC=30,当纹饰要2个菱形图案，纹饰的长度L=30+(2-1)d, 当纹饰要n个菱形图案，纹饰的长度L=30+(n-1)d,把d=26,n=231代入此代数式即可求的长度L;(2)把d=20,n=x代入6010=30+(n-1)d,求x;
解: ⑴菱形图案水平方向对角线长为cm.
按题意，cm
⑵当20cm时，设需x个菱形图案，则有：
解得
即需300个这样的菱形图案．
三.判断说理题
例4如图4，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
分析:(1)由已知可知△ABC与△DCB具备三边对应相等,根据SSS可判定两三角形全等;(2)先判定四边形BMCN是平行四边形，再判定它是菱形,根据菱形性质得BN=CN．
证明：（1）如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB= DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
（2）据已知有BN＝CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形．
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM，
∴四边形BMCN是菱形．∴BN=CN．
菱形“条件追溯型”试题赏析
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.现从中考试题中采撷几例,予以分析.
例1 如图1，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
解析:本题是对菱形判定的直接考查,比较容易,只要对判定方法熟悉,问题便可迎刃而解.因为四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形,若应用一组邻边相等的平行四边形是菱形来判定，则需要添加条件AB=BC;若用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.则需要添加条件AC⊥BD.
例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.
分析:欲证△ABE≌△ACE,因为AB=AC，AE是公共边,只需证其夹角相等,这可由等腰三角形的三线合一性质得到;(2)若四边形ABEC是菱形,因为菱形的对角线互相垂直且平分
（1）证明：∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE
又点D为BC中点，∴BD=CD
∴四边形ABEC为平行四形边
∵AB=AC
∴四边形ABEC为菱形
评注:解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证．
趁热打铁:已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．
（1）求证：；
（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
正方形菱形创新题例析
一、操作题
例1．在数学活动中，小明为了求的值
（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________．
（2）请你利用图2－2，再设计一个能求
的值的几何图形．
解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到，第二次把面积为的一个矩形等分得到，第三次把面积为的一个正方形等分得到，第四次把面积为的一个等腰直角三角形等分得到，…，最后把面积为的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个，从而易知=，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：
（1）．
（2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．
二、拼图题
例2．（2005年四川眉山中考题）如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．
分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，
又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，
成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，
可列出，或，
或．
三、探究题
例3．如图4甲，四边形ABCD是等
腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙
所示的平行四边形．
(1)求四边形ABCD四个内角的度数；
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗 若能，请你画出大致的示意图．
解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
所以3∠1=360°，即∠1=120°．
所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°
(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰
等于上底． 连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．
从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=．
因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．
(3)能拼出菱形．
如图5：(拼法不唯一) ．
评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．
四、猜想题
例4．（2006年河北省课程改革实验区）如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图6－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．
解：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ，∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．
五、方案设计题
例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，
再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，
将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（１）方案1． 方案２．
（２）方案1． 方案２．
以动态为背景的菱形探索题
菱形是特殊的平行四边形，在近几年的中考试题中，出现了一类设计新颖，别具匠心的试题，就是以动态为背景来探索菱形，下面举例说明，供同学们欣赏。
点动型的菱形探索题
例1：如图1所示，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)设E是AD延长线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形ACEB为菱形？说明你的理由．
分析：已知∠ADB＝∠ADC，BD＝CD，有因为AD=AD
所以△ABD≌△ACD，要使四边形ACEB为菱形，我们知道菱形的四条边都相等，所以AB=BE。
解：（1）证明：∵∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
又因为AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
（2）当点E移动到使BE=AB时，四边形ACEB为菱形
理由：如图2∵△ABD≌△ACD
∴∠BAD＝∠CAD，AB=AC
又∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴BE=CE
∵BE=AB
∴AB=BE=CE=AC
∴四边形ACEB为菱形
点评：本题是以动点为背景来探索菱形，我们知道四条边都相等的四边形是菱形，因此点E的位置就很容易得到。
二、图形运动型的菱形探索题
例2：如图3，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．
（1）证明；
（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
分析：由平移的性质可知：平移前后的图形全等，并且对应线段平行且相等，这样很容易得到，要得到四边形是菱形，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此可先判断出四边形是平行四边形，再利用，得出邻边相等时，点在线段上的什么位置.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
⊿由⊿ACD平移得到，
∴,,∥AD∥BC.
∴
∴⊿≌⊿
(2)当点是线段AC的中点时，四边形是菱形
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，⊿由⊿ACD平移得到，
∴
由（1）知
∴四边形是平行四边形
在Rt⊿ABC中，点是线段AC的中点,
∴
而,∴
∴
∴四边形是菱形
点评：本题是以图形运动为背景的探索题，结合平移的性质来解决问题，在探索四边形是菱形，利用了一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法．解决问题的关键在于如何得出邻边相等，既即用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又用到了300所对的直角边等于斜边的一半。
菱形探索创新题举例
探索型创新题是近几年中考的一个亮点，它主要考查学生的观察、分析、归纳、比较、推理等方面的能力，设计新颖，形式多样，现以菱形为例加以说明．
一、条件探索型
例1 在△ABC中，ABAC，D是BC上一点，DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A．AD⊥BC B、∠BAD=∠CAD C、BD=DC D 、AD=BD
析解：这类题目中的条件不完善，需从结论入手，探索条件，补充和完善条件，使结论成立．如图由DE//CA，DF//BA，知四边形AEDF为平行四边形．要使四边形AEDF为菱形，必须AE=DE，故需添加条件∠BAD=∠CAD 可易知AE=DE故应选B．
二、结论探索型
例1 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A 等腰梯形 B 正方形 C 矩形 D 菱形
析解：这类题目是条件己具备，由这些条件推出的结论末确定，需要依据条件去探索从而确定结论．因为边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四边形的内角只可能是6或12，故所拼四边形不可能是正方形，只能是菱形，故应选D
三、条件和结论都需要探索型
例2 如图四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，请以F为一端点，和图中己标字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）
连结
猜想=
证明：
析解：这类题目中的条件或结论都不完善，不确定，需要去补充条件，猜想并确确由这些条得出结论，并进行说理证明．（1）连结AF（2）猜想：AE=AF（3）证明：由四边形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、阅读理解探索型创新题
例3 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：
己知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF相交于0，则四边形ABEF为菱形，说明理由．
理由：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因为AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四边形ABEF是菱形
问：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程
析解：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．
图1
图2
C
60°
……
d
L
第19题图
A
O
B
图3
B C
A D
M
N
图4
A
D
C
B
图1
O
图2
A
D
G
C
B
F
E
图1-1
图1-2
图2－1
图2－2
图2－3
图2－4
b
a
图3
图4
图5
图6－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图6－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图6－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
②
①
①
②
图7（1）
图7（2）
①
①
中点
中点
中点
中点
①
①
②
②
①
①
中点
中点
中点
中点
②
①
②
①
A
图1
B
C
D
图2
图3
众所周知，菱形是一种特殊的平行四边形，是研究几何图形的基础，它的许多重要的特性在处理几何问题中广泛运用，特别是近年来，有关菱形的特色题目频频出现在中考试卷上，让人眼花缭乱.为帮助同学们学习，现以中考试题为例说明如下：
一.规律探索题
例1 如图1所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。
解析: 由题意可知微型机器人每走8米一循环，因为2009÷8=251……1，所以行走2009米停在 B点.
例2 如图2，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．
解析:第1个菱形的边长为1=;
第2个菱形的边长为2=
第3个菱形的边长为2==
……，按此规律所作的第个菱形的边长为.
二.实际应用题
例3 学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图3所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．
⑴若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
⑵当d＝20时，若保持⑴中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
分析:(1)如图1,根据菱形性质可得△AOB为直角三角形,且BO=AB=,∴,∴AC=30,当纹饰要2个菱形图案，纹饰的长度L=30+(2-1)d, 当纹饰要n个菱形图案，纹饰的长度L=30+(n-1)d,把d=26,n=231代入此代数式即可求的长度L;(2)把d=20,n=x代入6010=30+(n-1)d,求x;
解: ⑴菱形图案水平方向对角线长为cm.
按题意，cm
⑵当20cm时，设需x个菱形图案，则有：
解得
即需300个这样的菱形图案．
三.判断说理题
例4如图4，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
分析:(1)由已知可知△ABC与△DCB具备三边对应相等,根据SSS可判定两三角形全等;(2)先判定四边形BMCN是平行四边形，再判定它是菱形,根据菱形性质得BN=CN．
证明：（1）如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB= DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
（2）据已知有BN＝CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形．
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM，
∴四边形BMCN是菱形．∴BN=CN．
菱形“条件追溯型”试题赏析
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.现从中考试题中采撷几例,予以分析.
例1 如图1，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
解析:本题是对菱形判定的直接考查,比较容易,只要对判定方法熟悉,问题便可迎刃而解.因为四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形,若应用一组邻边相等的平行四边形是菱形来判定，则需要添加条件AB=BC;若用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.则需要添加条件AC⊥BD.
例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.
分析:欲证△ABE≌△ACE,因为AB=AC，AE是公共边,只需证其夹角相等,这可由等腰三角形的三线合一性质得到;(2)若四边形ABEC是菱形,因为菱形的对角线互相垂直且平分
（1）证明：∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE
又点D为BC中点，∴BD=CD
∴四边形ABEC为平行四形边
∵AB=AC
∴四边形ABEC为菱形
评注:解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证．
趁热打铁:已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．
（1）求证：；
（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
正方形菱形创新题例析
一、操作题
例1．在数学活动中，小明为了求的值
（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________．
（2）请你利用图2－2，再设计一个能求
的值的几何图形．
解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到，第二次把面积为的一个矩形等分得到，第三次把面积为的一个正方形等分得到，第四次把面积为的一个等腰直角三角形等分得到，…，最后把面积为的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个，从而易知=，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：
（1）．
（2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．
二、拼图题
例2．（2005年四川眉山中考题）如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．
分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，
又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，
成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，
可列出，或，
或．
三、探究题
例3．如图4甲，四边形ABCD是等
腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙
所示的平行四边形．
(1)求四边形ABCD四个内角的度数；
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗 若能，请你画出大致的示意图．
解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
所以3∠1=360°，即∠1=120°．
所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°
(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰
等于上底． 连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．
从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=．
因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．
(3)能拼出菱形．
如图5：(拼法不唯一) ．
评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．
四、猜想题
例4．（2006年河北省课程改革实验区）如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图6－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．
解：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ，∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．
五、方案设计题
例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，
再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，
将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（１）方案1． 方案２．
（２）方案1． 方案２．
以动态为背景的菱形探索题
菱形是特殊的平行四边形，在近几年的中考试题中，出现了一类设计新颖，别具匠心的试题，就是以动态为背景来探索菱形，下面举例说明，供同学们欣赏。
点动型的菱形探索题
例1：如图1所示，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)设E是AD延长线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形ACEB为菱形？说明你的理由．
分析：已知∠ADB＝∠ADC，BD＝CD，有因为AD=AD
所以△ABD≌△ACD，要使四边形ACEB为菱形，我们知道菱形的四条边都相等，所以AB=BE。
解：（1）证明：∵∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
又因为AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
（2）当点E移动到使BE=AB时，四边形ACEB为菱形
理由：如图2∵△ABD≌△ACD
∴∠BAD＝∠CAD，AB=AC
又∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴BE=CE
∵BE=AB
∴AB=BE=CE=AC
∴四边形ACEB为菱形
点评：本题是以动点为背景来探索菱形，我们知道四条边都相等的四边形是菱形，因此点E的位置就很容易得到。
二、图形运动型的菱形探索题
例2：如图3，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．
（1）证明；
（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
分析：由平移的性质可知：平移前后的图形全等，并且对应线段平行且相等，这样很容易得到，要得到四边形是菱形，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此可先判断出四边形是平行四边形，再利用，得出邻边相等时，点在线段上的什么位置.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
⊿由⊿ACD平移得到，
∴,,∥AD∥BC.
∴
∴⊿≌⊿
(2)当点是线段AC的中点时，四边形是菱形
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，⊿由⊿ACD平移得到，
∴
由（1）知
∴四边形是平行四边形
在Rt⊿ABC中，点是线段AC的中点,
∴
而,∴
∴
∴四边形是菱形
点评：本题是以图形运动为背景的探索题，结合平移的性质来解决问题，在探索四边形是菱形，利用了一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法．解决问题的关键在于如何得出邻边相等，既即用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又用到了300所对的直角边等于斜边的一半。
菱形探索创新题举例
探索型创新题是近几年中考的一个亮点，它主要考查学生的观察、分析、归纳、比较、推理等方面的能力，设计新颖，形式多样，现以菱形为例加以说明．
一、条件探索型
例1 在△ABC中，ABAC，D是BC上一点，DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A．AD⊥BC B、∠BAD=∠CAD C、BD=DC D 、AD=BD
析解：这类题目中的条件不完善，需从结论入手，探索条件，补充和完善条件，使结论成立．如图由DE//CA，DF//BA，知四边形AEDF为平行四边形．要使四边形AEDF为菱形，必须AE=DE，故需添加条件∠BAD=∠CAD 可易知AE=DE故应选B．
二、结论探索型
例1 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A 等腰梯形 B 正方形 C 矩形 D 菱形
析解：这类题目是条件己具备，由这些条件推出的结论末确定，需要依据条件去探索从而确定结论．因为边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四边形的内角只可能是6或12，故所拼四边形不可能是正方形，只能是菱形，故应选D
三、条件和结论都需要探索型
例2 如图四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，请以F为一端点，和图中己标字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）
连结
猜想=
证明：
析解：这类题目中的条件或结论都不完善，不确定，需要去补充条件，猜想并确确由这些条得出结论，并进行说理证明．（1）连结AF（2）猜想：AE=AF（3）证明：由四边形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、阅读理解探索型创新题
例3 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：
己知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF相交于0，则四边形ABEF为菱形，说明理由．
理由：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因为AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四边形ABEF是菱形
问：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程
析解：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．
图1
图2
C
60°
……
d
L
第19题图
A
O
B
图3
B C
A D
M
N
图4
A
D
C
B
图1
O
图2
A
D
G
C
B
F
E
图1-1
图1-2
图2－1
图2－2
图2－3
图2－4
b
a
图3
图4
图5
图6－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图6－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图6－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
②
①
①
②
图7（1）
图7（2）
①
①
中点
中点
中点
中点
①
①
②
②
①
①
中点
中点
中点
中点
②
①
②
①
A
图1
B
C
D
图2
图3
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