矩形创新题例析
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矩形创新题例析
一、操作题
例1．将一张长方形的纸对折如图１所示，可以得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕，保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到几条折痕？如果对折n次可以得到几条折痕？
简析：对折的次数与折痕数的关系即找规律，而找规律的最基本的方法就是运用特殊值试验法，探究特殊与一般的关系，从而找出一般的规律。因此对折四次可以得到15条折痕；对折n次可以得到2n-1条折痕．
二、拼图题
例2．如图2，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．
分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，
又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，
成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，
可列出，或，
或．
三、定义新概念
例3．阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图3②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
解：(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等．
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 ．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S．设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c．
∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，
而 ab>S，a>b，∴ L1- L2>0，即L1> L2 ．
同理可得，L2> L3 ，∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
评注：本题在特殊平行四边形学习的基础上，引入
“友好矩形”的概念，形成一道作图、阅读、应用、
证明与一体的综合性的压轴题．
四、方案设计题
例4．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，
再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图3，对任意三角形设计一种方案，
将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（１）方案1． 方案２．
（２）方案1． 方案２．
五、实际应用题
例5．龙栖山自然风景区有一块长12米,宽8米的矩形花圃,喷水嘴安装在矩形对角线的交点P上(如图),现计划从点P引三条射线把花圃分成面积相等的三部分,分别种植三种不同的花(不考虑各部分之间的空隙).请你通过计算,形成多个设计方案,并根据你的方案设计回答出三条射线与矩形有关的交点位置
(考声注意：本题只按四个正确设计方案以及
其中一个方案的解答过程给予评分)．
分析：本题也是一个典型的开放题，
它有无数个答案，请同学们自己解答．
矩形猜想型题新姿
猜想型试题是近几年中考中出现的一种新型题，因其便于考察同学们的观察、发现、分析、归纳、创新问题的能力而备受中考命题者的青睐，因而每年的中考中都只对一些知识点编拟出一些很有特色的猜想型试题，现以几道关于矩形猜想考题为例，说明关于这个知识点的考题的求解方法．
一.猜想线段等量关系
例1如图1，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．
（1）与有何等量关系？请说明理由；
（2）当时，求证：是矩形．
分析:(1)易证四边形,四边形,四边形都是平行四边形,所以AD=BE=EF=FC, ;(2)若证平行四边形是矩形,需要证明对角线AF=DE相等，这可由已知和平行四边形的对边相等得到.
（1）解：．
理由如下：
，
四边形和四边形都是平行四边形.
．
又四边形是平行四边形，．
．
．
（2）证明：四边形和四边形都是平行四边形，
．
．
又四边形是平行四边形，四边形是矩形．
二.猜想图形形状
例2如图2所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
分析:(1)由旋转性质证明是等边三角形,由翻转性质证明点F、B、C三点共线和是等边三角形,再根据四边形相等的四边形是菱形判定四边形是菱形；(2)应用等边三角形的三线合一得到,进而证明,于是,AG与BC平行且相等,所以四边形
是平行四边形,再加上条件,于是此四边形为矩形.
解:（1）证明：是由绕点旋转得到，
∴
∴是等边三角形，
∴
又∵是由沿所在直线翻转得到
∴
∴是平角
∴点F、B、C三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）四边形是矩形．
证明：由（1）可知：是等边三角形，于
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
例3 如图3，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF.
求证：BD=CD；
如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
分析:(1)欲证BD=CD,因为AF=BD,所以转化为证明AF= CD,转化为证明
AF, CD所在的三角形全等,全等条件由已知可直接提供;(2)由(1)知AF和BD平行且相等，所以四边形AFBD是平行四边形,由等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC,所以四边形AFBD为矩形.
解:（1），
是的中点，．
，
（2）四边形是矩形
，是的中点 ，
，四边形是平行四边形
又 四边形是矩形．
矩形猜想创新在线
矩形是一种特殊的平行四边形，和矩形有关的题目，除了一些基础题外，还有一些创新型的题目，如与矩形有关的结论猜想题就是一类比较创新型的题目.
例1如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，
过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请说明上面的结论. 图1
分析：要猜想AD与CF的大小关系，观察图形可知，应猜想AD与CF相等，然后根据已知条件证明△ADE与△FCD全等即可说明猜想是正确的.
解：（1）AD=CF．
（2）在矩形ABCD中，因为CD//AB，所以AED=FDC，
因为CD=AB，DE=AB，所以DE=CD，
又因为CFDE，所以CFD=A=90，
所以ADEFCD，所以AD=CF.
点评：本题先根据已知条件并结合图形进行猜想，然后利用矩形的性质并结合全等三角形的知识证明猜想的正确性.
例2如图2，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）说明B′E=BF的理由；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予说明．
分析:本题主要是对说理探究能力考查.解决问题需要掌握折叠的特征以及矩形的有关性质,根据折叠可知B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，再结合矩形的对边平行可得到B′F=B′E,也就说明了B′E=BF.要探究a、b、c的关系,可连接BE,推导B′E=BE即可.
解: （1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD//BC，所以∠B′EF=∠BFE，所以∠B′FE=∠B′EF， 图2
所以B′F=B′E，所以
B′E=BF.
（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）三者存在的关系是a2+b2=c2．
理由：连结BE，则BE=B′E，．
由（1）知B′E=BF=c，所以BE=c．
在ABE中，∠A=90°，所以AE2+AB2=BE2．
因为AE=a，AB=b，所以a2+b2=c2．
（ⅱ）三者存在的关系是．
理由：连结BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，BE=c，在△ABE中，AE+AB>BE.所以a+b>c.
点评:解答推理问题,不仅需要一定的数学基础,而且需要一定识图能力,分析问题的能力和综合概括能力.应注意加强推理问题的训练.
图１
b
a
图2
②
①
①
②
图１
图２
图３
①
①
中点
中点
中点
中点
①
①
②
②
①
①
中点
中点
中点
中点
②
①
②
①
C
A
B
D
P·
A
D
C
F
E
B
图1
A
D
F
C
E
G
B
图2
图3
一、操作题
例1．将一张长方形的纸对折如图１所示，可以得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕，保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到几条折痕？如果对折n次可以得到几条折痕？
简析：对折的次数与折痕数的关系即找规律，而找规律的最基本的方法就是运用特殊值试验法，探究特殊与一般的关系，从而找出一般的规律。因此对折四次可以得到15条折痕；对折n次可以得到2n-1条折痕．
二、拼图题
例2．如图2，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．
分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，
又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，
成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，
可列出，或，
或．
三、定义新概念
例3．阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图3②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
解：(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等．
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 ．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S．设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c．
∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，
而 ab>S，a>b，∴ L1- L2>0，即L1> L2 ．
同理可得，L2> L3 ，∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
评注：本题在特殊平行四边形学习的基础上，引入
“友好矩形”的概念，形成一道作图、阅读、应用、
证明与一体的综合性的压轴题．
四、方案设计题
例4．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，
再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图3，对任意三角形设计一种方案，
将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（１）方案1． 方案２．
（２）方案1． 方案２．
五、实际应用题
例5．龙栖山自然风景区有一块长12米,宽8米的矩形花圃,喷水嘴安装在矩形对角线的交点P上(如图),现计划从点P引三条射线把花圃分成面积相等的三部分,分别种植三种不同的花(不考虑各部分之间的空隙).请你通过计算,形成多个设计方案,并根据你的方案设计回答出三条射线与矩形有关的交点位置
(考声注意：本题只按四个正确设计方案以及
其中一个方案的解答过程给予评分)．
分析：本题也是一个典型的开放题，
它有无数个答案，请同学们自己解答．
矩形猜想型题新姿
猜想型试题是近几年中考中出现的一种新型题，因其便于考察同学们的观察、发现、分析、归纳、创新问题的能力而备受中考命题者的青睐，因而每年的中考中都只对一些知识点编拟出一些很有特色的猜想型试题，现以几道关于矩形猜想考题为例，说明关于这个知识点的考题的求解方法．
一.猜想线段等量关系
例1如图1，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．
（1）与有何等量关系？请说明理由；
（2）当时，求证：是矩形．
分析:(1)易证四边形,四边形,四边形都是平行四边形,所以AD=BE=EF=FC, ;(2)若证平行四边形是矩形,需要证明对角线AF=DE相等，这可由已知和平行四边形的对边相等得到.
（1）解：．
理由如下：
，
四边形和四边形都是平行四边形.
．
又四边形是平行四边形，．
．
．
（2）证明：四边形和四边形都是平行四边形，
．
．
又四边形是平行四边形，四边形是矩形．
二.猜想图形形状
例2如图2所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
分析:(1)由旋转性质证明是等边三角形,由翻转性质证明点F、B、C三点共线和是等边三角形,再根据四边形相等的四边形是菱形判定四边形是菱形；(2)应用等边三角形的三线合一得到,进而证明,于是,AG与BC平行且相等,所以四边形
是平行四边形,再加上条件,于是此四边形为矩形.
解:（1）证明：是由绕点旋转得到，
∴
∴是等边三角形，
∴
又∵是由沿所在直线翻转得到
∴
∴是平角
∴点F、B、C三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）四边形是矩形．
证明：由（1）可知：是等边三角形，于
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
例3 如图3，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF.
求证：BD=CD；
如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
分析:(1)欲证BD=CD,因为AF=BD,所以转化为证明AF= CD,转化为证明
AF, CD所在的三角形全等,全等条件由已知可直接提供;(2)由(1)知AF和BD平行且相等，所以四边形AFBD是平行四边形,由等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC,所以四边形AFBD为矩形.
解:（1），
是的中点，．
，
（2）四边形是矩形
，是的中点 ，
，四边形是平行四边形
又 四边形是矩形．
矩形猜想创新在线
矩形是一种特殊的平行四边形，和矩形有关的题目，除了一些基础题外，还有一些创新型的题目，如与矩形有关的结论猜想题就是一类比较创新型的题目.
例1如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，
过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请说明上面的结论. 图1
分析：要猜想AD与CF的大小关系，观察图形可知，应猜想AD与CF相等，然后根据已知条件证明△ADE与△FCD全等即可说明猜想是正确的.
解：（1）AD=CF．
（2）在矩形ABCD中，因为CD//AB，所以AED=FDC，
因为CD=AB，DE=AB，所以DE=CD，
又因为CFDE，所以CFD=A=90，
所以ADEFCD，所以AD=CF.
点评：本题先根据已知条件并结合图形进行猜想，然后利用矩形的性质并结合全等三角形的知识证明猜想的正确性.
例2如图2，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）说明B′E=BF的理由；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予说明．
分析:本题主要是对说理探究能力考查.解决问题需要掌握折叠的特征以及矩形的有关性质,根据折叠可知B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，再结合矩形的对边平行可得到B′F=B′E,也就说明了B′E=BF.要探究a、b、c的关系,可连接BE,推导B′E=BE即可.
解: （1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD//BC，所以∠B′EF=∠BFE，所以∠B′FE=∠B′EF， 图2
所以B′F=B′E，所以
B′E=BF.
（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）三者存在的关系是a2+b2=c2．
理由：连结BE，则BE=B′E，．
由（1）知B′E=BF=c，所以BE=c．
在ABE中，∠A=90°，所以AE2+AB2=BE2．
因为AE=a，AB=b，所以a2+b2=c2．
（ⅱ）三者存在的关系是．
理由：连结BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，BE=c，在△ABE中，AE+AB>BE.所以a+b>c.
点评:解答推理问题,不仅需要一定的数学基础,而且需要一定识图能力,分析问题的能力和综合概括能力.应注意加强推理问题的训练.
图１
b
a
图2
②
①
①
②
图１
图２
图３
①
①
中点
中点
中点
中点
①
①
②
②
①
①
中点
中点
中点
中点
②
①
②
①
C
A
B
D
P·
A
D
C
F
E
B
图1
A
D
F
C
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图2
图3
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